G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
come l’identità. Ciò è dunque in accordo con l’Esercizio 3.2 dato che nel caso dello spazio reale
H = L 2 (Ω) si ha R = R2 .
Il caso p = 1 è più delicato in quanto L ∞ (Ω) non è in generale strettamente convesso.
Leggendo la (3.3) come relazione nel piano (u, w) e facendo tendere p a 1 , siamo indotti a
formulare una congettura: il caso p = 1 dovrebbe corrispondere a
(u, w) ∈ ((−∞, 0) × {−c}) ∪ ({0} × [−c, c]) ∪ ((0, +∞) × {c}) ove c = �u�1 .
Le w ∈ F1(u) dovrebbero dunque essere tutte e sole quelle che verificano le condizioni
|w| ≤ �u�1 in Ω , sign w = sign u e |w| = �u�1 ove u �= 0. (3.4)
Vediamo infatti che queste equivalgono alle seguenti
�
�w�∞ = �u�1 e
wu dµ = �u�
Ω
2 1 . (3.5)
Se u = 0 , entrambe le condizioni forniscono w = 0 . Supponiamo quindi u �= 0 e siano Ω± gli
insiemi in cui u > 0 e u < 0 rispettivamente, uno almeno quali ha, dunque, misura positiva. Si
vede allora subito che le (3.4) implicano la prima delle (3.5) e la seconda segue immediatamente:
� �
�
�
wu dµ = �u�1 |u| dµ + (−�u�1) (−|u|) dµ = �u�1 |u| dµ = �u� 2 1 .
Ω
Ω+
Ω−
Ω+∪Ω−
Valgano ora le (3.5). Allora |w| ≤ �u�1 in Ω . Per dedurre le altre due condizioni della (3.4),
osserviamo che wu ≤ �w�∞|u| in Ω , da cui anche
�u� 2 � �
1 = wu dµ ≤ �w�∞|u| dµ = �w�∞�u�1 = �u� 2 1 .
Ω
Ω
Deduciamo che anche la disuguaglianza intermedia deve essere un’uguaglianza. Ricordando che
wu ≤ �w�∞|u| concludiamo che wu = �w�∞|u| , da cui le altre condizioni (3.4) richieste.
4. Isomorfismo canonico, riflessività e convergenza debole*
Se V è uno spazio normato, anche V ∗ lo è (anzi, V ∗ è automaticamente uno spazio di Banach), per
cui possiamo considerarne il duale V ∗∗ = (V ∗ ) ∗ . Per ogni x ∈ V consideriamo ora l’applicazione
Jx : V ∗ → K definita da Jx : f ↦→ 〈f, x〉.
Essa è lineare per definizione di operazioni in V ∗ ed è anche continua dato che
|(Jx)(f)| = |〈f, x〉| ≤ �f�∗ �x� per ogni f ∈ V ∗ .
Dunque Jx ∈ V ∗∗ e abbiamo il diritto di scrivere 〈Jx, f〉 anziché (Jx)(f) . Abbiamo pertanto
〈Jx, f〉 = 〈f, x〉 per ogni x ∈ V e f ∈ V ∗ (4.1)
ove, naturalmente, al secondo membro della (4.1) la dualità è fra V ∗ e V , mentre la dualità che
compare al primo membro è fra V ∗∗ e V ∗ . Risulta allora giustificata la definizione che segue.
4.1. Definizione. Sia V uno spazio normato. Si chiama biduale di V lo spazio V ∗∗ duale
di V ∗ . Si chiama isomorfismo canonico di V , o iniezione canonica di V in V ∗∗ , l’applicazione
J : V → V ∗∗ che a ogni x ∈ V associa l’elemento Jx ∈ V ∗∗ che verifica la (4.1). Lo spazio V è
detto riflessivo quando il suo isomorfismo canonico è suriettivo.
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Gianni Gilardi