G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
Applicando il Corollario 2.11 deduciamo x − y = 0 , cioè x = y . Supponiamo ora xn ⇀ x e sia f ∈ V ∗
tale che �f�∗ = �x� e 〈f, x〉 = �x� 2 . Allora, notato che 〈f, x〉 è reale ≥ 0 , si ha
da cui la tesi.
�x� 2 = 〈f, x〉 = |〈f, x〉| = | lim
n→∞ 〈f, xn〉| = lim inf
n→∞ |〈f, xn〉| ≤ lim inf
n→∞ �f�∗�xn� = �x� lim inf
n→∞ �xn�
3. L’applicazione di dualità
Il Corollario 2.10 assicura che, fissato ad arbitrio x ∈ V , non è mai vuoto l’insieme dei funzionali
f ∈ V ∗ che verificano le (2.2). La corrispondenza che a ogni x ∈ V associa l’insieme di tali
funzionali svolge un ruolo di particolare rilievo soprattutto in Analisi Nonlineare.
3.1. Definizione. Se V è uno spazio normato, l’applicazione F : V → 2V ∗
che a ogni x ∈ V
associa il sottoinsieme di V ∗ definito da F(x) = {f ∈ V ∗ : valgano le (2.2)} si chiama applicazione
di dualità dello spazio V .
3.2. Esercizio. Siano V uno spazio di Hilbert reale, F l’applicazione di dualità e R : V → V ∗
l’isomorfismo di Riesz. Dimostrare che Rx ∈ F(x) per ogni x ∈ V . Tra breve sarà chiaro che,
più precisamente, F coincide con x ↦→ {Rx} .
Chiaramente F(0) = {0} senza ipotesi particolari. Il risultato che segue fornisce condizioni
sufficienti perché, per ogni x ∈ V , l’insieme F(x) (che, ribadiamo, non è mai vuoto) abbia
esattamente un elemento. In tali condizioni si interpreta F come un’applicazione di V in V ∗
anziché nell’insieme delle parti di V ∗ . Ad esempio F = R se V è uno spazio di Hilbert reale.
3.3. Definizione. Uno spazio normato (V, � · �) è strettamente convesso quando �x + y� < 2
per ogni coppia di punti distinti x, y ∈ V di norma unitaria.
Notiamo che la definizione si riferisce a una scelta precisa della norma. Due norme equivalenti
possono infatti fornire due spazi normati dei quali uno solo è strettamente convesso, come si vede
facilmente già nel caso di R 2 . Si dimostra che, qualunque sia lo spazio di misura σ -finito,
lo spazio L p (Ω) con la norma usuale è strettamente convesso se p ∈ (1, +∞) (3.1)
mentre gli spazi L 1 (Ω) e L ∞ (Ω) (con le loro norme usuali) sono strettamente convessi solo in
situazioni estreme e prive di interesse (si veda l’esercizio proposto tra breve). Segnaliamo un
risultato, che enunciamo soltanto. La nozione di riflessività è definita nel paragrafo successivo e
discussa in dettaglio in un apposito capitolo.
3.4. Teorema (di Asplund). Sia V uno spazio di Banach riflessivo. Allora esiste una norma
� · � in V che genera la topologia data e tale che entrambi gli spazi normati (V, � · �) e (V ∗ , � · �∗)
siano strettamente convessi.
3.5. Esercizio. Dimostrare che è equivalente alla stretta convessità dello spazio normato
(V, � · �) ciascuna delle condizioni seguenti: i) per ogni coppia di punti distinti x, y ∈ V aventi
la stessa norma si ha �x + y� < 2�x� ; ii) per ogni coppia di punti distinti x, y ∈ V di norma
unitaria e per ogni t ∈ (0, 1) si ha �tx + (1 − t)y� < 1 ; iii) per ogni coppia di punti distinti
x, y ∈ V aventi la stessa norma e per ogni t ∈ (0, 1) si ha �tx + (1 − t)y� < �x� .
3.6. Esercizio. Dimostrare che ogni spazio prehilbertiano è strettamente convesso.
3.7. Esercizio. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito. Dimostrare quanto segue: i) se
esistono due sottoinsiemi A, B ∈ M disgiunti e di misura positiva e finita, allora L 1 (Ω) e L ∞ (Ω)
non sono strettamente convessi; ii) L 1 (Ω) è strettamente convesso se e solo se dim L 1 (Ω) ≤ 1 ;
iii) L ∞ (Ω) è strettamente convesso se e solo se dim L ∞ (Ω) ≤ 1 .
3.8. Esercizio. Si consideri lo spazio normato (R n , | · |p) (vedi (I.5.1) e (I.5.17) per le definizioni
della norma) con n ≥ 1 e p ∈ [1, +∞] . Si dimostri che esso è strettamente convesso i) per ogni p
se n = 1 ; ii) se e solo se p ∈ (1, +∞) se n > 1 .
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Gianni Gilardi