G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
Dimostrazione. Poniamo V1 = span(V0 ∪ {x0}) . Siccome, in particolare, x0 �∈ V0 , ogni elemento di V1
si scrive come v + tx0 per una e una sola coppia (v, t) ∈ V0 × K e ha senso definire ϕ : V1 → K mediante
la formula ϕ(v + tx0) = t . Allora ϕ ∈ Hom(V1; K) . Inoltre ϕ(v) = 0 per ogni v ∈ V0 e ϕ(x0) = 1 .
Mostriamo che ϕ ∈ V ∗
1 . Siccome x0 non appartiene alla chiusura di V0 , possiamo fissare r > 0 tale che
Br(x0) non intersechi V0 . Dunque �x0 − v� ≥ r per ogni v ∈ V0 . Siano ora v ∈ V0 e t ∈ K non nullo.
Osservato che −v/t ∈ V0 , abbiamo
�v + tx0� = |t| �x0 − (−v/t)� ≥ |t|r da cui |ϕ(v + tx0)| = |t| ≤ 1
�v + tx0�.
r
D’altra parte la stessa disuguaglianza vale banalmente anche se t = 0 in quanto ϕ si annulla in tal caso.
Dunque ϕ è limitato. Pertanto ϕ ∈ V ∗
0 e possiamo applicare il Teorema di Hahn-Banach (Corollario 2.1):
troviamo f ∈ V ∗ che, in particolare, prolunga ϕ . Dunque f , come ϕ , si annulla su V0 e non in x0 .
Segue immediatamente il risultato successivo:
2.7. Corollario. Siano V uno spazio normato e V0 un suo sottospazio vettoriale. Allora V0 è
denso in V se e solo se l’unico elemento f ∈ V ∗ che si annulla su V0 è il funzionale nullo.
2.8. Esempio. Siano Ω un aperto di Rd . Dimostriamo che lo spazio C∞ c (Ω) delle funzioni di
classe C∞ a supporto compatto (Definizione I.5.50) è denso in Lp (Ω) per p ∈ [1, +∞) (Esempio
II.3.9). Grazie al Teorema III.3.4 di Riesz, posto q = p ′ , la tesi diventa: l’unica funzione
u ∈ Lq (Ω) che verifica �
Ω uv dx = 0 per ogni funzione v ∈ C∞ c (Ω) è la funzione nulla q.o. Sia
dunque u come detto. Siccome Lq (Ω) ⊆ L1 loc (Ω) per l’Esercizio I.5.48, u verifica l’ipotesi del
Lemma I.5.53 e si conclude che u = 0 q.o.
2.9. Osservazione. Si noti che lo stesso discorso fornisce la densità in L p (Ω) per 1 ≤ p < +∞
del sottospazio delle funzioni a scala (Definizione A.2.17 e Osservazione A.2.18).
2.10. Corollario. Siano V uno spazio normato e x ∈ V . Allora esiste f ∈ V ∗ tale che
�f�∗ = �x� e 〈f, x〉 = �x� 2 . (2.2)
Dimostrazione. Se x = 0 si può prendere f = 0 e questa è l’unica scelta possibile. Se x �= 0 ,
consideriamo il sottospazio V0 = span{x} e il funzionale ϕ : V0 → K definito da ϕ(tx) = t�x�2 per t ∈ K .
Chiaramente ϕ è lineare, dunque ϕ ∈ V ∗
0 perché dim V0 = 1 , per cui possiamo applicare il Teorema di
Hahn-Banach (Corollario 2.1): troviamo f ∈ V ∗ che prolunga ϕ , da cui 〈f, x〉 = 〈ϕ, x〉 = �x� 2 , e verifica
�f�∗ = �ϕ�∗ . Ma un calcolo immediato mostra che �ϕ�∗ = �x� .
Il Corollario 2.10 è particolarmente ricco di conseguenze e nei paragrafi immediatamente successivi
vediamo come esso svolga un ruolo fondamentale in connessione con vari concetti: la cosiddetta
applicazione o mappa di dualità, l’isomorfismo canonico su un sottospazio del biduale, la nozione
di operatore aggiunto. In corrispondenza ad alcuni di questi daremo anche qualche elemento dello
sviluppo della teoria. Presentiamo ora due applicazioni immediate del corollario le quali forniscono
l’una una caratterizzazione dello zero e l’altra sia l’unicità del limite debole sia l’estensione al caso
degli spazi normati della disuguaglianza (IV.4.4) vista nel caso hilbertiano.
2.11. Corollario. Siano V uno spazio normato e x ∈ V . Allora x = 0 se e solo se ogni f ∈ V ∗
verifica 〈f, x〉 = 0 .
Dimostrazione. La necessità della condizione è ovvia. Vediamo la sufficienza ragionando per assurdo. Sia
dunque x �= 0 . Scelto f in base al Corollario 2.10, troviamo f ∈ V ∗ che non si annulla in x .
2.12. Proposizione. In ogni spazio normato il limite debole è unico. Inoltre abbiamo che
xn ⇀ x implica �x� ≤ lim inf
n→∞ �xn� . (2.3)
Dimostrazione. Siano x, y ∈ V due limiti deboli della successione xn . Per ogni f ∈ V ∗ abbiamo allora
Analisi Funzionale
〈f, x − y〉 = 〈f, x〉 − 〈f, y〉 = lim
n→∞ 〈f, xn〉 − lim
n→∞ 〈f, xn〉 = 0.
101