G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Il Teorema di Hahn-Banach
Dimostrazione. Se K = R , siamo nelle condizioni di applicare il Teorema 1.1 in quanto la seminorma
p verifica le (1.1). Se f è il funzionale dato dal teorema stesso, allora f è lineare e prolunga ϕ . Inoltre,
siccome p è una seminorma, per ogni x ∈ V risulta ±f(x) = f(±x) ≤ p(±x) = p(x) , da cui |f(x)| ≤ p(x) .
Supponiamo ora K = C e, accanto agli spazi vettoriali complessi V e V0 , consideriamo i corrispondenti
spazi vettoriali reali ottenuti prendendo gli stessi gruppi additivi V e V0 e limitando la scelta degli scalari
ai numeri reali nei prodotti fra scalari e vettori nelle condizioni di linearità (rimanendo tuttavia vero che
λv ∈ V0 per ogni v ∈ V0 e λ ∈ C dato che V0 è uno spazio complesso). Poniamo ϕ0 = Re ϕ e ψ = Im ϕ
così che ϕ0, ψ : V0 → R sono funzionali lineari sullo spazio vettoriale reale V0 . Inoltre, siccome ϕ è lineare
sullo spazio complesso V0 , abbiamo per ogni v ∈ V0
ϕ0(iv) + iψ(iv) = ϕ(iv) = iϕ(v) = i(ϕ0(v) + iψ(v)) = −ψ(v) + iϕ0(v) da cui ψ(v) = −ϕ0(iv).
D’altra parte ϕ0(v) ≤ |ϕ(v)| ≤ p(v) per ogni v ∈ V0 . Applicato il Teorema 1.1 agli spazi reali V e V0 ,
troviamo f0 ∈ Hom(V ; R) che prolunga ϕ0 e verifica f0(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ V . Poniamo
f(x) = f0(x) − if0(ix) per x ∈ V da cui f0(x) = Re f(x) per ogni x ∈ V
e controlliamo che f verifica quanto richiesto. Innanzi tutto vediamo che f prolunga ϕ in quanto
f(v) = f0(v) − if0(iv) = ϕ0(v) − iϕ0(iv) = ϕ0(v) + iψ(v) = ϕ(v) per ogni v ∈ V0 .
Inoltre f(x + y) = f(x) + f(y) per ogni x, y ∈ V e, se λ è reale, risulta anche
f(λx) = f0(λx) − if0(iλx) = λf0(x) − iλf0(ix) = λf(x)
f(iλx) = f0(iλx) − if0(−λx) = λf0(ix) + iλf0(x) = iλf(x).
Deduciamo che f è lineare sullo spazio complesso V . Infatti, se λ = α + iβ ∈ C con α, β ∈ R , abbiamo
f(λx) = f(αx + iβx) = f(αx) + f(iβx) = αf(x) + iβf(x) = λf(x).
Fissiamo infine x ∈ V e rappresentiamo f(x) come f(x) = |f(x)|e iϑ con ϑ ∈ R . Abbiamo
f(e −iϑ x) = e −iϑ f(x) = |f(x)| ∈ R da cui f(e −iϑ x) = Re f(e −iϑ x) = f0(e −iϑ x)
e deduciamo che |f(x)| = f(e −iϑ x) = f0(e −iϑ x) ≤ p(e −iϑ x) = p(x) . Ciò conclude la dimostrazione.
2. Prime conseguenze
Come anticipato sopra, il Teorema di Hahn-Banach assicura l’esistenza di funzionali non banali
e, più precisamente, consente di prolungare i funzionali lineari e continui. Ciò ha parecchie conseguenze
importanti. La prima, fondamentale, è pure citata come Teorema di Hahn-Banach:
2.1. Corollario. Siano V uno spazio normato e V0 un suo sottospazio vettoriale. Allora ogni
funzionale ϕ ∈ V ∗
0 ha almeno un prolungamento f ∈ V ∗ che verifica �f�∗ = �ϕ�∗ .
Dimostrazione. Sia p la seminorma definita da p(x) = �ϕ�∗ �x� per x ∈ V . Allora |ϕ(v)| ≤ p(v)
per ogni v ∈ V0 . Sia f ∈ Hom(V ; K) dato dal Teorema 1.2 di Hahn-Banach. Allora f prolunga ϕ e
verifica |〈f, x〉| ≤ �ϕ�∗�x� per ogni x ∈ V per cui f ∈ V ∗ e �f�∗ ≤ �ϕ�∗ . Ma la disuguaglianza opposta
�f�∗ ≥ �ϕ�∗ è banalmente vera dato che f prolunga ϕ . Concludiamo che �f�∗ = �ϕ�∗ .
Questo corollario dice, in particolare, come è fatto il duale del sottospazio V0 : i suoi elementi
sono tutte e sole le restrizioni a V0 degli elementi di V ∗ (vedi Teorema III.3.10).
Usiamo ora questo corollario per dimostrare che l’ipotesi p < +∞ fatta nel Teorema III.3.4 di
Riesz di rappresentazione del duale di L p (Ω) non può essere rimossa.
Analisi Funzionale
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