G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
Dimostrazione. Consideriamo dapprima il caso particolare in cui V = span(V0 ∪ {x0}) (con la notazione
(I.1.1)) ove x0 è un punto di V non appartenente a V0 . Allora ogni x ∈ V si scrive come
x = v + tx0 per una e una sola coppia (v, t) ∈ V0 × R . Per ogni c ∈ R possiamo allora definire fc : V → R
mediante la formula fc(v+tx0) = ϕ(v)+ct e fc risulta lineare, come si verifica senza difficoltà. Dimostriamo
che si riesce a scegliere c in modo che fc(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ V . A tale scopo osserviamo che
Posto allora
ϕ(v1) + ϕ(v2) = ϕ(v1 + v2) ≤ p(v1 + v2) ≤ p(v1 − x0) + p(v2 + x0) per ogni v1, v2 ∈ V0 .
λ1 = sup {ϕ(v1) − p(v1 − x0)} e λ2 = inf {p(v2 + x0) − ϕ(v2)}
v1∈V0
v2∈V0
si ha λ1 ≤ λ2 . Mostriamo che, se c ∈ [λ1, λ2] , risulta fc(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ V . Iniziamo dai
punti x = v ± x0 con v ∈ V0 . Si ha fc(v − x0) = ϕ(v) − c ≤ ϕ(v) − λ1 ≤ p(v − x0) . Analogamente
risulta fc(v + x0) = ϕ(v) + c ≤ ϕ(v) + λ2 ≤ p(v + x0) . Consideriamo ora i casi x = v ± tx0 con v ∈ V0
e t > 0 , sfruttando quanto abbiamo appena controllato. Osservato che v/t ∈ V0 abbiamo nei due casi
fc(v ± tx0) = tfc(v/t ± x0) ≤ tp(v/t ± x0) = p(v ± tx0) . Infine fc(v) = ϕ(v) ≤ p(v) per ogni v ∈ V0 .
Dunque fc(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ V e la dimostrazione nel caso particolare considerato è conclusa.
Nel caso generale usiamo il Lemma di Zorn (si veda il Paragrafo A.3 per l’enunciato e la terminologia).
Introduciamo l’insieme ordinato (F, �) come segue
F = {f : f è un prolungamento lineare di ϕ tale che f(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ D(f)}
per f, g ∈ F diciamo che f � g se e solo se g è un prolungamento di f.
Precisamente f ∈ F se e solo se esiste un sottospazio vettoriale D(f) di V che include V0 tale che f
appartenga a Hom(D(f); R) e verifichi f|V0
precisamente che D(f) ⊆ D(g) e g| D(f) = f .
= ϕ e f(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ D(f) e f � g significa
Innanzi tutto F non è vuoto in quanto ϕ ∈ F ed è chiaro che la relazione � è una relazione d’ordine
parziale in F . Verifichiamo che F è induttivo. Sia dunque C una catena di F : dobbiamo costruirne
un maggiorante f0 ∈ F . Consideriamo l’insieme D(f0) = �
f∈C D(f) . Verifichiamo che: i) D(f0) è un
sottospazio vettoriale di V che include V0 ; ii) se x ∈ D(f0) , tutti gli elementi f ∈ C il cui dominio contiene
x assumono in x lo stesso valore; iii) definiamo f0 : D(f0) → R mediante la formula f0(x) = f(x) se
x ∈ D(f0) , f ∈ C e D(f) ∋ x ; iv) verifichiamo che f0 è il maggiorante cercato.
Per quanto riguarda i) , supponiamo x, y ∈ D(f0) e α, β ∈ R . Siano f, g ∈ C tali che D(f) ∋ x e
D(g) ∋ y . Siccome C è una catena, risulta f � g a meno dello scambio dei ruoli di f e di g . Allora
x, y ∈ D(g) e quindi αx + βy ∈ D(g) ⊆ D(f0) . Inoltre D(f0) ⊇ V0 in quanto, scelto f ∈ C , si ha
D(f0) ⊇ D(f) ⊇ V0 . Passiamo a ii) . Siano f, g ∈ C tali che x ∈ D(f) ∩ D(g) . Dato che ancora
possiamo supporre f � g , abbiamo f(x) = g(x) . A questo punto la definizione data in iii) ha senso
e dobbiamo verificare quanto asserito in iv) , cioè che f0 ∈ F e che f � f0 per ogni f ∈ C . Siano
x, y ∈ D(f0) e α, β ∈ R . Ragionando come in i) , vediamo che esiste g ∈ C tale che x, y ∈ D(g) . Allora
f0(αx + βy) = g(αx + βy) = αg(x) + βg(y) = αf0(x) + βf0(y) e f0 è lineare. Inoltre f0(x) = g(x) ≤ p(x) .
Se poi x ∈ V0 , scelto f ∈ C , si ha x ∈ D(f) e f0(x) = f(x) = ϕ(x) . Infine, se f ∈ C , allora D(f) ⊆ D(f0)
per costruzione e f(x) = f0(x) , per cui f � f0 .
Siamo dunque nelle condizioni di applicare il Lemma di Zorn: esiste un elemento F ∈ F che è massimale,
cioè tale che nessun f ∈ F distinto da F può verificare F � f . Allora F verifica la tesi del teorema se
soddisfa la condizione D(F ) = V . Ma questa si controlla immediatamente. Se infatti fosse D(F ) �= V ,
scelto x0 ∈ V che non appartiene a D(F ) e applicata la prima parte della dimostrazione allo spazio
vettoriale W = span(D(F ) ∪ {x0}) e al funzionale F , costruiremmo F ′ ∈ F con D(F ′ ) = W tale che
F � F ′ . Siccome D(F ′ ) �= D(F ) avremmo F ′ �= F e la massimalità di F verrebbe contraddetta.
1.2. Teorema (di Hahn-Banach, caso generale). Siano V uno spazio vettoriale, V0 un suo
sottospazio vettoriale e ϕ ∈ Hom(V0; K) . Sia inoltre p una seminorma in V . Se |ϕ(v)| ≤ p(v) per
ogni v ∈ V0 , allora esiste f ∈ Hom(V ; K) che prolunga ϕ e verifica la disuguaglianza |f(x)| ≤ p(x)
per ogni x ∈ V .
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Gianni Gilardi