G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 5
Il Teorema di Hahn-Banach
Partiamo da un esempio che mostra che esistono spazi vettoriali topologici, anche apparentemente
“belli”, il cui duale è estremamente povero. Sia Ω un aperto limitato di Rd e sia M(Ω) lo
spazio delle (classi di) funzioni misurabili v : Ω → K munito della metrica definita da
�
d(u, v) = tanh |u(x) − v(x)| dx, u, v ∈ M(Ω).
Ω
Effettivamente d è una metrica e M(Ω) diventa addirittura sia uno spazio metrico completo sia
uno spazio vettoriale topologico. Ebbene, l’unico funzionale f : M(Ω) → K lineare e continuo è
il funzionale nullo. Siccome niente di quanto abbiamo detto è banale da giustificare, preferiamo
soprassedere: ci premeva solo andare un poco oltre una semplice affermazione.
L’esistenza di funzionali lineari e continui non banali non è dunque un problema di poco conto:
essa non può infatti dipendere dalla sola struttura di spazio vettoriale topologico. Negli spazi
normati le cose vanno molto meglio, grazie al Teorema di Hahn-Banach, caposaldo dell’Analisi
Funzionale e argomento centrale del capitolo. Benché le sue applicazioni possano essere estese a
una categoria più vasta di quella degli spazi normati, noi ci limiteremo a quest’ultima.
Per meglio mettere in evidenza il ruolo del Teorema di Hahn-Banach, presentiamo in questo
stesso capitolo un numero consistente di applicazioni. Ciò ci porta a introdurre una quantità di
concetti, per alcuni dei quali diamo anche qualche elemento dello sviluppo della relativa teoria.
1. Forma analitica del Teorema di Hahn-Banach
Vari problemi dell’Analisi Funzionale dipendono più precisamente dalla possibilità di estendere a
tutto lo spazio ambiente funzionali definiti solo in un sottospazio vettoriale. Nel caso hilbertiano
tutto va bene: addirittura gli operatori possono essere estesi grazie al Teorema delle proiezioni.
Vediamo in concreto come si possa porre il problema e risolverlo in tale caso.
Siano H e H ′ due spazi di Hilbert, H0 un sottospazio di H e L : H0 → H ′ un operatore
lineare e continuo. Innanzi tutto, sfruttando la completezza di H ′ , è possibile estendere
(in modo unico) L a un operatore lineare e continuo definito sulla chiusura di H0 grazie alla
Proposizione III.1.12. Per non complicare le notazioni supponiamo che già H0 sia chiuso. Allora
detto P l’operatore di proiezione di H su H0 , L ◦ P è un operatore lineare e continuo da H in
H ′ che prolunga L .
Nel caso degli spazi normati, invece, non vi è un metodo generale di prolungamento degli
operatori. Tuttavia almeno i funzionali, cioè gli operatori a valori nello spazio degli scalari, si
possono prolungare se si accetta l’assioma della scelta. Enunciamo e dimostriamo il Teorema di
Hahn-Banach in una forma sufficientemente generale ma relativa al caso degli spazi reali. Di seguito
vediamo il caso complesso e le numerose applicazioni.
1.1. Teorema (di Hahn-Banach, caso reale). Siano V uno spazio vettoriale reale, V0 un
suo sottospazio vettoriale e ϕ ∈ Hom(V0; R) . Sia inoltre p : V → R una funzione subadditiva e
positivamente omogenea, cioè verificante
p(x + y) ≤ p(x) + p(y) e p(λx) = λp(x) per ogni x, y ∈ V e λ > 0 . (1.1)
Se ϕ(v) ≤ p(v) per ogni v ∈ V0 , allora esiste f ∈ Hom(V ; R) che prolunga ϕ e verifica la
disuguaglianza f(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ V .