G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
Ma ciò significa che (1 + ε 2 )uε| (0,+∞) è la derivata debole di ε 2 u ′ ε| (0,+∞) , cioè che la funzione uε
risolve l’equazione differenziale (ε 2 u ′ ε) ′ = (1 + ε 2 )uε in (0, +∞) . Siccome questa è un’equazione
lineare a coefficienti costanti e le soluzioni deboli di equazioni di questo tipo sono tutte e sole le
soluzioni classiche, deduciamo che la restrizione di uε a (0, +∞) è una combinazione lineare delle
due funzioni esponenziali x ↦→ exp(±λεx) ove λε = ε −1 (1 + ε 2 ) 1/2 . Dovendo essere uε ∈ V ,
deduciamo che deve valere una rappresentazione del tipo uε(x) = cε exp(−λεx) per x > 0 , ove
cε ∈ R rimane da determinare. Analogamente si vede che uε(x) = c ′ ε exp(λεx) per x < 0 per
una certa c ′ ε ∈ R e l’immersione V ⊂ C 0 b (R) implica c′ ε = cε . Pertanto uε(x) = cε exp(−λε|x|)
per x ∈ R e ora determiniamo cε . Ciò può essere fatto semplicemente scegliendo nella (5.14)
una funzione v ∈ V di tipo non ancora sfruttato, cioè verificante v(0) �= 0 , e una possibilità che
minimizza i calcoli è prendere v = vε data dalla formula vε(x) = exp(−λε|x|) . Infatti uε = cεvε
e (v ′ ε) 2 = λ 2 εv 2 ε , per cui si trova cε(1 + ε 2 λ 2 ε + ε 2 )Iε = 1 , dove Iε è l’integrale di v 2 ε , cioè 1/λε .
Concludiamo che cε = (2ε(1 + ε 2 ) 1/2 ) −1 . Notiamo che la convergenza uε → f in V ∗ significa
lim
ε→0
sup |〈uε, v〉 − 〈f, v〉| = 0 cioè lim
�v�=1
ε→0
il che non è banale da dimostrare direttamente.
sup
�v�1,2=1
��
� +∞
�
�
−∞
cε e −λε|x| v(x) dx − v(0)
�
�
�
� = 0
5.12. Osservazione. Il discorso astratto del punto 5.8 può proseguire nella direzione di convergenze
in norme via via più forti, in ipotesi su f corrispondentemente più restrittive: prima f ∈ V
e Rf ∈ H , poi f ∈ V e Rf ∈ V , eccetera. Ad esempio, nella prima delle due ipotesi abbiamo
Ruε → Rf in H , come chiaramente emerge dall’ultima parte della dimostrazione fatta sopra.
Nel caso concreto dell’osservazione precedente, grazie ai risultati di regolarità per le equazioni di
tipo ellittico, procedere in questo modo significa supporre f appartenente allo spazio di Sobolev
H k (R d ) con k via via più elevato e a ottenere la convergenza nello stesso spazio.
5.13. Esercizio. Siano f ∈ L 2 (R d ) e k un intero positivo. Usare direttamente la tecnica delle
perturbazioni singolari (cioè non l’osservazione precedente) per costruire una famiglia {uε} di
funzioni appartenenti ad H k (R d ) che converge a f in L 2 (R d ) per ε → 0 + .
96
Gianni Gilardi