G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
Applicando la (3.8) deduciamo che limk→∞(λkx, y) = (λx, y) . Dunque l’uguaglianza desiderata di (3.9)
vale per ogni λ > 0 . Il caso λ = 0 è banale. Abbiamo infine (x, y) + (−x, y) = (x − x, y) = 0 , da cui
(−x, y) = −(x, y) , e concludiamo che l’uguaglianza in questione vale anche per ogni λ < 0 .
Nel caso K = C prendiamo invece
(x, y) = 1
�
�x + y�
4
2 − �x − y� 2�
+ i
�
�x + iy�
4
2 − �x − iy� 2�
per x, y ∈ V (3.10)
e ancora l’unico controllo degno di nota è quello della linearità nel primo argomento. A tal fine denotiamo
con (x, y) ′ il primo membro della (3.8), così che vale la formula
(x, y) = (x, y) ′ + i(x, iy) ′ per ogni x, y ∈ V .
Osservato che tutto il discorso fatto nel caso reale dipende solo dalle proprietà formali utilizzate, vediamo
che per ( · , · ) ′ vale tutto quanto abbiamo dimostrato sopra. Per ogni x, y, z ∈ V abbiamo in particolare
(x + y, z) ′ = (x, z) ′ + (y, z) ′
e anche (λx, y) ′ = λ(x, y) ′
e (x + y, iz) ′ = (x, iz) ′ + (y, iz) ′ da cui (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
se λ ∈ R.
Sia ora λ ∈ C . Se α = Re λ e β = Im λ , combinando quanto appena dimostrato, otteniamo facilmente
(λx, y) = α(x, y) ′ + β(ix, y) ′ + iα(x, iy) ′ + iβ(ix, iy) ′
λ(x, y) = α(x, y) ′ + iβ(x, y) ′ + iα(x, iy) ′ − β(x, iy) ′ .
D’altra parte si vede subito che (ix, y) ′ = −(x, iy) ′ e (ix, iy) ′ = (x, y) ′ . Pertanto (λx, y) = λ(x, y) .
Siccome nel seguito tratteremo spesso di isometrie e di isomorfismi, conviene fissare la terminologia
una volta per tutte e formalizzarla nelle definizioni date di seguito. Facciamo notare che
nella definizione di isometria non imponiamo la suriettività.
3.10. Definizione. Se (X, d) e (X ′ , d ′ ) sono due spazi metrici, un’applicazione isometrica,
o isometria, del primo nel secondo è un’applicazione f : X → X ′ che verifica la condizione
d ′ (f(x), f(y)) = d(x, y) per ogni x, y ∈ X . I due spazi metrici sono isometrici quando esiste
un’isometria suriettiva del primo sul secondo.
3.11. Definizione. Se V e W sono due spazi vettoriali, un isomorfismo algebrico di V su W
è un elemento L ∈ Hom(V ; W ) che sia un’applicazione biiettiva. I due spazi sono algebricamente
isomorfi quando esiste un isomorfismo algebrico del primo sul secondo.
3.12. Definizione. Se V e W sono spazi normati, un isomorfismo del primo sul secondo è un
isomorfismo algebrico L tale che L e L −1 siano funzioni continue. Un isomorfismo è isometrico
quando è anche un’isometria rispetto alle metriche indotte dalle rispettive norme. I due spazi
normati sono isomorfi quando esiste un isomorfismo del primo sul secondo e sono isometricamente
isomorfi quando esiste un isomorfismo isometrico del primo sul secondo.
3.13. Osservazione. Se (V, � · �V ) e (W, � · �W ) sono due spazi normati, si vede immediatamente
che un’applicazione L ∈ Hom(V ; W ) è un’isometria se e solo se
�Lx�W = �x�V per ogni x ∈ V .
Nel caso degli spazi prehilbertiani, tenendo conto dell’Osservazione 3.7, vediamo che ogni applicazione
lineare isometrica L conserva anche i prodotti scalari, cioè
(Lx, Ly)W = (x, y)V per ogni x ∈ V .
Possiamo fare anche un’altra osservazione. Siano V e W due spazi vettoriali e sia L : V → W
un isomorfismo algebrico. Se � · �W è una norma in W e se definiamo � · �V : V → R mediante
la formula �x�V = �Lx�W , è chiaro che � · �V è una norma in V che rende L isomorfismo
isometrico. In particolare, se � · �W è prehilbertiana, lo stesso vale per � · �V .
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Gianni Gilardi