MISCELLANEA 2005 2006.pdf - Liceo Ginnasio Statale Orazio di ...

Definizione 2
Una coppia di primi gemelli è una coppia di numeri primi della forma
p e p+2 (es: (3;5), (5;7), (11;13), ...)
Teorema 1
Per ogni coppia di numeri primi gemelli p e p+2 con p>3 si ha:
p+1 è divisibile per 6.
Dimostrazione:
È sufficiente mostrare che p+1 è divisibile per 3 (p+1 è pari).
D’altra parte se così non fosse si avrebbe:
1° caso: Resto(p+1:3) = 1 ⇒ p+1 = 3 k+1 per qualche κ∈N ⇒ p=3k⇒ p è
divisibile per 3, e questo è assurdo perché p è un numero primo maggiore di 3.
2° caso: Resto(p+1:3)=2 ⇒ p+1 = 3 k+2 per qualche κ∈N ⇒ p+2 = 3 k+3 =
3(k+1) ⇒ p+2 è divisibile per 3, e questo è assurdo perché p+2 è un numero
primo maggiore di 3.
Teorema 2
Per ogni coppia di numeri primi gemelli p e p+2 con p>5 si ha:
p+1 non può terminare con 4 e con 6.
Dimostrazione:
Se così non fosse si avrebbe:
1° caso: p+1 termina con 4 ⇒ p+2 termina con 5 ⇒ p+2 è divisibile per 5, e
questo è assurdo perché p+2 è un numero primo maggiore di 5.
2° caso: p+1 termina con 6 ⇒ p termina con 5 ⇒ p è divisibile per 5, e
questo è assurdo perché p è un numero primo maggiore di 5.
Q.E.D.
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