– LA FORMULA DI TAYLOR COL RESTO DI LAGRANGE Sia Pn(x ...

2 LA FORMULA DI TAYLOR COL RESTO DI LAGRANGE
In pratica la ϕ si ottiene dalla (R) mettendo la variabile t al posto del numero
fissato c, e sottraendo la quantità a (x−t)n+1
(x−c) n+1.
Chiaramente ϕ è continua in ]α, β[ e dotata in ogni punto t ∈]α, β[ distinto da c
di derivata prima ϕ ′ (t). Osserviamo ora che si ha ϕ(x) = ϕ(c) = 0. Infatti
ϕ(x) = f(x) −
e
n�
k=0
f (k) (x)
(x − x)
k!
k (x − x)n+1
− a =
(x − c) n+1
= f(x) − f(x) − f ′ (x)(x − x) − f ′′ (x)(x − x) 2 − · · · − f (n) (x)(x − x) n = 0,
ϕ(c) = f(x) −
= f(x) −
n�
k=0
n�
k=0
f (k) (c)
(x − c)
k!
k (x − c)n+1
− a =
(x − c) n+1
f (k) (c)
(x − c)
k!
k − a = 0
per la (R). Per il teorema di Rolle esiste così un punto ξ interno all’intervallo
di estremi c ed x tale che ϕ ′ (ξ) = 0. Calcoliamo, per t ∈]α, β[, t �= c, ϕ ′ (t). Si ha
� ′
ϕ ′ (t) =
�
f(x) −
n�
k=0
f (k) (t)
(x − t)
k!
k (x − t)n+1
− a
(x − c) n+1
�
= 0 − f(t) + f ′ (t)(x − t) + f ′′ (t)
2 (x − t)2 + f ′′′ (t)
(x − t)
3!
3 + · · · + f(n) (t)
(x − t)
n!
n
� ′
+
�
(x − t)n+1
− a
(x − c) n+1
� ′
=
= − f ′ �
(t) − f
����
•
′′ (t)(x − t) − f
� �� �
••
′ � � ′′′ f (t)
(t) − (x − t)
���� 2
•
2
−
� �� �
•••
f ′′ � � ′′′′ (t) f (t)
2 (x − t) − (x − t)
�
2
�� �
3!
••
3
+
� �� �
••••
− f ′′′ (t)
3 (x − t)
3!
2
� � (n+1) f (t)
− · · · − (x − t)
� �� �
n!
•••
n − f(n) (t)
n (x − t)
n!
n−1
�
(x − t)
+ a (n + 1)
� �� �
•
�
•
��
· · · •
�
n–volte
n
=
(x − c) n+1
= − f(n+1) (t)
(x − t)
n!
n (x − t)
+ a (n + 1)
n
=
(x − c) n+1
= −
Cosìda
(n + 1)(x − t)n
(x − c) n+1
� �
(n+1) n+1
f (t)(x − c)
− a .
(n + 1)!
ϕ ′ (ξ) = −
segue necessariamente
(n + 1)(x − ξ)n
(x − c) n+1
� �
(n+1) n+1
f (ξ)(x − c)
− a = 0
(n + 1)!
a = f(n+1) (ξ)(x − c) n+1
(n + 1)!
=