– LA FORMULA DI TAYLOR COL RESTO DI LAGRANGE Sia Pn(x ...

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LA FORMULA DI TAYLOR
COL RESTO DI LAGRANGE
Sia Pn(x) il polinomio di Taylor di ordine n e punto iniziale c ∈]α, β[ relativo alla
funzione f :]α, β[→ R, ]α, β[⊆ R intervallo aperto, ed ivi dotata di tutte le derivate
sino all’ordine n. Si ha cioè
Pn(x) = f(c)+f ′ (c)(x −c) + f ′′ (c)
2
= f(0) (c)
0!
(x−c) 0 + f(1) (c)
1!
ovvero, in forma più compatta,
(x−c) 1 + f(2) (c)
2!
Pn(x) =
(x − c) 2 + f ′′′ (c)
(x − c)
3!
3 + · · · + f(n)
n! (x − c)n =
n�
k=0
(x−c) 2 + f(3) (c)
3!
f (k) (c)
(x − c)
k!
k .
(x−c) 3 +· · ·+ f(n) (x)
(x−c)
n!
n ,
Per costruzione si ha D (k) f(c) = D (k) Pn(c) per ogni k = 0, 1, 2, . . ., n, ovvero,
come si suol dire, f e Pn hanno un contatto di ordine n nel punto c.
Se f fosse un polinomio dovrebbe aversi necessariamente f = Pn in ]α, β[. In
generale però la differenza f −Pn non è nulla. Il teorema che segue stima pertanto,
per ogni x ∈]α, β[ fissato arbitrariamente, la differenza f(x)−Pn(x) in termini della
derivata di ordine n + 1 della f calcolata in un opportuno punto di ]α, β[, sempre
che questa esista.
Si ha così la formula di Taylor, espressa dal seguente teorema.
Teorema 1. Siano n ∈ N0, f :]α, β[→ R dotata di derivate continue sino all’ordine
n, c ∈]α, β[ fissato a piacere; supponiamo infine che esista f (n+1) (x) in ogni
punto x ∈]α, β[ distinto da c . Allora per ogni x ∈]α, β[, x �= c, esiste ξ interno
all’intervallo di estremi c ed x per il quale si ha
f(x) =
n�
k=0
f (k) (c)
(x − c)
k!
k + f(n+1) (ξ)
(n + 1)! (x − c)n+1 .
Osservazione 1. Per n = 0 la formula di Taylor si riduce al teorema di Lagrange.
Dimostrazione. Osserviamo subito che la tesi continua banalmente a sussistere anche
quando x = c , potendo scegliere come punto ξ un qualsivoglia punto interno
ad ]α, β[ e distinto da c. Fissiamo dunque arbitrariamente x ∈]α, β[ , x �= c. Se
poniamo
(R)
a = f(x) −
k=0
n�
k=0
f (k) (c)
(x − c)
k!
k
si deve provare che esiste ξ interno all’intervallo di estremi c ed x per il quale risulta
a = f(n+1) (ξ)
n+1! (x − c) n+1 . A tale scopo definiamo una funzione I ∋ t → ϕ(t) ∈ R
ponendo, per ogni punto t ∈]α, β[,
n� f
ϕ(t) = f(x) −
(k) (t)
(x − t)
k!
k (x − t)n+1
− a .
(x − c) n+1
c○2007 Author: Andrea O. Caruso – Date: 28 ottobre 2007
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2 LA FORMULA DI TAYLOR COL RESTO DI LAGRANGE
In pratica la ϕ si ottiene dalla (R) mettendo la variabile t al posto del numero
fissato c, e sottraendo la quantità a (x−t)n+1
(x−c) n+1.
Chiaramente ϕ è continua in ]α, β[ e dotata in ogni punto t ∈]α, β[ distinto da c
di derivata prima ϕ ′ (t). Osserviamo ora che si ha ϕ(x) = ϕ(c) = 0. Infatti
ϕ(x) = f(x) −
e
n�
k=0
f (k) (x)
(x − x)
k!
k (x − x)n+1
− a =
(x − c) n+1
= f(x) − f(x) − f ′ (x)(x − x) − f ′′ (x)(x − x) 2 − · · · − f (n) (x)(x − x) n = 0,
ϕ(c) = f(x) −
= f(x) −
n�
k=0
n�
k=0
f (k) (c)
(x − c)
k!
k (x − c)n+1
− a =
(x − c) n+1
f (k) (c)
(x − c)
k!
k − a = 0
per la (R). Per il teorema di Rolle esiste così un punto ξ interno all’intervallo
di estremi c ed x tale che ϕ ′ (ξ) = 0. Calcoliamo, per t ∈]α, β[, t �= c, ϕ ′ (t). Si ha
� ′
ϕ ′ (t) =
�
f(x) −
n�
k=0
f (k) (t)
(x − t)
k!
k (x − t)n+1
− a
(x − c) n+1
�
= 0 − f(t) + f ′ (t)(x − t) + f ′′ (t)
2 (x − t)2 + f ′′′ (t)
(x − t)
3!
3 + · · · + f(n) (t)
(x − t)
n!
n
� ′
+
�
(x − t)n+1
− a
(x − c) n+1
� ′
=
= − f ′ �
(t) − f
����
•
′′ (t)(x − t) − f
� �� �
••
′ � � ′′′ f (t)
(t) − (x − t)
���� 2
•
2
−
� �� �
•••
f ′′ � � ′′′′ (t) f (t)
2 (x − t) − (x − t)
�
2
�� �
3!
••
3
+
� �� �
••••
− f ′′′ (t)
3 (x − t)
3!
2
� � (n+1) f (t)
− · · · − (x − t)
� �� �
n!
•••
n − f(n) (t)
n (x − t)
n!
n−1
�
(x − t)
+ a (n + 1)
� �� �
•
�
•
��
· · · •
�
n–volte
n
=
(x − c) n+1
= − f(n+1) (t)
(x − t)
n!
n (x − t)
+ a (n + 1)
n
=
(x − c) n+1
= −
Cosìda
(n + 1)(x − t)n
(x − c) n+1
� �
(n+1) n+1
f (t)(x − c)
− a .
(n + 1)!
ϕ ′ (ξ) = −
segue necessariamente
(n + 1)(x − ξ)n
(x − c) n+1
� �
(n+1) n+1
f (ξ)(x − c)
− a = 0
(n + 1)!
a = f(n+1) (ξ)(x − c) n+1
(n + 1)!
=

LA FORMULA DI TAYLOR COL RESTO DI LAGRANGE 3
che completa la dimostrazione. �
Osservazione 2. Il teorema continua ovviamente a sussistere se supponiamo
direttamente che f sia dotata in ]α, β[ di derivate sino all’ordine n + 1.
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