3D GRAPHICS - PREVIEW

1 INDICE
3D GRAPHICS
[0] - Basi di Grafica 3D
1 – Introduzione ............................................................................................................................... 4
1.1 - La scena ed il World Space ............................................................................................6
1.2 – Coordinate .......................................................................................................................... 8
2 - Trasformazioni ........................................................................................................................ 10
2.1 - Traslazione, rotazione e scala ................................................................................... 10
2.2 - Rappresentare le trasformazioni ............................................................................. 12
2.3 – Vettori ................................................................................................................................. 15
2.3.1 - Lunghezza di un vettore 3D................................................................................. 18
2.3.2 - Somma tra due vettori 3D .................................................................................. 20
2.3.3 - Sottrazione tra due vettori 3D ........................................................................... 21
2.3.4 - Moltiplicazione tra un vettore 3D ed uno scalare ..................................... 22
2.3.5 - Normalizzazione di un vettore 3D ................................................................... 23
2.3.6 - Moltiplicazione tra vettori: Dot product ........................................................ 24
10 - Pipeline di Rendering - Shaders: Conclusioni ......................................................... 196
GLOSSARIO ..................................................................................................................................200

| 2

3D GRAPHICS
3 [0] - Basi di Grafica 3D

1 – Introduzione | 4
1 – Introduzione
Lo scopo di questo libro è quello di fornire al lettore una visione ampia e
dettagliata del funzionamento di un “motore grafico” moderno, partendo dalle basi
matematiche ( per loro natura, generiche ), passando per la “pipeline di
rendering” fino ad arrivare all’implementazione vera e propria di “shader”
all’interno del motore grafico di Unity 3D.
Questi argomenti, presi singolarmente, sono spesso troppo vasti per essere
trattati in modo esaustivo in questo volume, il quale invece vuole offrire, tramite
un percorso accessibile fatto di nozioni e ragionamenti, una solida base di
partenza per tutti coloro che, anche per semplice curiosità, sono interessati a
capire meglio cosa si cela dietro la magia della computer graphics real-time.
Per poter comprendere appieno alcuni passaggi è necessario che il lettore
conosca i concetti base dell'informatica ed almeno un linguaggio di
programmazione. Nella seconda parte, per gli aspetti implementativi, faremo
riferimento a Unity 3D, per cui è consigliabile conoscerne gli aspetti principali per
poter mettere facilmente in pratica gli esempi proposti.
Procederemo a piccoli passi, partendo una domanda che a prima vista potrebbe
sembrare semplice, ma che in realtà, come vedremo, non lo è affatto:
“ Come facciamo a ‘spiegare’ al computer come disegnare un cubo bianco su sfondo nero? ”
Figura 1.1

5 3D GRAPHICS
Ovvero, quali calcoli deve eseguire, e di quali informazioni necessita il computer
al fine di poter disegnare su schermo la scena raffigurata in Figura 1.1?
In altri termini, come facciamo a far sì che il computer sappia che dovrà colorare,
ad esempio, quel preciso pixel dello schermo di bianco, quello di grigio e
quell'altro di nero? (Figura 1.2)
Figura 1.2

1 – Introduzione | 1.1 - La scena ed il World Space 6
1.1 - La scena ed il World Space
Iniziamo ad analizzare meglio in problema: Da quali elementi è composta la scena
che vogliamo visualizzare?
Sicuramente abbiamo un “CUBO”, ma abbiamo anche qualcosa che sta
“osservando” la scena da una certa posizione e angolazione: La “CAMERA”, cioè il
punto dal quale viene “ripresa” la nostra scena. Un ulteriore elemento è la “LUCE”:
Senza luce, infatti, la scena risulterebbe completamente al buio e lo schermo
completamente nero.
Oltre a questi tre elementi, la nostra scena è composta da un’altro elemento
fondamentale:
L’AMBIENTE 3D stesso. Cioè lo spazio tridimensionale nel quale sono “immersi”
gli elementi di cui sopra.
Che cos’è il nostro ambiente 3D? E’ un SISTEMA DI RIFERIMENTO composto da
tre ASSI ( chiamati “X”, “Y” e “Z” ) ed un punto di ORIGINE all’incrocio degli assi.
(Figura 1.3)
Figura 1.3
In questo caso abbiamo chiamato asse “X” l’asse orizzontale, con valori negativi
a sinistra e positivi a destra; Asse “Y” l’asse verticale, con valori negativi in basso
e positivi in alto, ed infine asse “Z” l’asse di profondità, con valori negativi indietro
e positivi in avanti.

7 3D GRAPHICS
In realtà non c’è una regola standard: Unity 3D utilizza questa notazione, ma è
possibile trovare altre notazioni in altri engine ( dove, ad esempio, la “Z” viene
associata all’asse verticale e la “Y” a quella di profondità ): E’ infatti solo una
questione di nomenclatura, il concetto non cambia.
Il sistema di riferimento che rappresenta il nostro ambiente 3D lo chiamiamo, per
convenzione, WORLD SPACE.

1 – Introduzione | 1.2 – Coordinate 8
1.2 – Coordinate
Fissati gli assi, possiamo quindi individuare dei “PUNTI” dello spazio 3D ed
attribuirgli delle COORDINATE tramite un gruppo di tre numeri ordinati che
identificano rispettivamente, in ordine, il valore delle singole coordinate sull’asse
X, sull’asse Y e sull’asse Z.
Ad esempio le COORDINATE “3,1,2“ individuano un PUNTO dello spazio 3D (
WORLD SPACE ) posizionato a 3 unità sull’asse X, a 1 unità sull’asse Y ed a 2 unità
sull’asse Z.
Il valore di ogni singola coordinata è “espresso” in funzione del SISTEMA DI
RIFERIMENTO utilizzato: Senza un SISTEMA DI RIFERIMENTO le coordinate
sarebbero semplicemente un insieme di numeri senza significato. ( Figura 1.4 )
Figura 1.4
Per ogni elemento della nostra scena, possiamo quindi individuare un punto nello
spazio 3D che ne identifica una POSIZIONE ( Position ).
Possiamo quindi dire che il CUBO e la CAMERA hanno una POSIZIONE all'interno
del nostro SISTEMA DI RIFERIMENTO ( cioè l’ambiente 3D ). ( Figura 1.5 )

3D GRAPHICS
9 Figura 1.5
Ad esempio, il CUBO in Figura 1.5 ha una POSIZIONE, definita tramite un gruppo di 3
numeri ( le coordinate ) espresse secondo il SISTEMA DI RIFERIMENTO del nostro
ambiente tridimensionale, di “-2 , 0 , 3”.
Analogamente, la nostra CAMERA avrà una POSIZIONE definita dalle
coordinate “1 , 1, -2”.

2 - Trasformazioni | 2.1 - Traslazione, rotazione e scala 10
2 - Trasformazioni
2.1 - Traslazione, rotazione e scala
Oltre alla POSIZIONE, che altre caratteristiche possiamo attribuire agli elementi
presenti in scena, utili a comunicare al computer come disegnare l'immagine di
Figura 1.1?
Se osserviamo meglio il CUBO di Figura 1.1, possiamo notare che questo risulta
leggermente ruotato, nel senso che non ha la faccia completamente rivolta verso
la CAMERA che riprende la scena.
La sola informazione della POSIZIONE non è più sufficiente, quindi; Si rende
necessaria la presenza di una seconda informazione:
La ROTAZIONE ( Rotation ). (Figura 2.1)
Figura 2.1 -ROTAZIONE del CUBO.
Come ultima caratteristica, dopo POSIZIONE e ROTAZIONE, possiamo individuare
anche la SCALA ( Scale ), che indica, ad esempio, di quanto è stato ridimensionato
( ingrandito o rimpicciolito ) il CUBO rispetto al suo stato originale.
Esistono, infine, ulteriori caratteristiche che possiamo associare ad ogni
elemento della scena, come ad esempio lo “SHEAR”, ma poiché raramente
utilizzate in questo campo, le omettiamo.

11 3D GRAPHICS
Chiamiamo l’insieme di queste caratteristiche, associate ad un elemento presente
in scena, “TRASFORMAZIONE” ( Transform ) .
In altri termini infatti, la POSIZIONE, ROTAZIONE e SCALA si possono vedere come
dei “cambiamenti di assetto” rispetto allo stato originale: Delle “Trasformazioni”
appunto. Il CUBO posizionato in un determinato punto ha infatti subìto una
TRASLAZIONE rispetto alla posizione di partenza ( l’origine ). Allo stesso modo, il
CUBO, come abbiamo visto, risulta anche ruotato: Ha subìto infatti anche una
ROTAZIONE.
Quindi per riassumere, la TRASFORMAZIONE indicherà la TRASLAZIONE (
POSIZIONE ), la ROTAZIONE e la SCALA applicate ad un elemento della scena.
Come per la POSIZIONE, anche queste ulteriori caratteristiche sono sempre
espresse in funzione di un SISTEMA DI RIFERIMENTO.

2 - Trasformazioni | 2.2 - Rappresentare le trasformazioni 12
2.2 - Rappresentare le trasformazioni
Iniziamo ad avere un discreto numero di informazioni che possiamo “passare” al
computer affinché lui possa disegnare la nostra scena iniziale ( Figura 1.1 ): Abbiamo
la lista degli elementi ( CUBO, CAMERA, LUCE ) immersi nell’ambiente 3D ( il
sistema di riferimento WORLD SPACE ) e siamo in grado di descriverne le loro
TRASFORMAZIONI ( Traslazione, Rotazione e Scala ).
Come possiamo rappresentare a computer tali informazioni?
Un concetto può essere rappresentato, infatti, in diverse forme e modi: Ad
esempio per rappresentare un “Cerchio di raggio 3”, possiamo semplicemente
disegnarlo; Ma possiamo anche ricorrere all’equazione della circonferenza, o
ancora, scrivere un algoritmo in un linguaggio di programmazione ( Figura 2.2 ).
Ogni sistema di rappresentazione ha pro e contro e risulta più o meno adatto a
seconda dello scopo.
Figura 2.2 - Diversi modi di rappresentare un cerchio di raggio 3
Ci chiediamo quindi, ad esempio, come possiamo, rappresentare il concetto ed il
valore delle coordinate? Qual è il sistema migliore?
Abbiamo visto che le coordinate tridimensionali ( che identificano una posizione )
sono un gruppo di 3 numeri reali ( x , y e z ). Allo stesso modo possiamo pensare
di associare 3 numeri alla rotazione ( uno per la rotazione attorno all’asse X, uno
per la rotazione attorno all’asse Y e uno per la rotazione attorno all’asse Z ) e altri
tre numeri per la scala ( quanto l’oggetto è ingrandito o rimpicciolito
rispettivamente lungo l’asse X, lungo l’asse Y e lungo l’asse Z ).
Il metodo di rappresentazione delle trasformazioni più immediato, quindi,
potrebbe essere il seguente:

3D GRAPHICS
13 float position_x, position_y, position_z; //traslazione
float rotation_x, rotation_y, rotation_z; //rotazione
float scale_x, scale_y, scale_z;
//scala
Ovvero una variabile numerica ( float ) per ogni valore che andrà a comporre la
nostra trasformazione, per un totale di nove variabili.
Pur rimanendo un metodo valido nella sua semplicità, come vedremo esistono
sistemi di rappresentazioni più adatti al nostro scopo: Infatti a livello di design del
codice questo sistema è tutt’altro che modulare. Inoltre, se ad esempio vogliamo
traslare un elemento di 2 unità verso destra, 3 unità verso l’alto e 1 unità in avanti,
e ruotarlo di 20° sull’asse X, di 30° sull’asse Y e di 5° sull’asse Z, saremo costretti
a scrivere un codice di questo tipo:
position_x+=2;
position_y+=3;
position_z+=1;
rotation_x+=20;
rotation_y+=30;
rotation_z+=5;
Che non solo è verboso ( per ovviare a questo problema basterebbe, in realtà,
racchiudere il tutto sotto una funzione ) ma è propenso agli errori, specialmente
perché l’ordine con il quale andiamo ad effettuare queste traslazioni e rotazioni (
e più in generale qualsiasi trasformazione ) è FONDAMENTALE: Cambiando
l'ordine, infatti, può cambiare il risultato finale.
Se, dato un punto in posizione [x,y,z] nel nostro ambiente 3D, effettuiamo prima
una certa traslazione “T” e poi una certa rotazione “R” otterremo il punto in una
nuova posizione [x1,y1,z1]. Se, invece, partendo dal medesimo punto iniziale [x,y,z],
effettuiamo prima la rotazione “R” e poi la traslazione “T”, non otterremo il punto
in posizione [x1,y1,z1] ma bensì in un’altra posizione [x2,y2,z2]. ( Figura 2.3 )

2 - Trasformazioni | 2.2 - Rappresentare le trasformazioni 14
Figura 2.3 - Ordine di esecuzione delle trasformazioni.

15 3D GRAPHICS
2.3 – Vettori
Alla luce delle problematiche elencate nel capitolo precedente, proviamo a
cercare un sistema di rappresentazione più adatto: Un’idea potrebbe essere ad
esempio quella di raggruppare le variabili relative ad ogni singola caratteristica
della TRASFORMAZIONE, per rendere il codice più elegante e modulare, in una
semplice struttura di questo tipo:
struct Vector3D{
float x,y,z;
}
All’interno della libreria UnityEngine, Unity 3D
fornisce una struttura analoga, chiamata Vector3,
sulla quale si basa la maggior parte delle sue
funzioni di manipolazione delle trasformazioni.
In questo modo siamo in grado di definire la nostra TRASFORMAZIONE con 3
semplici variabili di tipo “Vector3D” :
Vector3D position;
Vector3D rotation;
Vector3D scale;
Oltre alla scrittura più “compatta”, il vero vantaggio di questo tipo di
rappresentazione risiede nel suo significato matematico e geometrico, ovvero il
concetto di VETTORE.
Che cos’è un VETTORE? Geometricamente è un segmento orientato; In altre parole
si tratta di una semplice FRECCIA, dotata delle seguenti caratteristiche: Ha una
DIREZIONE, un VERSO, e una LUNGHEZZA ( detta anche modulo, norma o
magnitudine ) ( Figura 2.4 ) .

2 - Trasformazioni | 2.3 – Vettori 16
Figura 2.4 – Un vettore
Così come per le coordinate, anche queste grandezze assumono valore solo se
espresse in funzione di uno specifico sistema di riferimento ( banalmente, per
definire una lunghezza, ad esempio, abbiamo bisogno di un’unità di misura ).
Se “appoggiamo”, o meglio, “applichiamo” un vettore ( si dice, infatti, “vettore
applicato” ) in un punto preciso del nostro spazio tridimensionale, questo
individuerà un secondo punto dello spazio, ovvero quello “indicato” dalla freccia
( Figura 2.5 ), le cui coordinate sono chiamate componenti. Quando applichiamo un
vettore all’origine degli assi, questo individuerà un punto dello spazio, le cui
coordinate coincideranno con le componenti del vettore stesso.
Due ( o più ) vettori aventi la stessa DIREZIONE, VERSO e LUNGHEZZA, anche se
applicati in punti diversi dello spazio, si dicono “vettori equipollenti”. L’insieme di
vettori applicati ed equipollenti tra di loro individuano un vettore ‘astratto’ detto
“vettore libero”.
Figura 2.5

17 3D GRAPHICS
In Figura 2.5 è raffigurato un vettore applicato all’origine ( 0, 0, 0 ) che individua un
punto nello spazio a coordinate ( 3, 2, 1 ).
Definito il VETTORE da un punto di vista geometrico, andiamo a vedere nel
dettaglio quali sono le sue proprietà, quali le operazioni matematiche ad esso
associate, e come questo ci aiuta nella nostra rappresentazione della POSIZIONE,
e delle TRASFORMAZIONI in generale.

2 - Trasformazioni | 2.3 – Vettori 18
2.3.1 - Lunghezza di un vettore 3D
Prima di procedere, vediamo come viene calcolata la LUNGHEZZA di un vettore
3D ( detta anche modulo, norma o magnitudine, ed indicata con |v| o ||v|| ). Per
farlo, però, facciamo un passo indietro, e proviamo a calcolare la lunghezza non
di un vettore 3D, ma bensì di un vettore 2D ( bidimensionale ). Perché? Il motivo
è semplice: per calcolare la lunghezza di un vettore 2D possiamo ricorrere al
famoso TEOREMA DI PITAGORA ( Figura 2.5.1 ).
Figura 2.5.1
Il teorema infatti afferma che, dato un triangolo rettangolo, la somma delle aree
dei quadrati costruiti sui due cateti è uguale all’area del quadrato costruito
sull’ipotenusa.
Nel nostro caso l’ipotenusa coinciderà con il nostro vettore 2D v(x,y), ed i due
cateti avranno rispettivamente lunghezza “x” e lunghezza “y”. Quindi l’area del
quadrato costruito sul primo cateto varrà x*x ( area = lato*lato ), mentre quella
del quadrato costruito sul secondo cateto varrà y*y.
Secondo il teorema di Pitagora, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa varrà
quindi x*x + y*y. Sappiamo anche che la stessa area vale L*L ( dove “L” è la
lunghezza che vogliamo calcolare ), e possiamo quindi scrivere L*L = x*x+y*y, da
cui la formula :
L = SQRT( x*x + y*y )

3D GRAPHICS
19 Indichiamo con SQRT una generica funzione che calcola, e ritorna, la radice
quadrata del valore passato come parametro.
Unity 3D implementa tale funzione nel metodo statico Sqrt() della classe Mathf.
La lunghezza di un VETTORE 3D si calcola con il medesimo sistema, aggiungendo
però la componente “z” alla formula, per cui avremo che:
|v| = SQRT( x*x + y*y + z*z )

2 - Trasformazioni | 2.3 – Vettori 20
2.3.2 - Somma tra due vettori 3D
La prima operazione che vediamo è la SOMMA tra vettori:
Dati 2 vettori v1(x1,y1,z1) e v2(x2,y2,z2), la somma tra v1 e v2 restituisce un nuovo
vettore composto dalle somme delle singole componenti dei vettori v1 e v2,
ovvero,
v1+v2 = ( x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 )
Facciamo un esempio e vediamo cosa accade a livello geometrico :
Figura 2.5.1
Dati i vettori v1(2,0,-1) e v2(0,1,3), la somma dei vettori ( v3 = v1+v2 ) sarà così
composta: La componente X sarà la somma della componente X di v1 con la
componente X di v2, la componente Y sarà la somma della componente Y di v1 con
la componente Y di v2 e la componente Z sarà infine la somma della componente
Z di v1 con la componente Z di v2. Come si può dedurre dall’immagine ( Figura 2.5.1 ),
geometricamente il vettore risultante dalla somma di due vettori, è un vettore che
parte dal punto di applicazione del primo vettore e termina nel punto individuato
dal secondo vettore applicato al punto individuato dal primo vettore.
La SOMMA tra vettori è commutativa: E’ verificabile facilmente sia a livello
matematico che geometrico: Infatti, se Invece di applicare v2 nel punto
individuato da v1, facciamo il contrario, ovvero applichiamo v1 su v2, otterremo lo
stesso risultato.

21 3D GRAPHICS
2.3.3 - Sottrazione tra due vettori 3D
La SOTTRAZIONE tra due vettori viene calcolata in modo analogo alla SOMMA, ed
ha come risultato un nuovo vettore i cui componenti sono, questa volta, la
differenza delle componenti dei due vettori che stiamo sottraendo, cioè:
v1-v2 = ( x1-x2 , y1-y2 , z1-z2 )
A differenza della somma, la SOTTRAZIONE non è commutativa come possiamo
verificare nel seguente esempio ( Figura 2.5.2 ):
Figura 2.5.2
Geometricamente, infatti, possiamo vedere che i due vettori risultati da v1-v2 e
v2-v1 ( rispettivamente v4 e v5 ) individuano due punti differenti.
E’ interessante notare come i due vettori risultanti abbiano la stessa DIREZIONE,
la stessa LUNGHEZZA ( modulo ) ma VERSO opposto.
Un altro aspetto che è importante notare è il fatto che la LUNGHEZZA dei vettori
risultanti ( v4 e v5 ) non è altro che la DISTANZA tra i punti individuati da v1 e
v2.

2 - Trasformazioni | 2.3 – Vettori 22
2.3.4 - Moltiplicazione tra un vettore 3D ed uno scalare
Vediamo ora la moltiplicazione tra un vettore ed uno scalare ( cioè un numero ).
Non stiamo ancora parlando di moltiplicazioni tra vettori.
Se v (x,y,z) è il vettore che vogliamo moltiplicare e “a” è il numero per il quale lo
vogliamo moltiplicare, il prodotto v*a produce come risultato un nuovo vettore
che ha come componenti, le singole componenti di v moltiplicate per “a”. Ovvero,
v*a = ( x*a , y*a , z*a )
Figura 2.5.3
Quello che accade a livello geometrico lo possiamo osservare in Figura 2.5.3:
Moltiplicando il vettore “v1” per “2” otteniamo un vettore con la stessa DIREZIONE,
stesso VERSO ed il doppio della LUNGHEZZA. Allo stesso modo, moltiplicato il
vettore “v2” per “0.5” ( cioè ½, ovvero dividendolo per 2 ) otteniamo un vettore con
la stessa DIREZIONE, stesso VERSO e metà LUNGHEZZA. Infine, se moltiplichiamo
il vettore per un numero negativo ( c=-1 ) otterremo un vettore con la stessa
DIREZIONE e VERSO opposto.
Moltiplicando un vettore per “0”, otterremo un vettore NULLO, cioè v0 (0,0,0),
l’elemento neutro dell’operazione di addizione ( e sottrazione ) tra vettori.

23 3D GRAPHICS
2.3.5 - Normalizzazione di un vettore 3D
Normalizzare un vettore significa renderlo “NORMALIZZATO”. Un vettore si
dice NORMALIZZATO quando ha LUNGHEZZA “unitaria” ovvero quando la sua
LUNGHEZZA risulta uguale a 1.
Come facciamo a NORMALIZZARE un vettore?
Alla luce di quanto visto nei capitoli precedenti, possiamo pensare di utilizzare la
MOLTIPLICAZIONE tra un vettore ed uno scalare ( 2.3.4 ) per variare la
LUNGHEZZA del vettore ( mantenendo costante DIREZIONE e VERSO ). Ma per
quale numero possiamo moltiplicare il nostro vettore affinché la sua LUNGHEZZA
risulti uguale a “1” ?
Conoscendo la LUNGHEZZA di un vettore ( si veda 2.3.1 ), se si moltiplica tale
vettore per il reciproco della sua LUNGHEZZA ( ovvero, in altre parole,
semplicemente dividendolo per la sua LUNGHEZZA ), otterremo un vettore con
stessa DIREZIONE e VERSO, e LUNGHEZZA unitaria.
Ad esempio se il vettore “v1” ha LUNGHEZZA 3, il vettore risultante da v1*(⅓) avrà
LUNGHEZZA unitaria.
O ancora, se il vettore “v2” ha LUNGHEZZA 0.5 (cioè ½), il vettore risultante da
v2*2 avrà LUNGHEZZA unitaria.
Entrambi i vettori saranno quindi NORMALIZZATI ( Figura 2.5.4 ).
Figura 2.5.4

2 - Trasformazioni | 2.3 – Vettori 24
2.3.6 - Moltiplicazione tra vettori: Dot product
Vediamo ora il primo tipo di moltiplicazione che possiamo effettuare tra due
vettori: Il DOT PRODUCT ( o “prodotto scalare” -da non confondersi con il
“prodotto tra un vettore ed uno scalare- o “prodotto interno” ).
Il DOT PRODUCT ( il cui simbolo matematico è "•" ) prende in input due vettori e
restituisce in output uno scalare ( cioè un numero ).
Dati i vettori v1(x1,y1,z1) e v2(x2,y2,z2), il DOT PRODUCT v1•v2 è la somma dei
prodotti tra le singole componenti, ovvero
v1•v2 = (x1*x2) + (y1*y2) + (z1*z2)
Geometricamente, il DOT PRODUCT tra v1 e v2, restituisce la LUNGHEZZA della
PROIEZIONE di v1 su v2. ( Figura 2.5.5 ).
Figura 2.5.5
Infatti, se "a" è l'angolo tra v1 e v2, possiamo definire v1•v2 anche come
v1•v2 = |v1|*|v2|*cos(a)
NORMALIZZANDO entrambi i vettori, tale formula si riduce a "cos(a)" ( poiché la
lunghezza di v1 e v2 equivale a 1 ), che a livello geometrico risulta essere proprio
la "proiezione" dell'angolo "a" sull'asse X.
In queste condizioni, grazie alle funzioni inverse trigonometriche, se v1•v2=cos(a),
possiamo calcolare l'ANGOLO tra i due vettori in questo modo:

25 3D GRAPHICS
angoloTraV1eV2 = acos(v1•v2)
Indichiamo con ACOS una generica funzione che calcola, e ritorna, l’arcocoseno del
valore passato come parametro.
Unity 3D implementa tale funzione nel metodo statico Acos() della classe Mathf.
Quando entrambi vettori sono NORMALIZZATI, possiamo individuare alcuni casi
particolari:
Se v1 e v2 hanno stessa DIREZIONE e stesso VERSO, v1•v2 sará uguale a 1 ( infatti
cos(1) = 1 ).
Se v1 e v2 hanno stessa DIREZIONE ma VERSO opposto, v1•v2 sará uguale a -1 (
cos(180°) = -1 ).
Infine, se v1 e v2 sono PERPENDICOLARI tra di loro, v1•v2 varrá 0 ( cos(90°) e
cos(270°) = 0 ) ( Figura 2.5.6 ).
Figura 2.5.6
In altre parole, in un range tra -1 e 1, il DOT PRODUCT tra due vettori
NORMALIZZATI ci dice, in pratica, quanto il primo vettore "guarda" nella stessa
direzione ( e verso ) del secondo.

2 - Trasformazioni | 2.3 – Vettori 26