Esercizi - Dipartimento di Elettronica ed informazione
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Esercizi- Risposta in frequenza Data una funzione di trasferimento: Diagrammi di Nyquist Vogliamo ottenere la sua rappresentazione nel piano complesso al variare della frequenza . curva parametrizzata in Li vedremo per: esercizi 6, 1 Prof. Thomas Parisini Fondamenti di Automatica
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<strong>Esercizi</strong>- Risposta in frequenza<br />
Data una funzione <strong>di</strong><br />
trasferimento:<br />
Diagrammi <strong>di</strong> Nyquist<br />
Vogliamo ottenere la sua<br />
rappresentazione nel piano complesso<br />
al variare della frequenza .<br />
curva parametrizzata<br />
in<br />
Li v<strong>ed</strong>remo per:<br />
esercizi 6, 1<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
Come si tracciano le curve? Si possono calcolare per punti, una volta<br />
ricavata l’espressione <strong>di</strong> , ; o sempre<br />
per punti conoscendo il <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> Bode <strong>di</strong> modulo e fase; oppure con<br />
Matlab...<br />
In questo contesto ci interessa l’andamento qualitativo del <strong>di</strong>agramma.<br />
In pratica si tratta <strong>di</strong> fare uno stu<strong>di</strong>o<br />
<strong>di</strong> funzione in campo complesso.<br />
Dunque si testa il comportamento della ...<br />
• ;<br />
• ;<br />
• intersezioni con l’asse reale;<br />
• intersezioni con l’asse immaginario;<br />
• (eventuali asintoti)<br />
esercizi 6, 2<br />
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Partiamo con un esempio semplice, da usare come “campione”:<br />
Separiamo parte reale e parte immaginaria:<br />
1) Prima possibilita’:<br />
Da quest’ultima espressione si isolano parte reale <strong>ed</strong> immaginaria.<br />
esercizi 6, 3<br />
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2) Seconda possibilita’:<br />
E’ un sistema in due variabili, e . Dunque le ricavo in<br />
funzione <strong>di</strong> e poi le stu<strong>di</strong>o.<br />
OSS: Sono entrambe<br />
sempre minori <strong>di</strong> zero!<br />
esercizi 6, 4<br />
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Ora che <strong>di</strong>sponiamo <strong>di</strong> parte reale <strong>ed</strong> immaginaria in funzione <strong>di</strong> ,<br />
ve<strong>di</strong>amone l’andamento nei casi estremi:<br />
Dunque sappiamo cosa accade agli estremi della curva...<br />
Indaghiamo ora se ci sono intersezioni con gli assi.<br />
esercizi 6, 5<br />
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esercizi 6, 6<br />
Per trovare le intersezioni con gli assi ci si avvale <strong>di</strong> un vantaggio dell’aritmetica<br />
complessa:<br />
OSS: Dato un numero complesso:<br />
Esso risulta...<br />
� Reale puro sse:<br />
�Immaginario puro sse:<br />
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Dunque:<br />
Intersezioni asse reale:<br />
esercizi 6, 7<br />
No soluzioni reali No intersezioni con asse reale<br />
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Intersezioni asse immaginario:<br />
esercizi 6, 8<br />
No soluzioni reali No intersezioni con asse immaginario<br />
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esercizi 6, 9<br />
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Andamento <strong>di</strong> termini semplici del tipo:<br />
Per casa, v<strong>ed</strong>ere cosa<br />
accade per<br />
esercizi 6, 10<br />
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esercizi 6, 11<br />
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Andamento <strong>di</strong> un termine tipo:<br />
esercizi 6, 12<br />
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Andamento <strong>di</strong> un termine tipo:<br />
esercizi 6, 13<br />
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E’ l’equazione <strong>di</strong> una semicirconferenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>ametro<br />
centrata in :<br />
Diagramma polare <strong>di</strong> Nyquist <strong>di</strong><br />
esercizi 6, 14<br />
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Andamento per , <strong>di</strong> una funzione<br />
generica:<br />
esercizi 6, 15<br />
Si considerano comportamenti locali del <strong>di</strong>agramma; dunque formalmente<br />
bisognerebbe fare un’approssimazione in serie <strong>di</strong> Laurent (siamo in campo<br />
complesso) della funzione intorno a <strong>ed</strong> . Con questo tipo <strong>di</strong><br />
analisi, che verra’ tralasciata in questo corso, si ottiene l’andamento<br />
qualitativo della con sufficiente precisione.<br />
V<strong>ed</strong>remo ora i due casi...<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
1. Non ci sono poli nell’origine:<br />
2. Ci sono poli nell’origine:<br />
A. Polo singolo<br />
La curva ammette un asintoto verticale parallelo all’asse immaginario,<br />
dunque...<br />
esercizi 6, 16<br />
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Ma bisogna poi indagare se la curva prosegue a destra o sinistra<br />
dell’asintoto...<br />
B. Poli multipli<br />
La curva non ammette asintoti<br />
esercizi 6, 17<br />
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1. Caso in cui e’ strettamente propria:<br />
La pendenza con cui il <strong>di</strong>agramma arriva nell’origine <strong>di</strong>pende da<br />
Pari<br />
Dispari<br />
esercizi 6, 18<br />
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2. Caso in cui non e’ strettamente propria:<br />
Si passa al limite, la il <strong>di</strong>agramma confluisce in un punto dell’asse reale.<br />
2. Caso in cui e’ impropria:<br />
esercizi 6, 19<br />
La funzione va all’infinito, con segno che si stu<strong>di</strong>a v<strong>ed</strong>endo il segno del<br />
limite per <strong>di</strong> parte reale <strong>ed</strong> immaginaria. Per avere<br />
informazioni ulteriori sulla pendenza...<br />
...e’ necessario lo sviluppo in serie<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
Diagramma <strong>di</strong> Nyquist:<br />
Lo useremo per valutare la stabilita’ e la robustezza <strong>di</strong> sistemi<br />
<strong>di</strong> controllo retroazionati, conoscendo la fdt nel dominio<br />
complesso del sistema a ciclo aperto.<br />
PROBLEMA 1 Quanto posso variare al fine <strong>di</strong> mantenere le<br />
proprieta’ <strong>di</strong> stabilita’ della ? Problema <strong>di</strong> STABILITA’...<br />
esercizi 6, 20<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
esercizi 6, 21<br />
PROBLEMA 2 Se ho incertezza su , ci sono degli in<strong>di</strong>catori che<br />
misurano la “<strong>di</strong>stanza” dall’instabilita’? E l’ampiezza delle perturbazioni<br />
che mi garantisce <strong>di</strong> mantenere la stabilita’? Problema <strong>di</strong> ROBUSTEZZA...<br />
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Definiamo:<br />
PROBLEMA 1: si applica il Criterio <strong>di</strong> Nyquist<br />
• Diagramma <strong>di</strong> Nyquist della<br />
• Numero <strong>di</strong> poli <strong>di</strong> a parte reale POSITIVA<br />
• Numero <strong>di</strong> giri ANTIORARI <strong>di</strong> intorno al punto<br />
Asintotica stabilita’<br />
del sistema a ciclo chiuso<br />
ben definito<br />
esercizi 6, 22<br />
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esercizi 6, 23<br />
Dunque data una funzione , se viene richiesto <strong>di</strong> analizzare la<br />
sua stabilita’ a ciclo chiuso...<br />
bisogna tracciarne il <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> Nyquist completo e v<strong>ed</strong>ere se<br />
compie un numero <strong>di</strong> giri in senso antiorario intorno al punto<br />
pari al numero <strong>di</strong> poli a parte reale POSITIVA della<br />
Se la e’ gia’ <strong>di</strong> per se una funzione <strong>di</strong> trasferimento stabile...<br />
bisogna verificare che il suo <strong>di</strong>agramma<br />
<strong>di</strong> Nyquist NON CIRCONDI il punto<br />
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esercizi 6, 24<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
PROBLEMA 2: si usa il d.d. Nyquist per misurare o stimare...<br />
Margine <strong>di</strong> guadagno<br />
Di solito si misura in dB<br />
esercizi 6, 25<br />
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Margine <strong>di</strong> fase<br />
esercizi 6, 26<br />
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<strong>Esercizi</strong><br />
1.Tracciamo il <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> Nyquist della funzione:<br />
esercizi 6, 27<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
Ricaviamo parte reale <strong>ed</strong> immaginaria:<br />
Possiamo ora stu<strong>di</strong>are l’andamento delle due parti nel piano complesso.<br />
esercizi 6, 28<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
A. Andamento per :<br />
Verso quale quadrante proc<strong>ed</strong>e la curva? Basta v<strong>ed</strong>ere il segno<br />
del limite per :<br />
La curva proc<strong>ed</strong>e<br />
nel quarto<br />
quadrante<br />
esercizi 6, 29<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
B. Andamento per :<br />
Da quale quadrante proviene la curva? Basta v<strong>ed</strong>ere il segno<br />
del limite per :<br />
La curva proviene<br />
dal secondo<br />
quadrante, con<br />
tangente<br />
verticale...<br />
esercizi 6, 30<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
... Andamento per :<br />
Infatti ragionando con gli or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong> infinito:<br />
Ve<strong>di</strong> andamento funzioni elementari...<br />
esercizi 6, 31<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
C. Intersezioni con gli assi:<br />
Intersezioni con l’asse reale:<br />
...gia’ lo sapevamo!<br />
esercizi 6, 32<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
Intersezioni con l’asse immaginario:<br />
esercizi 6, 33<br />
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Possiamo dunque tracciare il seguente<br />
<strong>di</strong>agramma:<br />
esercizi 6, 34<br />
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Stabilita’ a ciclo chiuso:<br />
La non ha poli a parte reale positiva.<br />
Il suo <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> Nyquist non circonda il punto<br />
e dunque il sistema a ciclo chiuso e’ stabile!<br />
esercizi 6, 35<br />
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Margine <strong>di</strong> guadagno<br />
Margine <strong>di</strong> fase?<br />
Formalmente bisogna imporre e trovare la<br />
pulsazione corrispondente ; poi sostituirla in<br />
<strong>ed</strong> infine ricavare la fase del valore <strong>di</strong><br />
In realta’ conviene ricavarlo dal <strong>di</strong>agramma<br />
<strong>di</strong> Bode...che sappiamo tracciare!<br />
esercizi 6, 36<br />
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esercizi 6, 37<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
2.Tracciamo il <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> Nyquist della funzione:<br />
Si ricavano dunque parte reale <strong>ed</strong> immaginaria:<br />
Non strettamente propria!<br />
esercizi 6, 38<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
A. Andamento per :<br />
esercizi 6, 39<br />
Verso quale quadrante proc<strong>ed</strong>e la curva? Basta ancora una volta v<strong>ed</strong>ere il segno<br />
del limite per :<br />
La curva proc<strong>ed</strong>e<br />
nel primo<br />
quadrante<br />
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B. Andamento per :<br />
Da quale quadrante proviene la curva? Basta v<strong>ed</strong>ere il segno<br />
del limite per :<br />
La curva proviene<br />
dal primo<br />
quadrante<br />
esercizi 6, 40<br />
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C. Intersezioni con gli assi:<br />
Intersezioni con l’asse reale:<br />
Intersezioni con l’asse immaginario:<br />
...gia’ lo sapevamo!<br />
Ra<strong>di</strong>ce DOPPIA!<br />
esercizi 6, 41<br />
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Possiamo dunque tracciare il seguente<br />
<strong>di</strong>agramma:<br />
esercizi 6, 42<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
3.Tracciamo il <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> Nyquist della funzione:<br />
Ha un polo nell’origine!<br />
esercizi 6, 43<br />
Si ricavano dunque parte reale <strong>ed</strong> immaginaria, che dopo qualche conto risultano:<br />
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A. Andamento per :<br />
Verso quale quadrante proc<strong>ed</strong>e la curva?<br />
C’e’ un asintoto verticale!<br />
esercizi 6, 44<br />
La curva “proc<strong>ed</strong>e”<br />
nel terzo<br />
quadrante<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
B. Andamento per :<br />
Da quale quadrante proviene la curva?<br />
La curva proviene<br />
dal secondo<br />
quadrante<br />
esercizi 6, 45<br />
Prof. Thomas Parisini Fondamenti <strong>di</strong> Automatica
C. Intersezioni con gli assi:<br />
Intersezioni con l’asse reale:<br />
Intersezioni con l’asse immaginario:<br />
MAI!<br />
esercizi 6, 46<br />
attenzione al<br />
denominatore...<br />
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Matlab fornisce questo <strong>di</strong>agramma:<br />
l’intersezione con l’asse<br />
reale...non e’ molto evidente!<br />
esercizi 6, 47<br />
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