Міністерство освіти і науки України - Донбаська державна ...

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту УкраїниДонбаська державна машинобудівна академіяФУНКЦІОНАЛЬНИЙ АНАЛІЗНавчально-методичний комплексдля студентів спеціальності7.04030302 «Системні науки та кібернетика(Системи і методи прийняття рішень)»Затвердженона засіданні методичної радиПротокол № 5 від 24.01.2013Краматорск 20131

Зміст1 РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАММА З ДИСЦИПЛІНИ 41.1 Загальні відомості 51.2 Розподіл навчального часу 61.3 Мета і завдання дисципліни 81.4 Тематичний план 91.5 Методичні вказівки 141.6 Навчально-методичні матеріали 152 ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ 18Лекція 1. Поняття множини. Типи множин. Потужність 20Лекція 2. Метричні простори 25Лекція 3. Збіжність. Відкриті та замкнені множини 29Лекція 4. Повні та компактні метричні простори 34Лекція 5. Принцип стискаючих відображень 36Лекція 6. Лінійні та нормовані простори 40Лекція 7. Евклідові простори 44Лекція 8. Гільбертові простори 49Лекція 9. Лінійні функціонали в лінійних нормованих просторах 53Лекція 10. Лінійні оператори 57Лекція 11. Поняття міри 62Лекція 12. Вимірні функції 66Лекція 13. Інтеграл Лебега від обмеженої функції 70Лекція 14. Простори сумовних функцій 75Лекція 15. Ряди Фур’є в просторі L 2 803 МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯПРАКТИЧНИХ І СЕМІНАРСЬКИХ ЗАНЯТЬ 83Практичне заняття 1. Множини 85Практичне заняття 2. Метричні простори. Класифікаціяточок простору 903

Практичне заняття 3. Принцип стискаючих відображень.Його застосування 93Практичне заняття 4. Нормовані та евклідові простори. Нормата скалярний добуток 96Практичне заняття 5. Ряди Фур’є по ортогональнимсистемам. Обчислення норм лінійних функціоналів 98Практичне заняття 6. Міра обмеженої відкритої та замкненоїмножини на прямій. Вимірні функції 100Практичне заняття 6. Вимірні функції. Інтеграл Лебега 1034 МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДЛЯ ПРОВЕДЕННЯКОМПЛЕКСНОГО КОНТРОЛЮ 1054.1 Перелік питань базової частини колоквіума 1064.2 Перелік питань основної частини колоквіума 1114.3 Завдання для контрольної роботи 1134.4 Приклади завдань для самостійного контролю знань 1165 КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ ТА ВМІНЬ СТУДЕНТІВ 1185.1 Критерії оцінок 1185.2 Критерії переводу балів у державну оцінку 1194

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту УкраїниДонбаська державна машинобудівна академіяФакультет машинобудуванняКафедра вищої математикиЗАТВЕРДЖЕНО:На засіданні Вченої радиГолова Вченої радиРектор ДДМА_____________________В. А. Федорінов(підпис, ініціали, прізвище)Протокол № від _________ р.РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ________________ Функціональний аналіз____________________(назва дисципліни)Для напрямів підготовки (спеціальностей):7.04030302 «Системні науки та кібернетика(Системи і методи прийняття рішень)»Погоджено:Навчально-методичноюкомісією ф-тупротокол № _ від _______ 2013 р.Декан факультету машинобудування________________С. С. КрасовськийСхвалено:на засіданні кафедривищої математикипротокол № __ від ______2013 р.Зав. кафедри ________ В. М. АстаховКраматорськ, 20135

1.1 Загальні відомостіФункціональний аналіз виник на рубежі 19-го і 20-го століть у працяхГільберта (теорія операторів в нескінченновимірних евклідових просторах),Фреше, Хаусдорфа (теорія топологічних і метричних просторів), Фредгольма(теорія інтегральних рівнянь), Лебега (теорія інтеграла і міри), Рісса, Банаха(теорія лінійних нормованих просторів) та ін. Для функціонального аналізухарактерний загальний абстрактний підхід, при якому досліджуються неокремі функції і рівняння, а різні простору і оператори в цих просторах. Цейпідхід дозволив з єдиної точки зору розглядати, наприклад, питаннярозв’язування диференціальних та інтегральних рівнянь, граничних задач длярівнянь в частинних похідних, систем диференціальних рівнянь. Наразізагальновизнаною є об'єднуюча роль функціонального аналізу. Його мова, ідеїта методи використовуються в теорії диференціальних рівнянь таматематичної фізики, в теорії чисельних методів, в математичній економіці, втеорії управління та інших теоретичних і прикладних дисциплінах.Вивчення студентами курсу функціональний аналіз є необхідноюумовою для засвоєння нижчеперелічених тем інженерних навчальнихдисциплін:-. Математичні основи інженерних комп’ютерних розрахунків.-. Основи САПР.- Математичне модулювання економічних процесів та систем.6

ТриместрЗагальнакількістьгодин КредитиECTSКількістьауд. годинТижденьпроведення1.2 Розподіл навчального часуТриместрТаблица 1.1годинВсьогокредитРозподіл за триместрами та видами занять(денне, прискорене)Лекц. Практичн. Мод.контр.С Р Стриместратест.4 108 3 30 15 12 51 залікСклад модулів дисципліни , розподіл часу на їх засвоєння, терміниконтролюТаблица 1.2№п.п.Стислий зміст модуляФорми таметодиконтролю1 Модуль 1 Метричніпростори. Лінійніфункціонали і лінійніоператори.Нормовані простори,банахові і гільбертовіпростори. Неперервнівідображення метричнихпросторів. Критерійкомпактності. Властивостінеперервних функцій накомпактах.4 54 1,5 26 Тестування87

Лінійні функціонали,оператори та їхнівластивості. Ряди Фур’є вгільбертових просторах.Теореми Риса, Банаха-Штейнгауза.Спектр лінійногообмеженого оператора.Теореми Фредгольма,Гільберта-Шмідта.2 Модуль 2. Міра.Інтеграл Лебега та йогозастосування.Поняття міри. МіраЛебега. Побудоваінтеграла Лебега.Порівняння інтегралаЛебега з інтеграломРімана. Властивостівимірних та інтегрованихфункцій.Застосування теоремиЛебега. Простори L 1 та L 24 54 1,5 19 Тестування15Всього за модулі 108 3 458

1.3 Мета і завдання дисципліниМета викладання дисципліни - ознайомлення студентів з функціональниманалізом: елементами теорії міри, метричними, лінійними нормованими тагільбертовими просторами, теорією лінійних функціоналів та операторів.Задачі вивчення дисципліни:-допомогти студентам вивчити елементи теорії міри, метричних, лінійнихнормованих, банахових та гільбертових просторів, теорію лінійнихфункціоналів та операторів;-привити студентам навики застосування методів функціональногоаналізу до розв’язування конкретних задач;-показати, що знання функціонального аналізу відіграє важливу роль придослідженні складних процесів, які допускають математичний опис.У результаті вивчення дисципліни студенти повинні:-знати сучасні методи функціонального аналізу;-вміти застосувати ці методи до розв′язування прикладних задач;Перелік дисциплін, вивчення яких необхідно при засвоєнні даноїдисципліни1. Математичний аналіз2. Алгебра і геометрія3. Диференціальні рівняння9

1.4. Тематичний планРозподіл навчального часу за темамиТаблица 1.3Найменування розділів,ТемРозподіл за семестрами та видамизанять(денне відділення, прискорене)Всього ЛекціїПрактичнСРСі заняттяМодуль 1 Метричні простори. Лінійні5418822функціонали і лінійні оператори.Розділ 1. Метричні простори.2410410Тема 1.1 Множини. Означення іприклади метричних просторів. Кулі,обмежені множини, граничні точки.6213Відкриті та замкнені множини.Тема 1.2. Повнота і сепарабельність уметричних просторах. Поповнення8413метричних просторів. Компактнімножини метричних просторів.Властивості неперервних функцій накомпакті. Принцип стискаючихвідображень. Застосування.Тема 1.3 Нормовані лінійні простори.5212Евклідові простори. Теорема Ріса-ФішераТема 1.4. Гільбертові простори. Ряди10

Фур′є в гільбертовому просторі.5212Нерівність Бесселя. Повні ортогональнісистеми.Розділ 2. Лінійні функціонали і лінійні248412операториТема 2.1 Означення лінійнихфункціоналів. Норма функціоналу.10226Приклади лінійних функціоналів.Продовження лінійних функціоналів.Слабка збіжність. Загальний виглядлінійного функціоналу в гільбертовомупросторі.Тема 2.2 Означення лінійних9414операторів. Обмежені оператори.Норма оператора. Простір лінійнихобмежених операторів.Тема 3.3. Обернений оператор.5212Резольвента. Спектр. ТеоремаГільберта-Шмідта.Контроль модуля 16Модуль2 Міра. Інтеграл Лебега та5412729його застосування.Розділ 1. Міра Лебега.206311Тема 1.1. Міра елементарних множин.11425Міра Лебега.Тема 1.2. Вимірні функції. Властивості9216вимірних функцій11

Розділ2. Інтеграл Лебега та його286418застосуванняТема 2.1 Побудова інтеграла Лебега.12228Порівняння з інтегралом Рімана.Тема 2.2 Застосування теореми Лебега7205Тема 2.3 Простори L 1 та L 29225Ортогональні системи в L 2Контроль модуля 26ЛекціїМодуль 1 Метричні простори. Лінійні функціонали і лінійні оператори.Розділ 1. Метричні простори.Лекція 1. Множини.Поняття, основні типи множинОперації над множинамиЛекція 2. Метричні простори.Означення і приклади метричних просторів.Неперервні відображенняЗавдання до самостійної роботи: Відкриті та замкнені множини на прямійЛітература: [2] c.15-29. [3] c. 23-33. [4] с. 47-53, [8] c. 3-9Лекція 3. Збіжність.Збіжність. Кулі, обмежені множини, граничні точки.Відкриті та замкнені множини.Лекція 4. Повні метричні простори. КомпактністьПовнота і сепарабельність у метричних просторах.Поповнення метричних просторів.Компактні множини метричних просторів.12

Властивості неперервних функцій на компакті.Завдання до самостійної роботи: Поповнення просторуЛітература: [2] c.53-56. [4] с. 53-64, [8] c. 9-15.Лекція 5. Принцип стискаючих відображень.Принцип стискаючих відображень.Найпростіші застосуванняЗастосування принципу стискаючих відображень до диференціальнихрівняньЗавдання до самостійної роботи: Застосування принципу стискаючихвідображень до інтегральних рівняньЛітература: [2] c.29-53. [3] c. 33-46. [4] с. 64-82. [8] c. 15-25.Лекція 6. Лінійні та нормовані простори.Поняття лінійного просторуОзначення і приклади нормованих просторів. Банахові простори.Завдання до самостійної роботи: Ортогональні доповнення, пряма сумапідпросторівЛітература: [2] c.68-77, 83-86. [3] c. 63-80. [4.] с. 138-144. [10] c. 19-44. [8] c. 36-43.Лекція 7. Евклідові просториОртогональні та ортонормовані системи.Приклади базисів в евклідових просторах.Лекція 8. Гільбертові простори.Поняття Гільбертового простору. Приклади.Ряди Фур′є в гільбертовому просторі.Нерівність Бесселя. Повні ортогональні системиЗавдання до самостійної роботи: Комплексні евклідові просториЛітература: [2] c.86-91. [3] c. 80-83. [4] с. 145-165. [10] c. 45-47, 57-68. [8] c. 43-47Розділ 2. Лінійні функціонали і лінійні операториЛекція 9. Неперервні лінійні функціонали13

Означення неперервного лінійного функціоналу. ПрикладиНорма функціоналу.Спряжений простір.Продовження лінійних функціоналів. Загальний вигляд лінійногофункціоналу в гільбертовому просторі.Завдання до самостійної роботи: Спряжений простірЛітература: [2] c.86-91. [3] c. 80-83. [4] с. 145-165. [10] c. 45-47, 57-68. [8] c. 43-47Лекція 10. Лінійні операториОзначення лінійних операторів.Обмежені оператори. Норма оператора.Обернений оператор. Резольвента.Спектр оператора.Завдання до самостійної роботи: Спряжені оператори. Спряжені оператори вевклідовому просторіЛітература: [2] c.103-111. [3] c. 160-178. [4] с. 206-222. [10] c. 75-81Модуль2 Міра. Інтеграл Лебега та його застосування.Розділ 1. Міра ЛебегаЛекція 11. Поняття міри.Міра елементарних множин.Властивості вимірних множин.Завдання до самостійної роботи: Алгебри та σ- алгебри множинЛітература: [10] c. 327 – 338, [12] c. 235 – 248, [11] c. 56-68.Лекція 12. Вимірні за Лебегом множини.Поняття і основні властивостіЕквівалентність. Збіжність майже скрізьЗавдання до самостійної роботи: Властивості вимірних множинЛітература: [10] c. 338 – 341, [12] c. 264 – 269, [11] c. 86 – 103.Розділ 2. Інтеграл Лебега та його застосуванняЛекція 13. Інтеграл Лебега14

Побудова інтеграла ЛебегаГраничний перехід під знаком інтеграла ЛебегаПорівняння з інтегралом РіманаЗавдання до самостійної роботи: Інтеграл Лебега на множині нескінченної міриЛітература: [10] c. 341 – 349, [12] c.273 – 290, [11] c. 109 – 126.Лекція 14. Простори сумовних функційОзначення і основні властивості простору L 1Збіжність в середньомуПовнота простору L 1Завдання до самостійної роботи: Добуток мірЛітература: : [10] c. 372 – 373, [12] c. 351 – 355, [11] c. 129 – 142.Лекція 15. Простір L 2Означення і основні властивостіЗбіжність в середньому квадратичному та її зв’язок з іншими видамизбіжностіОртогональні системи в L 2Тригонометрична системаМногочлени ЛежандраІнші ортогональні та ортонормовані системи системиЗавдання до самостійної роботи: Комплексний простір L 2Література: : [10] c. 390 – 395, [12] c. 356 – 363, [11] 154 – 163.1.5 Методичні вказівкиКонтроль знань студентів здійснюється згідно “Положення прорейтингову систему оцінювання знань” (РСО). Головна мета впровадженняРСО – поліпшення якості навчання шляхом активізації навчальної діяльності,стимулювання ритмічної роботи студентів на протязі семестру, підвищенняоб’єктивності оцінки знань. Загальну методичну документацію РСО складають:завдання базової та основної частин коллоквіума, контрольна робота, тексти15

екзаменаційних завдань. Семестровий графік є вказівкою обов'язковихконтрольних точок і діапазоном балів по кожній точці.При читанні лекцій і проведенні практичних занять пропонуєтьсявикористовувати основні прийоми актівізації: утворення творчої сітуації;елементи діалога; діскусії та самостійної роботи; навмисні помилки; роздуми вголос.1.6. Навчально-методичні матеріалиОсновна література1. Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения пофункциональному анализу. Минск: Высш. Школа. 1978. – 308 с.2. Люстерник Л.А., Соболев В.И.. Элементы функционального анализа.М.,1965.3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.М.:«Высшая школа», 1982 – 270 с.4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функциональногоанализа. – М.:ФМ «Наука». 1968-493 с.5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:ФМ «Наука».1977 – 741 с.6. Ревина С.В., Сазонов Л.И. Задачи по функциональному анализу.Методические указания. Части 1, 2. Ростов-на-Дону, 2001.7. Ревина С.В., Сазонов Л.И. Функциональный анализ взадачах и упражнениях.Часть 1. Метрические пространства. Ростов-на-Дону – 2007, 110 с.8. Сазонов Л.И. Функциональный анализ для прикладных математиков. Часть1.Линейные нормированные пространства. Ростов-на-Дону – 2007, 89 с.9. Сазонов Л.И. . Функциональный анализ для прикладных математиков. Часть2. Функционалы и операторы . Ростов-на-Дону – 2007, 99 с.10. Титчмарш Е. Теория функций. М. Наука, 1980, 463 с.16

11. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. :М. Наука,1974, 480 с.12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций ифункционального анализа. М.: Наука, 1972.Додаткова література1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовомпространстве. М.: Наука, 1966.2. Антоневич А.Б., Князев П.,Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения пофункциональному анализу. Минск: Выш. школа, 1978.3. Босс В. Лекции по математике: функциональный анализ. Т. 5. 2005.4. Городецкий В.В. Методы решения задач по функциональному анализу. 1990.5. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Мир, 1962.6. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. М.:Мир, 1966.7. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. М.: Просвещение, 1979.8. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 2410 Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.М.: Наука, 1988.11. Князев П.Н. Функциональный анализ. 2003.12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций ифункционального анализа. М.: Наука, 1989.13. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа. 1983.14. Люстерник Л.А., Cоболев В. И. Элементы функционального анализа. М.:Наука, 1965.15. Люстерник Л. А., Cоболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.:Высш. школа, 1982.16. Пим Дж., Хадсон В. Приложения функционального анализа и теорииоператоров. М.: Мир, 1983.17

17. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М.: Из-во МАИ, 1996.18. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1.Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.19. Pудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.20. Рисс Ф., Сёкефальви - Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.:Мир, 1979.21. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во МГУ, 1986.22. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.23. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения пофункциональному анализу. М.: Наука, 1984.24. Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. Москва, МЦНМО,2004.25. Хилле Е., Филлипс Р.С. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ,1962.26. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Москва: Мир, 1967.18

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту УкраїниДонбаська державна машинобудівна академіяФакультет машинобудуванняКафедра вищої математикиОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙз навчальної дисципліни «Функціональний аналіз»для студентів спеціальності7.04030302 «Системні науки та кібернетика(Системи і методи прийняття рішень)»Краматорськ, 201319

Лекция 1: Понятие множества. Виды множеств. Мощность§1 . Понятие множестваВ математике множества обозначаются большими латинскими буквамиА, В, С, …, а элементы множества – маленькими латинскими буквами а, b, ….Пустое множество это множество, которое не содержит ни одногоэлемента.Множество А называется подмножеством множества В, если каждыйэлемент множества А принадлежит и B. Обозначают А є В.Примеры:N- множество натуральных чисел,Q- множество рациональных чисел,Z-целые числа,R-множество действительных чисел.Операции над множествами1. Суммой (объединением) двух множеств А и В называетсямножество, состоящее из элементов, которые входят хотя бы в одно измножеств А или В. Обозначают AUB.U А – объединение некоторого числа (конечного или бесконечного)множеств.2. Пересечением двух множеств А и В называется множество,состоящее из элементов, которые входят в оба множества А и В. ОбозначаютA∩B.∩ А – пересечение конечного или бесконечного числа множеств.Свойства операций объединения и пересечения:1. КоммутативностьAUB=BUA, A∩B=B∩A,2. Ассоциативность(A∩B)∩C=A∩(B∩C), (АUB)UC=AU(BUC),3. Дистрибутивность20

(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C)(A∩B)UC= (AUC)∩BUC).Доказательство:Докажем второе свойство. Пусть х (AUB)UC. Докажем, что х(A∩C)U(BUC). Если х (AUB)UC, значит, x C и, при этом, х принадлежит хотябы одному из множеств A или B. А это значит х A∩C, и x (A∩C)U(B∩C).Докажем теперь, что, если x (A∩C)U(B∩C), то X (AUB)∩C). Из тогочто х A∩C и х B∩C следует, что х принадлежит множеству С и одному измножеств А или В. А это значит х (AUB)∩C.3. Разностью двух множеств А и В называется множество элементыкоторого содержатся в А, но не содержатся в В.4. Дополнением множества А до множества S называется разность S\A,при этом в качестве множества S выбирается наиболее общее множество.Например, если S- вся числовая прямая, то R \[0;3]=(-∞;0)U(3;∞). Долполнениек множеству А обозначается .Законы двойственности1. ,2. .Аналогичные законы выполняются для любого числа множеств.§2.Понятие отображения множествПусть Х и У – некоторые множества. Если каждому элементу измножества X, x X, по некоторому правилу ставится в соответствие элементу=f(x) множества Y, то считается, что на множестве Х задана функция f(x).Пусть M и N множества произвольной природы, тога вместо понятияфункции используется понятие отображения f из множества M в множество N.Изобразим (рис. 2.1) отображение отрезка [a;b] в отрезок [c,d]21

Рисунок 2.1Пусть элемент а M. Образом элемента а называется элемент b=f(a)принадлежащий множеству N.Праобразом элемента b из множества N называются все элементымножества M для которых b является образом.Свойства от отображений:1. f -1 (AUB)=f -1 (A)Uf -1 (B),2. f -1 (A∩B)=f -1 (A)∩f(B),3.f(AUB)=f(A)Uf(f(B)).Взаимооднозначным соответствием между множеством А и Вназывается такое отображение, при котором каждый элемент из множества Вимеет прообраз и двум различным элементам из множества А соответствует дваразличных образа из множества В.Множества между которыми можно установить взаимооднозначноесоответствие называются эквивалентными.Примеры:1. [a;b] [c;d],2. (0;1) R,3. Y=1/π* arctg(х/2).§ 3.МощностьмножестваМножества бывают конечные и бесконечные. Сравнивать множестваможно двумя способами:- пересчитать количество элементов в множествах и сравнить,22

- установить взаимооднозначное соответствие между множествами.Первый способ применим только для конечных множеств. Второйприменим и для бесконечных тоже.Самыми простым из бесконечных множеств является множествонатуральных чисел.Определение: Множества которые эквивалентны множеству натуральныхчисел N называются счетными.Примеры счётных множеств:1. Множество Z-счётное. Эквивалентность множеству натуральныхчисел можно установить, если каждому элементу поставить в соответствие егономер в множестве.2. Множество положительных чисел – счётно.3. Множество Q счётно,4. Множество рациональны чисел отрезка [a,b] счетно.Свойства счетных множеств1. Каждое подмножество счётного множества конечно или счётно .2. Сумма конечного или счётного числа счётных множеств являетсясчётным множеством.3. Каждое бесконечное множество содержит счётное подмножество .Счётное множество это самое меньшее из всех бесконечных подмножествСуществуют множества, не являющиеся счетными.Примеры несчетных множеств:1. Множество точек отрезка [0;1] является несчётным.Доказательство:Предположим, что множество точек отрезка [0;1] – счётно, тогда их всеможно выписать.Представим каждое число λ i є[0;1] в виде десятичной дроби:λ 1 =0,a 11 ,a 12 ,a 13 ..23

λ 2 = 0,a 21 ,a 22 ,a 23 ..λ 3 =0,a 31 ,a 32 ,a 33 ……..λ n =0, a n1 ,a n2 ,a n3 …Составим дробь β =0,β 1 ,β 2 ,β 3 … таким образом, чтобы цифра β i несовпадала с цифрой а ii из дроби λ i . Это значит, что β не совпадает ни с одной издробей λ 1 , λ 2 …, значит на отрезке [0;1] чисел больше, чем в счётном множестве.2. Множество всех действительных чисел – несчетно,3. Множество всех точек на плоскости или в пространстве – неявляется счетным,4. Множество всех непрерывных функций несчётно.Определение: Мощность это обобщенное понятие количества элементовв множестве. Обозначается m. Для конечных множеств, мощность совпадает сколичеством элементов.24

Лекция 2: Метрические пространства§ 1. Понятие метрического пространстваОпределение: Метрическим пространством называется пара (X, ρ)состоящая из множества Х и неотрицательной функции ρ(x,y), котораяназывается метрикой (расстоянием), и удовлетворяющей условиям:1. ρ(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y (аксиоматождественности),2. ρ(x,y)= ρ (y,x) (аксиома симметричности),3. ρ (x,z) ρ (x,y)+ ρ (y,z) (аксиома треугольника).Иногда метрические пространства обозначаются одной буквой, той же,которой обозначается множество.Примеры метрических пространств:I. Множество действительных чисел R с метрикой ρ(x,у)=|y-x|.Доказательство:1.ρ(x,x)=|x-x|=02. ρ(x,y)=|y-x|=|x-y|= ρ(y,x)3. ρ(x,z)=|z-x|=|z-y+y-x| |z-y|+|y-x|=ρ(y,z)+ρ(x,y)II. Пусть Х – произвольное множество и расстояние ρ задается такимобразом:ρ(x,y)=Такое пространство называется пространством изолированных точек, а метриканазывается дискретной.III. а) Пусть X= . Это множество наборов из n - действительных чиселх=(x 1 ,x 2 ,…,x n ). Метрику зададим формулойρ(x,y)=Докажем, что такое пространство является метрическим.1. ρ(x;x)=2.ρ(x;y)= = =ρ(y;x)25

Пусть х=(x 1 ,x 2 ,…,x n ),y=(y 1 ,y 1 ,…y n ),z=(z 1 ,z 2 ,…,z n ). Тогдаρ(x;z)= = =+ρ(x;z)==ρ(z;y)+ρ(x;y).б) Рассмотрим то же самое пространство, но метрику зададим формулойρ(x;y)=max | -Обозначается такое метрическое пространство .в) В этом же пространстве определим метрику формулойρ(х;у)=max| - , 1 .Обозначается такое пространство .IV. а) Пусть X – множество непрерывных на отрезке [a;b] функций сэлементами x(t). Метрику зададим формулойρ(x;y)=max хє[a;b] |y(t)-x(t)|Доказательство:1 . ρ(x;y)=max хє[a;b] |x(t)-x(t)|=0,2ρ(x;y)=max хє[a;b] |y(t)-x(t)|=ρ(x;y)=max|x(t)-y(t)|=p(y,x),3 Рассмотрим величину ρ(x;z)=max хє[a;b] |z(t)-x(t)|. Так какz(t)-x(t)= |z(t)-y(t)| |z(t)-y(t)|+ |y(t)-x(t)| max хє[a;b] |z(t)-x(t)|- max хє[a;b] |y(t)-x(t)|==ρ(z;y)+ρ(x;y)Так какmax хє[a;b] |z(t)-x(t)| |z(t)-x(t)|,тоmax хє[a;b] |z(t)-x(t)| ρ(z;y)+ρ(x;y).Обозначается такое метрическое пространство C [a;b] .б) Рассмотрим это же множество непрерывных на отрезке [а;b] функций,но с другой метрикойρ(x;y)= .26

Такое пространство называется пространством непрерывных функций сквадратичной метрикой и обозначаетсяC 2[a;b] .V. Рассмотрим пространство последовательностей действительных чиселх=(x 1 ,x 2 ,…,x n ), таких что. Метрику задают формулойρ(x,y) =Такое пространство обозначается l 2 .§ 2.Отображение пространствПусть Х, У два метрических пространства и пусть из Х в У действуетотображение f(x). Это значит, что каждому элементу пространства Х поставленв соответствие единственный элемент y=f(x) Y. Если f(x) взаимооднозначноесоответствие, то для него существует обратное отображение . Еслиотображение f(x) и обратное являются непрерывными, то пространства Хи У называются гомеоморфными.Определение: Если f(x) –взаимооднозначное отображение и при этом длялюбых двух точек x 1 , x 2 из пространства Х выполняетсяρ(x1,x2)=ρ 1 (f(x),f(x2)),то пространства Х и У называются изоморфными, а отображение f(x)называется изоморфизмом.§ 3.Классификация точек метрического пространстваОпределение: Открытым шаром В( в метрическом пространстве Хназывается совокупность точек этого пространства для которых выполняетсяусловиеρ( .Замкнутым шаром B[ называется совокупность точек пространстваХ, которые удовлетворяют условиюρ( .27

Если радиус шара достаточно мал, то обычно он обозначается через иоткрытый шар B( ) называется окрестностью точки .Определение: Точка называется предельной точкой множества М с Х(М является подмножеством пространства Х),если любая её окрестностьсодержит хотя бы одну точку из множества М.Предельные точки могут принадлежать множеству М, а могут и непринадлежать .Замыканием множества М называется множество М с присоединённымик нему предельными точками. Обозначается замыкание [M]. Присоединениепредельных точек к множеству называется операцией замыкания.Свойства замыкания:1. [[M]]=[M],2 . Mc [M],3 . Если M,cM, то [M] с [M].28

Лекция 3: Сходимость. Открытые и замкнутые множества§1. СходимостьОпределение: Пусть в пространстве Х задана последовательность точек{x n }=х 1 , х 2 , …, х n .Точка х 0 , принадлежащая пространству Х, называется пределомпоследовательности (или говорят последовательность {x n }сходится к точкех 0 )х n , если для любого сколь угодно малого числа Ɛ>0 существует номер N такой,что начиная с него все числа последовательности входят в Ɛ-окрестность точких 0 .Пример :Найти предельные точки последовательности1, ;0 – предельная точка.Определение: Точка х 0 называется пределом последовательности{x n }, если=0.В терминах пределов можно сформулировать определения непрерывности.Определение: Пусть y=f(x) – отображение метрического пространства X впространство у. Отображение y=f(x) называется непрерывным отображением,если для любой последовательности точек {x n } из пространства Х, сходящейсяк точке х 0 , соответствующая последовательность точек {y n =f(x n )} изпространства Y, сходится к точке y 0 =f(x 0 ).Пример:Найти предел последовательности {x n }=Докажем, что число 0 является пределом этой последовательности:І способ:ρ(0, x N ) |x N |N=10.ІІ способ:29

§2. Плотные подмножестваОпределение: Пусть М – некоторое подмножество метрическогопространства Х; М Х.М называется плотным в себе множеством, если оносодержится в множестве своих предельных точек. М называется всюдуплотным множеством в пространстве Х, если его замыкание совпадает с Х.Примеры:1. Пусть М – дискретное пространство со счётным числом точек(рис. 2.2), метрика которого задаётся формулой: ρ(x, y)={M={A, B, C, A}Рисунок 2.2Предельных точек нет; => множество не плотное в себе. Так как замыкание Мсовпадает с М, => множество всюду плотное.2. Пусть М=(a,b). [a,b] – множество предельных точек; =>Мсодержится в множестве своих предельных точек; => интервал (a,b) являетсяплотным в себе множеством.Проверим, является ли (a,b) всюду плотным множеством в пространстведействительных чисел R. Так как замыкание [a,b] R, то интервал (a,b) не всюдуплотен в самом себе.3. Пусть множество М={1, }30

Множество предельных точек {0}. =>М не принадлежит {0}=>М не плотное всебе.[М]={1, } => М не является всюду плотным в |R.§3. Замкнутые и открытые множестваОпределение: Множество называется замкнутым, если оно совпадает сосвоим замыканием (то есть все предельные точки содержатся в этоммножестве).Примеры:1. Отрезок [a;b] – замкнутое множество;2. - пустое множество и все пространство Х – замкнутые множества;3. − замкнуто.Замыкание множества есть наименьшее из замкнутых множеств, которыесодержат в себе М.Теорема 1. Пересечение любого числа (конечного или бесконечного)замкнутых множеств есть замкнутое множество.Доказательство:Пусть множество F= . F α - замкнутые множества. Докажем, что F тожезамкнутое, то есть содержит все свои предельные точки.Пусть х 0 – предельная точка множества F. Докажем, что она принадлежитF. Если х 0 – предельная точка, то в любой её окрестности содержатся точки изF, а так как F является пересечением множеств F α , то в окрестности точки х 0содержатся точки из каждого множества F α . Следовательно, точка х 0 являетсяпредельной для каждого из множеств F α , а так как F α - замкнутые множества, тох 0 F α , а следовательно принадлежит и их пересечению – множеству F.Теорема 2. Объединение конечного числа замкнутых множеств являетсязамкнутым множеством.Доказательство: Пусть F – объединение конечного числа замкнутыхмножеств. Докажем, что если х 0 – предельная точка множества F, то онапринадлежит F.31

Предположим, что х 0 не принадлежит F. Следовательно, х 0 непринадлежит ни одному из множеств F iТак как F i – замкнутые множества, то из того, что х 0 не принадлежит F iследует, что х 0 – не предельная точка для F i . Следовательно, в её окрестностинет точек из F i . Для каждого F i окрестность разная, а так как F являетсяобъединением множеств F i , то в окрестности точек х 0 нет точек из множества F.Следовательно, точка х 0 не предельная для F.Внутренней точкой множества называется точка, входящая в этомножество с некоторой своей окрестностью.Примеры:1. Для отрезка [a,b] все точки, кроме точек a и b, - внутренние.2. Точки границы окружности не внутренние.Открытое множество это множество, которое состоит только извнутренних точек.Примеры:1. Интервал (a,b) – открытое множество,2. Пустое множество - открытое.3. Всё метрическое пространство Х (числовая прямая R – открытоемножество)4. Пусть А – замкнутое множество. Если из него убрать конечноечисло точек, то множество А\{x 1 , x 2 , …, x n } будет открытым.Теорема 1. Дополнение к открытому множеству является замкнутыммножеством, а дополнение к замкнутому множеству является открытым.Доказательство: Докажем, что множество открыто, тогда и только тогда,когда его дополнение замкнуто.Пусть множество A – открыто. Докажем, что его дополнение M\Aзамкнуто, то есть x∉ \ А не может быть предельной точкой множества M\A. Разx∉ \A, значит x∈А. Множество А – открыто, поэтому точка Х содержится в немвместе с некоторой окрестностью. Таким образом, мы нашли окрестность32

точка Х, не содержащую элементов множества \А. Отсюда следует, что точка Хявляется внутренней точкой множества А, значит дополнение замкнуто.Пусть множество A – замкнуто. Докажем, что \ A – открыто, то есть чтоx∈M\A обязательно является внутренней точкой этого множества.Действительно, x∈\A, значит x∉A. A – замкнуто, поэтому точка Х не можетбыть его предельной точкой. Значит, у точка Х есть целая выколотаяокрестность и не содержится точек из множества A. Таким образом, мы нашлиокрестность точка Х целиком лежащую в M\A, – это U∪{x}→ множестводополнений открыто.Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств являетсяоткрытым множеством.Теорема 3. Объединение любого числа (конечного или счётного)открытых множеств является открытым множеством.Доказательство основывается на принципе двойственности и наосновании теоремы 1.§4. Структура открытого и замкнутого множества на прямой.Канторово множество.Теорема 1.Всякое открытое множество на числовой прямой представляетсобой объединение конечного или счётного числа интервалов.Теорема 2. Всякое замкнутое множество на прямой получаетсявыбрасыванием из прямой конечного или счётного числа открытых интервалов.Построение канторова множестваВозьмём отрезок [0;1], разделим его на 3 части и выбросим из негосреднюю часть – интервал (1/3;2/3). Оба полученных отрезка разделим на 3части каждый. Снова выбросим средние части из каждого отрезка. Продолжаяэтот процесс бесконечно, получаем так называемое канторово множество напрямой. Это множество обозначается F 0 , а множество, состоящее извыброшенных интервалов – G 0 .33

Лекция 4: Полные и компактные метрические пространства§1. Полные метрические пространстваОпределение: Пусть Х – метрическое пространство и {x n } –последовательность элементов этого пространства. Последовательность {x n }называется фундаментальной, если существует такой номер N, начиная скоторого для всех номеров n, m>N выполняется неравенство ρ(x n ,x m )0.В любом метрическом пространстве из сходимости последовательностиследует её фундаментальность, но обратное утверждение верно не во всехметрических пространствах.Определение: Пространства, в которых каждая фундаментальнаяпоследовательность сходится (к точке этого пространства), называютсяполными.Примеры:1) числовая прямая |R (полнота этого пространства известна из курсаматематического анализа);2) пространство |R n ;3) пространство С 2[a,b] (пространство непрерывных на [a,b] функций); приэтом пространство C [a,b] неполное!4) пространство l 2 - полное пространство;5) множество точек интервала (0,1) – неполное пространство;6) Q –множество рациональных чисел также неполное пространство.§2. Компактные множестваОпределение: Пусть множество Ає Х (Х – метрическое пространство).Множество А называется ограниченным, если оно полностью содержится внекотором открытом шаре (конечного радиуса).Из математического анализа известна теорема Коши-Больцано, котораяговорит о том, что из каждой ограниченной последовательности чисел можновыделить сходящуюся подпоследовательность. Это утверждение можно34

перенести с числовой прямой |R на ряд других пространств. Но для всехметрических пространств такое утверждение неверно. Те пространства, вкоторых такое выделение возможно называются компактными.Определение: Пусть Х – произвольное метрическое пространство.Множество М є Х называется компактным, если из любой последовательности{x n } этого множества можно выделить сходящуюсяподпоследовательность{x ni }.Если пределы таких подпоследовательностей принадлежат M, томножество M называется компактным в себе.Если всё метрическое пространство компактно, то оно называетсякомпактом.Примеры компактных множеств:1. [0;1] – компактно в себе.2. (0;1) – компактно, но не компактно в себе.3. Совокупность рациональных точек [0;1] не компактно.Свойства компактных множеств:1. Произвольное конечное множество компактно.2. Всякое компактное множество ограничено.3. Компактное множество замкнуто.4. Замкнутое подмножество компактного множества компактно.Определение: Множество С є Х называется Ɛ-сетью для множества А,если для любого х є А существует у є С такой, что ρ(х,у)< Ɛ.Критерий компактности (Хаусдорфа). Для того, чтобы замкнутоемножество F метрического пространства Х было компактным необходимо, адля полного пространства Х и достаточно, чтобы для любого числа Ɛ>0существовала конечная Ɛ -сеть для F.35

Лекция 5: Принцип сжимающихся отображений§1. Теорема БанахаОпределение: Пусть Х – метрическое пространство и f(x) – отображениеметрического пространства в себя. Отображение f(x) называется сжимающимотображением (сжатием), если для любых двух точек x, y принадлежащих Xсуществует число α х=0 – неподвижная точка;если х=2, то f(x)=2; => х=2 – неподвижная точка;=> все х≥0 – неподвижные точки.Теорема Банаха: во всяком полном метрическом пространствесжимающее отображение имеет одну и только одну неподвижную точку.Доказательство: Сначала докажем существование неподвижной точки.36

Пусть Х – полное метрическое пространство и f(x) – сжимающееотображение пространства Х на себя. Возьмём произвольную точку х 0 ,принадлежащую пространству Х, и построим последовательность {x n } такимобразом:{x n }=x 0 ,x 1 ,x 2 ,…,x n ,…х 1 =f(x 0 ); x 2 =f(x 1 ); … x n =f(x n-1 )Элемент последовательности x n представляет собой результат n-кратногоприменения отображения f(x) к элементу x 0 .Докажем, что этапоследовательность фундаментальна. Найдём:ρ(x n ,x m )=ρ(f(x n-1 ),f(x m-1 ))≤α*ρ(x n-1 , x m-1 )=α*ρ(f(x n-2 ),f(x m-2 ))≤α 2 *ρ(x n-2 , x m-2 )…≤α n *ρ(x 0 , x m-n ); при этом m≥nПрименим неравенство треугольника:α n *ρ(x 0 , x m-n )≤α n {ρ(x 0 , x 1 )+ρ(x 1 , x 2 )+ρ(x 2 , x 3 )+…+ρ(x m-n-1 , x m-n )}≤α n {ρ(x 0 , x 1 )+α*ρ(x 0 , x 1 )+α 2 *ρ(x 0 , x 1 )+…+α m-n-1 *ρ(x 0 , x 1 )}≤α n *ρ(x 0 , x 1 ){1+α+α 2 +…+α m-n-1 }≤α n *ρ(x 0 , x 1 )*Значит существует номер N, такой что при n, m>N выполняетсянеравенство ρ(x m , x n )

Замечание: Доказательство теоремы Банаха конструктивное и описываетспособ построения n-го приближения для неподвижной точки x*. Точность n-гоприближения оценивается формулой ρ(x*, x n )= .§2. Простейшие применения принципа сжимающих отображений.I. Решение уравнений вида f(x)=xОпределение: Функция f(x) определённая на отрезке [a;b] удовлетворяетусловию Гельдера (или Липшица) порядка α>0, если для таких двух точек x, y[a;b] выполняется . Класс функций, которыеудовлетворяют условию Гельдера обозначается или .Теорема. Пустьединственная точка, такая что, при чём K>1. Тогда существуетКроме того, справедлива оценка для приближения:II. Решение уравнений вида F(x)=0Теорема. Пусть F(x) отображает [a;b] в R и F(a)

начального приближенияможно взять любую точкуиз R n , а к-е приближение определяется формулой:.IV. Теорема о существовании и единственности решениядифференциального уравнения.Теорема. Пусть функция F(x,y), гдеудовлетворяетусловиям:1) F(x;y) – непрерывна при2) Существует число , такое что для всехвыполняется. Тогда для любого начальногозначениязадача Кошиимеет единственное решение.39

Лекция 6: Линейные и нормированные пространства§ 1. Понятие линейного пространстваОпределение: Пространство L с элементами x, y, z называется линейным,если в этом пространстве определены операции сложения и умножения начисло, которые удовлетворяют таким свойствам:I. Для любых двух элементов пространства х и у определён элемент x+yL, который называется суммой, и1. x+y=y+x (коммутативность),2. (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность),3. существует элемент 0 L, такой, что 0+x=x (существованиенулевого элемента),4. существует элемент –x , такой что x+(-x)=0 (существованиепротивоположного элемента).II . , определён элемент (произведение x на число ), приэтом1. ,2. 1*x=x,3. ,4. .Примеры линейных пространств:1. R – числовая прямая,2. - пространство векторов с n координатами с обычнымиоперациями сложения векторов и умножения на число.3. C [a;b] - пространство непрерывных на отрезке [a;b] функций cобычными операциями над функциями является линейным пространством.4. Пространство всех квадратных матриц размерностью заданойразмерности.40

§ 2. Линейная зависимость и независимость элементов пространстваПусть L – линейное пространство x, y, z,…, w - элементы этогопространства, а– действительные числа. Составим сумму=0. (1)Элементы x, y, z,…,w называются линейно независимыми, если равенство(1) выполняется только в том случае, когда все числа равны нулю.Элементы x, y, z, …, w называются линейно зависимыми, еслисуществуют такие числане все равные нулю, при которыхвыполняется равенство (1).Примеры :1. Доказать ,что вектора а(2;-1;6), b(1;4;0), c(3;-6;12) линейно зависимо впространствеРешение: Запишем равенство (1)Видим, что приэто равенство выполняется, а это и значит, что вектора линейно зависимы.2. Доказать, что в пространстве непрерывных на [0;1] функций элементыf 1 = , f 2 =x, f 3 = линейно независимы.Решение: Запишем равенство (1) для нашего случая=0.Это равенство выполняется только если все числа равны нулю, аэто и означает ,что функции линейно независимы.3. Проверить, являются ли функции f 1 =x, f 2 =5x, f 3 =-x линейнозависимымиРешение: Запишем равенство (1)41

=0Видим, что равенство выполняется, например, если,а это и означает, что заданные функции линейно зависимы.Определение: Максимальное число линейно независимых элементов впространстве L называется размерностью этого пространства. Если такоечисло указать невозможно, то есть любое произвольное число элементовявляется линейно независимыми, то пространство называетсябесконечномерным.Например, С [a;b] – бесконечномерное пространство, апространство имеет размерность n.Базисом пространства L называется система элементов этогопространства, состоящая из n линейно независимых элементов (число n эторазмерность пространства).§ 3. Нормированные пространстваОпределение: Линейное пространство L называется нормированным, еслидля каждого элемента х этого пространства определено число ||x||, котороеназывается нормой элемента x и которое должно удовлетворять условиям(свойствам нормы):1. ||x|| , причем ||x||=0, только в том случае, если x=0,2. || ,3. ||x+y|| ||x||+||y||.Примеры нормированных пространств:1. Числовая прямая R , норма элемента совпадает с его модулем ||x||=|x|.2.Рассмотрим векторное пространство с элементами x=(x 1 , x 2 ,…,x n )a) В этом пространстве норму можно задать формулой||x||= .Доказательство: Проверим, выполняются ли свойства нормы42

1. ||x||= ,2. =| =| ,3. =||x||+||y||.Такая норма совпадает с длиной вектора.б) В этом же пространстве норму можно задать формулой:||x|| 1 = .в) В пространстве норма может быть также задана следующимобразом||x| = max | |, 1 .3. В пространстве непрерывных функций C [a;b] норма может быть заданаформулой||x|| = |f(t)|.Каждое нормированное пространство является также и метрическимпространством, метрику которого можно задать таким образомρ(x;y)=||x-y||.Это утверждение доказать самостоятельно.Примеры:Найти норму элемента в указанном пространстве1. cosπt в пространстве C [0;1],2. в пространстве C [-1;5]Решение:1. ||x||= |f(t)|=max |cosπt|=1.2. || =max | | =32.43

Лекция 7: Евклидовы пространства§1. Определение евклидовых пространствВ нормированном пространстве определено понятие расстояние(метрика) между элементами. Метрику в нормированном пространстве всегдаможно задать с помощью нормы.В евклидовом пространстве кроме расстояния определено понятие угламежду элементами. Понятие угла основывается на понятии скалярногопроизведения.Определение: Пусть L – линейное пространство; х, у – элементы этогопространства.Действительная функция (х,у), которая определена для всех пар х, у ϵ L,называется скалярным произведением элементов х и у если она удовлетворяетследующим условиям:1) (x, y) = (у, х)2) (х₁ + х₂, у) = (х₁, у) + (х₂, у)3) (λ х, у) = λ (х, у)4) (х, х) ≥ 0, при чем (х, х) = 0 только в случае, если х = 0.Определение: Линейное пространство L с определенным на немскалярным произведением называется евклидовым пространством.Зная скалярное произведение можно перейти к норме по формуле:||x||=Таким образом, евклидовое пространство становится нормированнымпространством.Доказательство: Проверим выполнение аксиом нормы:1) ||x||≥0; при чём ||x||=0, только если x=02) ||αx||=|α|*||x||; α R3) ||x+y||≤||x||+||y||Первые две аксиомы очевидны:1) ||x||= ≥044

2) ||αx||=Докажем третью аксиому:||x+y||≤||x||+||y|| (1)||x+y|| 2 ≤(||x||+||y||) 2 (2)Из неравенства (2)всегда следует(1), т.к. обе стороны положительны.Рассмотрим левую часть неравенства (2):||x+y|| 2 =(x+y,x+y)=(x,x+y)+(y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)=||x|| 2 +2(x,y)+||y|| 2Рассмотрим правую часть неравенства (2):(||x||+||y||) 2 =||x|| 2 +2*||x||*||y||+||y|| 2Чтобы доказать неравенство(2), нужно доказать что (x,y)≤||x||*||y||. Этонеравенство (неравенство Коши-Буняковского) будем доказывать отдельно.Рассмотрим элемент ax+y Lи найдем скалярный квадрат этого элемента.(ax+y,ax+y)=(ax,ax)+(ax,y)+(y,ax)+(y,y)=a 2 ||x|| 2 +2a(x,y)+||y|| 2 ≥0Получили квадратичную функцию от параметра a.a 2 ||x|| 2 +2a(x,y)+||y|| 2 ≥0, т.к. (ax+y,ax+y)≥0Графиком этой функции является парабола, ветви которой направленывверх, а т.к. вся она лежит выше оси абсцисс, то D≤0:D=4(x,y) 2 -4*||x|| 2 *||y|| 2 ≤0 |:4(x,y) 2 ≤||x|| 2 *||y|| 2(x,y)≤||x||*||y|| - неравенство Коши-Буняковского доказано.Это значит, что справедливым есть неравенство (2), а следовательнодоказано и неравенство (1).Примеры евклидовых пространств:1) R –множество действительных чисел. Скалярное произведение в этомпространстве – это обычное произведение чисел : х*y2) ; элементами являются вектора:x=(x 1 , x 2 , …,x n )y=(y 1 , y 2 , …, y n )Скалярное произведение в этом пространстве задаётся формулой:45

(x,y)=x 1 *y 1 +x 2 *y 2 +…+x n *y n =3) Пространство l 2 . Элементами этого пространства являютсяпоследовательности .x=(x 1 , x 2 , …); y=(y 1 , y 2 , …). Скалярное произведение вэтом пространстве задаётся формулой:(x,y)=x 1 *y 1 +x 2 *y 2 +…=4) - пространство непрерывных функций на отрезке [a,b]. Элементыпространства – непрерывные функции. Скалярное произведение задаётсяформулой:(f,g)=При этом пространствоне является евклидовым.Примеры:1. Вычислить скалярное произведение векторов: ;;2. Вычислить скалярное произведение элементов f(t)=t; g(t)= впространстве :(f,g)= .§2. Ортогональные и ортонормированные системыС помощью скалярного произведения можно определить понятие угламежду элементами пространства по формуле:Элементы х и у называются ортогональными (то есть угол между нимиравен 90 ), если косинус угла между этими элементами равен нулю или(x,y) .Пусть в линейном евклидовом пространстве определена система ненулевых элементов.46

Определение: система не нулевых элементов {x α } называетсяортогональной системой, если её элементы попарно ортогональны (то естьпопарно перпендикулярны). Это значит, что скалярное произведение этихэлементов равно нулю, при ;Если в системе ненулевых элементов норма каждого элемента равнаединице, то такая система называется нормированной.Система, которая одновременно является и ортогональной, инормированной, называется ортонормированной. Для такой системывыполняется:Замечание: если система ортогональная, то её элементы независимы.Если число элементов в системе равно размерности пространства, тотакая система называется базисом. То есть ортогональный базис – этоортогональная система элементов, в которой число элементов равноразмерности пространства. Ортонормированный базис – базис, в которомнорма каждого элемента равна единице.Если задана система элементов {x α }, то сделать нормированной её можно,если заменить на такую систему: { }.Примеры ортогональных базисов:1) В пространстве R n ; (x,y)= – скалярное произведение.Ортонормированным базисом в этом пространстве является система векторов.=(1;0;0;…;0)=(0;1;0;…;0)=(0;0;0;…;1)Этот базис не единственный.47

2) Рассмотрим пространство l 2 ; (x,y)= – скалярное произведение. Вортогональный базис будут входить элементы, у которых одна из координатравна единице.=(1;0;0;…;0;…),=(0;1;0;…;0;…),=(0;0;0;…;1;…),3) Пространство С 2[a;b] со скалярным произведением (f,g)=Ортогональным базисом является система функций:Замечание: если отрезок [a,b] – это отрезок (то есть отрезокдлиной 2 ), то ортогональный базис в пространстве выглядит такимобразом:Задания:1. Найти скалярное произведение элементов пространства l 2 , если:x=(1; ); y=(1; ); ;– геометрическая прогрессия;48

Лекция 8: Гильбертовы пространства§ 1. Определение и примеры гильбертовых пространствСреди эвклидовых пространств есть конечномерные пространства(например, пространства R, ) и бесконечномерные (например, l 2 , ).Конечномерные пространства подробно изучаются в курсе алгебры, а вкурсе математического анализа, в основном, изучают бесконечномерныеевклидовы пространства. Такие пространства и называются гильбертовыми.Определение: Полное бесконечномерное евклидово пространствоназывается гильбертовым.То есть гильбертово пространство это:1. Полное пространство (каждая фундаментальная последовательностьсходится к элементу этого пространства),2. Евклидово пространство (линейное нормированное пространство сзаданным скалярным произведением),3. Пространство должно быть бесконечномерным. Это означает, чтоможно указать сколь угодно большое число линейно независимых элементовэтого пространства.Примеры гильбертовых пространств:1. Пространство бесконечных последовательностей l 2 ,2. Пространство . Это пространство является эвклидовымбесконечномерным пространством, но не является полным. Его можнопополнить таким образом, что полученное пространство будет полным, азначит и гильбертовым.§ 2. Ряд Фурье в евклидовом (гильбертовом) пространствеПусть М – -некоторое метрическое пространство. Если оноконечномерное, то, выбрав в нём ортонормированную систему элементов ,, …, , любой произвольный элемент пространства fєM можнопредставить в виде суммы49

f= + +…+ = , (1)где числа вычисляются по формулам:=(f, ),=(f, ), ...=(f, )…или=(f, ), k=1, 2, …, n.Выясним, как можно распространить разложение (1) на случайбесконечномерного пространства .Если пространство М –-бесконечномерное евклидово (гильбертово)пространство в котором выбрана ортонормированная бесконечная системаэлементов , , ..., то можно для каждого элемента f этого пространствавычислить числа:=(f, )=(f, )=(f, )….Назовём эти числа коэффициентами Фурье элемента f. Далее запишембесконечную сумму такого вида+ +…= .Назовём это выражение рядом Фурье элемента f по системе элементов ,, ...,.Замечание: пока неизвестно сходится или расходится построенный ряд, аесли сходится, то что является его суммой – элемент f или какой-то другойэлемент пространства.Выражение вида= + +…+называется n-частичной суммой Фурье и обозначается .50

Рассмотрим задачу, иллюстрирующую целесообразность изучения рядаФурье и n-частичных сумм Фурье.При фиксированном n для элемента пространства f и ортонормированнойсистемы , , ... построим сумму + +…= и выясним,какими должны быть числа , чтобы расстояние от элемента f до этой суммыбыло наименьшим.Рассмотрим квадрат расстояния между элементом f и составленнойсуммой:||f– | = (f– , (f– )==(f, f)- (f, ) – ( , f) + ( , )==||f| –2(f , )+ ( , )+ ( , )+…+ ( , )+..+ ( , )+…=||f| –2(f , )+( , +…)== ||f| –2 (f, ) + =||f| 2 c + =k1 k51k1 k k= ||f| – 2 –2 + + == ||f| – + – .Это выражение принимает наименьшее значение, если последнее слаживаемоеравно нулю– =0,= , k=1,2,...Это значит, что расстояние между элементом f и суммой видабудет наименьшим в том случае, если числа совпадают с коэффициентамиФурье элемента f. Этот факт является одним из основных положений в теорииприближения.Далее рассмотрим равенство||f– )| = ||f| – .Так как левая часть положительная, то и правая тоже положительная, значит||f| .Это неравенство называется неравенством Бесселя.Если, кроме того, в некотором пространстве имеет место равенство

||f| = ,называемое равенством Парсеваля, то в таком пространстве ряд Фурьесходится, причем сходится именно к элементу f. Например, равенствоПарсеваля выполняется в гильбертовых пространствах.Пример:Разложить элемент I=(1/2; 1/4; 1/8; ...)єl 2 по ортонормированной системеиз этого пространства=(1; 0; 0; …)=(0; 1; 0; …)Решение: Вычислим коэффициенты Фурье заданного элемента поформулам=(f, ), k=1, 2, …Получим=1/2, =1/4, =1/8, ….Составим ряд Фурье элемента I=(1/2; 1/4; 1/8; ...)+ +…= == * =1/2 (1; 0; 0…)+1/4(0; 1; 0; …)+1/8(0; 0; 1; …)+…52

Лекция 9: Линейные функционалы в линейных нормированныхпространствах§1.Понятие линейного функционала. ПримерыПусть М – метрическое пространство с элементами х. Отображение,которое каждому элементу пространства ставит в соответствие некотороечисло, называется функционалом. Обозначается функционал f или f(x).Пример: функционалом является норма, интеграл.Функционал f(х) называется линейным, если для любых двух элементовпространства х, у М и действительного числа α, α R выполняются условия:1) f(x+y)=f(x)+f(y) – условие аддитивности,2) f(αx)=αf(x) – условие однородности.Примеры линейных функционалов:1) В пространстве R:f(x)=ax, a R - линейным функционал,2) В пространстве с элементами x=(x 1 , x 2 , …, x n ) линейнымфункционалом является ,3) Рассмотрим пространствоa) – линейный функционал,b) Пусть y 0 (t) – некоторая фиксированная функция изпространства , тогда тоже являются функционалом.4) В пространстве : в качестве значения функционала можновыбрать значение k–ой координаты элемента.§2. Норма линейного функционалаФункционал f(x), заданный на линейном нормированном пространстве,называется непрерывным, если выполняется равенство:при условии .Непрерывность линейного функционала равносильна егоограниченности.53

Линейный функционал f(x) называется ограниченным, если для любогоэлемента х выполняется|f(x)|≤M||x||, (1)где М – некоторая числовая константа.Наименьшая из таких констант называется нормой функционала f(x) иобозначается ||f||.Часто вычисление норм функционалов бывает довольнозатруднительным. Обычно для практических задач достаточно оценить нормуфункционала сверху. Это сделать значительно проще.Примеры:1. Оценить сверху норму функционала f(x)=(x, a) в пространстве ,где а – фиксированный вектор.Запишем неравенство (1) для данного случая:=> (2)(1)Из (1) и (2)следует, что наименьшая из констант не должна быть больше,чем |a|, то есть норма оператора f не должна быть больше |a|. Тогда ||f||≤|a| -оценка нормы сверху.2. Оценить норму функционала , заданного впространстве .Запишем неравенство (1) для нашего случая:и оценим наименьшую из констант М, котораяудовлетворяет этому условию.(2)54

Из неравенств (1) и (2) следует, что наименьшая из констант, котораяудовлетворяет неравенству (1), не может превышать числа (b-a), а это и значит,что норма оператора I не превышает (b-a): .3. Оценить сверху норму функционала в пространстве, где t 0 – некоторая фиксированная точка из отрезка [a;b]:(2)Из неравенств (1) и (2) следует, что наименьшая из констант, котораяудовлетворяет неравенству (1), не должна превышать 1, а это и значит, что§3. Обобщённые функцииВ разных разделах курса «математический анализ» понятие функциярассматривается с различной степенью общности. Например, рассматриваютсятолько непрерывные функции или только дифференцируемые функции, илитолько бесконечно дифференцируемые.Часто в прикладных дисциплинах возникают задачи, которые приводят ктаким зависимостям, которые вообще не являются функциями в обычномпонимании.Например, в курсе физики при решении уравнения колебаний струнывозникают ряды, вторые производные от которых не являютсяфункциями. Поэтому существует необходимость рассматривать такназываемые обобщённые функции.Рассмотрим на числовой прямой функцию , которая являетсянепрерывной для всех х и, кроме того, обращается в нуль вне некоторогоинтервала. Такие функции называются финитными. Пространство финитныхфункций обозначается К.Рассмотрим функцию, которая задаётся с помощью формулы:55

(1), где f(t) – некоторая конкретная интегрируемаяфункция.Этот функционал линеен и непрерывен. Функции, которые можно задатьв виде (1), называются регулярными, в то время как функции, которые нельзяпредставить в виде (1),называются сингулярными.Регулярные и сингулярные функции называются обобщённымифункциями.Примеры:1. « » .Этот функционал может бытьпредставлен в виде (1) таким образом:, где2. . Этот функционал можно представить в виде(1) с помощью так называемой единичной функции Хевисайда:.56

Лекция 10: Линейные операторы§ 1. Определение и примеры линейных операторовПод оператором понимается отображение, переводящее каждый элементпространства (или некоторой части пространства ) в элементпространства . Чаще всего понятие оператора используется прирассмотрении функциональных пространств (т.е. когда элементамипространства и являются функции). Наиболее важным классомоператоров действующих в линейных нормированных пространствах являютсялинейные операторы.Определение: Пусть и - два линейных нормированныхпространства. Линейным оператором, действующим из в называетсяотображение А=Ах, х , удовлетворяющее условиям:1. A(x+y) =Ax+Ay, (аддитивность)2. A( = Ах. (однородность)Определение: Оператор А называется непрерывным в точке х 0 , если= .Оператор, непрерывный в каждой точке пространства, называетсянепрерывным оператором.Таким образом, понятие линейного функционала является частнымслучаем линейного оператора.Примеры линейных операторов:1. Рассмотрим пространство . Каждому элементу х=(х 1 , х 2 ,…, х n )поставим в соответствие элемент этого же пространства y=(y 1 , y 2 , …,y n ) спомощью системы уравнений= , i=1, 2, ..., n,или, что тоже самое с помощью матрицы А с коэффициентами , i, j=1, 2, .., n.Тем самым определён оператор А переводящий пространство в .57

С помощью прямоугольной матрицы A=(), i, j=1, 2, …, m, j=1, 2, ..., nможно задать оператор, переводящий элементы пространства в элементыпространства .2. Рассмотрим в пространстве C [a;b] оператор, определяемый формулойy(t)=x(s)ds,где k(t,s) – некоторая фиксированная, непрерывная в областифункция двух переменных.Такой оператор каждой непрерывной функции x(s) C [a;b] ставит всоответствие непрерывную функцию y(t).Докажем линейность этого оператора.1. A(x 1 +x 2 )= ( (s)+ (s))ds== (s)ds+ (s)ds=A + A ,2. A( x)= = = Ax.Этот оператор называется интегральным оператором Фредгольма с ядромk(t,s).3. В пространстве с элементами x=(x 1 , x 2 , ...), можноопределить оператор А с помощью бесконечной матрицы (), i,j=1, 2, …,такой чтотаким образом:= , i=1, 2, ...Несложно показать, что элемент y=(y 1 , y 2 , ...) принадлежит , а такжелинейность оператора А.4. Рассмотрим оператор дифференцирования Df(t)=f ' (t) которыйдействует в пространстве непрерывных функций C [a;b] . Понятно, что такойоператор определён не на всём C [a;b] , а лишь на множестве функций, имеющихнепрерывную производную.5. Единичный оператор I=Ix, который задаётся соотношением58

Ix=x, x E.Оператор переводит каждый элемент пространства в себя.6. Нулевой оператор0x=0, x ,который переводит каждый элемент пространствав нулевой элементпространства .§ 2. Норма оператораВ нормированном пространстве непрерывность оператора равносильнаего ограниченности. Ограниченность линейного оператора означает, чтосуществует такая константа М, что||Ax|| M*||x|| x (1)Наименьшая из таких констант называется нормой оператора А иобозначается ||A||.Пример:Найти норму оператора Bx=tx(t), x(t) C [a;b] .Решение: Запишем неравенство (1): ||Bx|| M||x||. Рассмотрим величину||Bx||:||Bx||=||tx(t)|| = ma |t*x(t)| b*ma |x(t)|=b*||x||,значит наименьшая из констант М, удовлетворяющая неравенству (1) не можетпревышать b. Это и означает что ||B|| b.Укажем функцию, для которой ||B|| b. Пусть (t)=1 [a,b]. Тогда||B (t)||=ma |t (t)|= ma |t|=b, т.к.||B|| (t)||=b,то это и означает, что ||B||=b.Пример:Оценить норму интегрального оператора Фредгольма в пространствеC [a;b] .(Самостоятельно).59

§ 3. Обратный оператор. Резольвента. Спектр.Рассмотрим несколько вспомогательных понятий.Множество элементов x для которых Ax=0 называется ядромоператора А и обозначается Ker A.Множество y для которых y=Ax , x называется образомоператора А и обозначается Im A.Если задан оператор А (действующий из в ), то оператор В(действующий из в ), удовлетворяющий равенствамB(Ax)=x ,A(Bx)=yНазывается оператором, обратным к оператору А и обозначается A -1 .Нахождение обратного оператора равносильно решенного операторногоуравненияAx=y, (1)где x , y , y - известный элемент, х - искомый элемент.Часто вместо уравнения (1) приходится рассматривать уравнениеAx- x=y (2)где λ - чистовой параметр. Это уравнение так же можно записать в виде(A-λI)x=y. (3)Одновременно с этим уравнением целесообразно рассматриватьуравнениеA-λx=0, (4)которое называется однородным, а уравнение (2), соответственно,неоднородным. Ясно, что однородное уравнение всегда имеет нулевое решениех=0.Пусть оператор A-λx для данного λ имеет обратный оператор (A-λI ,который называется резольвентой для оператора А и обозначается R. В этомслучае (4) имеет только нулевое решение. Такие значения λ называютсярегулярными для оператора А. Все остальные значения λ (которые не являютсярегулярными) образуют спектр.60

Если (4) имеет и ненулевое решение, то такие значения λ называютсясобственными.Собственные значения λ всегда принадлежат спектру. Но в спектре могутсуществовать точки, которые не являются собственными значениями. Такаячасть спектра называется непрерывной.61

Лекция 11: Понятие меры.§1. Мера ограниченного открытого множества.Понятие меры – это обобщенное понятие длинны отрезка, площади,объема, приращения функции и т. д.Мы будем рассматривать понятие меры для ограниченного множества начисловой прямой.Определение: мерой интервала (а; b) называется его длинна.Обозначается: m,m(а; b) = b – а.Теорема 1. Если в интервале Δ содержится конечное или счетное числопопарно не пересекающихся интервалов δ к , тоmΔ ≥ или mΔ ≥Определение: мерой не пустого открытого ограниченного множества Gназывается сумма длин всех его составляющих интерваловmG =Теорема 2. Если открытое ограниченное множество G представляет собойобъединение конечного или счетного числа попарно не пересекающихсяоткрытых множеств G k , то его мера равна сумме мер множеств G k.G = , = Ø, при k1 ≠ k2mG = .Теорема 3. Если открытое ограниченное множество G представляет собойобъединение конечного или счетного числа открытых множеств , тоmG = .Пример.Мера канторового множества G 0 =1.§2. Мера ограниченного замкнутого множества.Определение: мерой не пустого ограниченного замкнутого множества Fназывается число m F = m Δ – m Δ\F, где Δ – это минимальный отрезок62

содержащий в себе F, а Δ\F – это дополнение множества F до отрезка Δ. (Δ =, А = inf F, B = sup F).Теорема 4. Если замкнутое ограниченное множество F представляетсобой объединение конечного или счетного числа попарно пересекающихсязамкнутых множеств , то его мера равна сумме мер множествF = , = Ø, если k1 ≠ k2mF = .Пример.1. Мера отрезка [a,b] равна его длине.2. Мера канторового множества F 0 =0.Если замкнутое множество F полностью содержится в открытомограниченном множестве G, то mF ≤ mG.Определение: мерой замкнутого ограниченного множества F называетсяточная нижняя граница мер, всевозможных открытых ограниченных множествсодержащих в себе множество FmF = .Определение: мерой открытого ограниченного множества G называетсяточная верхняя граница мер, всевозможных замкнутых множеств, которыесодержатся в GmG = .§3. Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества.Мера которую мы определили в параграфах 1 и 2 обладает следующимисвойствами:1) mF ≥ 0,2) Мера аддитивна E = , = Ø при k 1 ≠ k 2. mЕ = .Определение: внешней мерой ограниченного множества называетсяточная нижняя граница мер, всевозможных открытых множеств , которыесодержат в себе множество E. Обозначается m * E63

m * E = .Определение: внутренней мерой ограниченного множества E называетсяточная верхняя граница мер, всевозможных замкнутых множеств , которыесодержатся в E. Обозначается m * E.m * E = .Свойства внешней и внутренней меры:1. m * E ≥ 0; m * E ≥ 0.2. m * E ˂ ∞; m * E ∞.3. Для замкнутых множеств внешняя мера совпадает с внутренней.4. Для открытого множества внешняя мера совпадает с внутренней.5. Для любого ограниченного множества m * E ≥ m * E.§4. Измеримые по Лебегу множества.Определение: Ограниченное множество у которого m * E = m * E называетсяизмеримым по Лебегу. Измеримые по Лебегу множества иногда обозначаютсякак L-измеримые.Всякое неограниченное множество считается неизмеримым по Лебегу, адля ограниченного измеримого множества общее значение m * E и m * Eназывается мерой Лебегаm * E = m * E = mEТеорема 1. Если измеримое по Лебегу множество представляет собойобъединение конечного или счетного числа измеримых множеств, то такоемножество измеримо.Теорема 2. Если измеримое множество представляет собой пересечениеконечного или счетного числа измеримых множеств, то такое множествоизмеримо.Теорема 3. Разность измеримых множеств тоже измерима.Теорема 4. Если множество E представляет собой объединение множеств, , … каждое из которых измеримо E = , то64

mE = .Понятие меры введенное в параграфах 1 и 2 для замкнутых и открытыхмножеств совпадает с понятием меры по Лебегу.Замечание. На прямой существуют ограниченные, но неизмеримыемножества.65

Лекция 12: Измеримые функции§1. Простейшие свойства измеримых функцийДопустим, на множестве E задана функция f(x). Введем такиеобозначения: E(f ˃ a) =, a⋴R.Аналогичным образом определим множества E(f ˂ a), E(f = a), E(f ≠ a), E(f≥ a), E(f ≤ a).Функция f(x) заданная на множестве E называется измеримой (по Лебегу)функцией на множестве E, если:1) Множество E измеримо,2) E(f ˃ a), для любых a⋴R.Замечание: в этом определении во втором пункте можно брать любое измножеств: E(f ˂ a), E(f = a), E(f ≥ a), E(f ≤ a).Доказательство. Легко проверить, чтоОткуда следует измеримость множества ( . Измеримость прочихмножеств вытекает из соотношений:,,.Замечание: Легко показать, что если хоть одно из множеств, , (1)оказывается измеримым при всяком а, то функция измерима на множестве( которое также предполагается измеримым).Действительно, тождество показывает,например, что измерима, если измеримы все множества . Сходнымобразом устанавливаются и остальные утверждения. Таким образом, в66

определении измеримой функции можно заменить множество любымиз множеств (1).Свойства измеримых функций.1) Если функция f(x) задана на множестве меры нуль, то она измерима.2) Постоянная функция измерима f(x) = c, c = const.3) Ступенчатая функция измерима.4) Если функция f(x) измерима на множестве E и множество A⋴ E, тофункция f(x) измерима на множестве A.5) Если f(x) измерима на множестве E и множество Е представляет собойобъединение конечного или счетного числа измеримых множеств, то f(x)измерима на каждом множестве . E = .6) Если функция , заданная на множестве , измерима, а конечноечисло, то измеримы и функции1) , 2) , 3) , 4) , 5) если , то измеримафункция .Доказательство. 1) измеримость функции вытекает изсоотношения .2) Измеримость функции при следует из свойства 2.3) Функция измерима потому, что4) Аналогично, из того, чтовытекает измеримость функции .5) Наконец, при имеем67

Откуда и следует измеримость .§ 2. Дальнейшие свойства измеримых функцийОпределение: функции f(x) и g(x) заданные и измеримы на множестве Еназываются эквивалентными на этом множестве, если мера множества точек вкоторых эти функции не совпадают равна нулю. Обозначается: f`~ gf(x) ~ g(x) mE (f ≠ g) = 0Будем говорить, что обстоятельство S имеет место почти везде намножестве Е, если, мера множества точек, в которых это обстоятельство невыполняется равна нулю. Т. е. эквивалентные функции – это функции которыесовпадают почти везде.1) Функция , заданная и непрерывная на сегменте ,измерима.Доказательство. Прежде всего установим , что множествозамкнуто. Действительно, если есть предельная точка этого множества и, то и, в силу непрерывности , будет , т.е., что и устанавливает замкнутость множества . Но тогда множествоизмеримо, и утверждение доказано.2) Если f(x) и g(x) измеримы на множестве Е, то измеримыми являются ифункции:а) f(x) – g(x),б) f(x) + g(x),в) f(x) * g(x),г) , если g(x) ≠ 0.68

3) Пусть f 1 (x), f 2 (x), - последовательность измеримых на множестве Ефункций, которая сходится к функции F(x) т. е.F(x) = (x) (1),тогда функция F(x) также измерима на множестве Е.Замечание: если (1) выполняется не для всех точек множества Е, но мератого множества точек в которых это равенство не выполняется равна нулю, тоf(x) измерима на Е.Теорема (Лузина). Пусть на отрезке задана измеримая и почти вездеконечная функция f(x), тогда для любого δ ˃ 0 найдется такая функция ψ(x),непрерывная на отрезке , что мера множества точек в которых этифункции не совпадают меньше δ. mE (f ≠ ψ) ˂ δ.Исходя из этой теоремы структуру измеримой функции можнопредставить следующим образом: измеримая функция – это функция котораяпочти везде является непрерывной (т. е. мера множества точек разрыва такойфункции равна нулю).69

Лекция 13: Интеграл Лебега от ограниченной функции§ 1. Недостатки интеграла РиманаНапомним способ введения интеграла Римана. Пусть f(x) заданнаянепрерывная функция на отрезке [a; b] (рис. 2.3)f(ξ k )y = f(x)x 0 x 1 x 2 x k x k+1 x na ξ k bРисунок 2.3Выполним разбиение (дробление) отрезка [a; b] точками a = x 0 ˂ x 1 ˂ x 2 …˂ x n = b. Выберем на каждом из отрезков [x k ; x k+1 ], k = 0, 1, … n-1произвольным образом точку ξ ⋴ [x k ; x k+1 ]. Вычислим значение функции f(x) вэтой точке т.е. f(ξ k ). Далее обозначим через Δx k = x k+1 – x k длину к-го отрезка, k= 0, 1, … n-1, а через λ = . Далее составим сумму )Δx k .Определение: если существует предел)Δx k , который независит ни от способа дробления [a; b], ни от способа выбора точек ξ k накаждом отрезке, то этот предел называется интегралом Римана от функции f(x)по отрезку [a; b] и обозначается (R) .(R) = )Δx k.Понятие интеграла Римана удачно только для непрерывных функций т.к.для непрерывных функций разные точки ξ k, из отрезка [x k ; x k+1 ], имеют близкиезначения, а для разрывных функций это не так (рис. 2.4).f(ξ k2 )f(ξ k1 )x k1 ξ k1 ξ k2 x k+1Рисунок 2.470

Интеграл Римана существует только если функция ограничена, однако,среди ограниченных функций есть непрерывные и разрывные.Для всех непрерывных функций интеграл Римана существует и, крометого, интеграл Римана существует и для некоторых разрывных функций.Приведем пример ограниченной разрывной функции для которойинтеграл Римана не существует – это функция Дирихле:ψ(x) = х⋴[0, 1].Выберем в качестве точек ξ k - рациональные точки отрезка x k+1 . Тогдаψ(х) = 1. Посчитаем интегральную сумму )Δx k = = 1.Выберем в качестве точек ξ k – иррациональные точки отрезка [x k ; x k+1 ].ψ(x) = 0. Тогда сумма)Δx k = 0. Значит, эта функция не интегрируемапо Риману, не смотря на то, что она достаточно простая. Поэтому Лебегпредложил другой способ определения интеграла, который бы позволилинтегрировать более широкий класс функций.§ 2. Определение интеграла ЛебегаПусть на измеримом множестве Е задана измеримая функция f(x). Пустьинтервал (A; B) – это интервал который содержит все значения функции f(x). A˂ f(x) ˂ B для любого x ⋴ E.By = f(x)y k+1y ky 2y 1Aa y k y k+1 bРисунок 2.571

Выполним разбиение интервала (A; B) точками A = y 0 ˂ y 1 ˂ y 2 ˂ … ˂ y k ˂y k-1 ˂ … ˂ y n = B (рис. 2.5).Введем обозначения: e k = E (y k ˂ f ˂ y k+1 ).Свойства множеств e k :1) измеримы,2) не пересекаются,3) объединение множеств e k это отрезок [a; b] (или множество Е), аследовательно mE = .Далее составим суммы:me k – нижняя интегральная сумма Лебега. Обозначается s.me k = S – верхняя интегральная сумма Лебега. Обозначается S.Так как можно различными способами дробить интервал (A; B), то изначения верхних и нижних сумм будут различны, но при этом ни одна изверхних интегральных сумм не может бать меньше ни одной из нижнихинтегральных сумм. Понятно, что у множества верхних интегральных сумместь точная нижняя граница inf{S}, а у множества нижних интегральных сумместь точная верхняя граница sup{s}.Определение: Общее значение точной нижней границы верхнихинтегральных сумм Лебега и точной верхней границы нижних интегральныхсумм Лебега называется интегралом Лебега от функции f(x) по множеству Е.Обозначается (L), а если множество Е – это [a; b], то интегралобозначается (L) .Таким образом, процесс интегрирования по Лебегу применяется ко всемограниченным измеримым функциям.Теорема 1. Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции f(x) помножеству Е равен предельному значению верхних и нижних интегральныхсумм Лебега(L) = me k = ,где λ = .72

§ 3. Свойства интеграла Лебега1) Пусть f(x) ограниченная измеримая функция на измеримом множествеЕ и числа А и В ее наименшее и наибольшее значения соответсвенно. ТогдаАmE ≤ (L)≤ ВmE (теорема о среднем).2) Пусть f(x) = c, на измеримом множестве Е, тогда(L) .3) Пусть f(x) ограниченная функция на множестве Е и mE = 0, тогда(L) .4) Пусть f(x) ограниченная измеримая функция на измеримом множествеЕ и f(x) ≥ 0, тогда(L) .5) Полная аддитивность интеграла Лебега. Пусть измеримое множество Еможно представить в виде объединения не пересекающихся множеств E k ,каждое из которых измеримо E = , E k1 = ø, при k 1 ≠ k 2 , тогдаинтеграл Лебега по этому множеству равен сумме интегралов по множеству E k .(L) .6) Пусть f(x) ограниченная измеримая функция на измеримом множествеЕ, тогда(L), где с = const.7) Пусть функции f(x) и g(x) ограничены и измеримы на измеримоммножестве Е, тогда(L) .Шестое и седьмое свойства - линейность интеграла Лебега.8) Если функции f(x) и g(x) эквивалентны (различаются на множествемеры нуль), то(L) .73

Теорема 1. (Критерий интегрируемости функции f(x) по Риману). Длятого, чтобы функция f(x), была интегрируема по Риману, необходимо идостаточно, чтобы она была непрерывной почти везде на отрезке [a; b].Теорема 2. (Связь интеграла Римана и Лебега). Если функция f(x)интегрируема по Риману на отрезке [a; b], то она интегрируема и по Лебегу наэтом отрезке и оба интеграла равны(R) .Обратное утверждение не верно. Например, функция Дирихле неинтегрируема по Риману, а по Лебегу ее интеграл существует.74

Лекция 14: Пространство суммируемых функций.§ 1. Пространство L [a;b]Пусть f(x) неотрицательная, интегрируемая по Лебегу, на множестве Ефункция.Определение: неотрицательная функция f(x) называется суммируемой намножестве Е, если интеграл Лебега от этой функции конечен(L) , f(x) ≥ 0, х ⋴ Е.Теорема 1. Для того, чтобы измеримая на множестве Е функция f(x) быласуммируема, необходимо и достаточно, чтобы суммируема была функция |f(x)|т.е.(L)Это утверждение иногда используют в качестве определение суммируемойфункции.Свойства суммируемых функций:1) Всякая функция f(x) суммируема на множестве меры нуль.2) Если f(x) суммируема на множестве Е, то f(x) суммируема и на любомподмножестве множества Е.3) Суммируемая функция почти везде конечна.Обозначим символом L [a;b] множество суммируемых функций т.е.элементами множества L [a;b] являются суммируемые функции. Так как интегралЛебега от эквивалентных функций совпадает, то не имеет смысла различатьэквивалентные функции, будем считать эквивалентные функции за один и тотже элемент пространства L [a;b]. Иногда для краткости пространство L [a;b]обозначается просто как L (или L 1 ).Установим свойства пространства L.Так как для функций определены операции сложения и умножения начисло, которые удовлетворяют всем свойствам операций сложения иумножения в линейном пространстве и, кроме того, если f(x) ⋴ L и g(x) ⋴ L, то75

f(x) + g(x) ⋴ L, α*f(x) ⋴ L, то отсюда следует, что L – это линейноепространство. Нулевым элементом в этом пространстве является функцияпочти везде равная нулю.Норму в этом пространстве можно задать с помощью формулы:||f|| L = (L) .Не сложно убедиться, что все свойства нормы выполняются, следовательно, Lэто нормированное пространство.Метрика в этом пространстве может быть задана с помощью формулы:ρ(f,g) = (L) ,следовательно, L – это метрическое пространство.Кроме того, L – полное пространство, но оно не является евклидовым.Поэтому имеет смысл рассматривать другие пространства суммируемыхфункций, в которым можно задать скалярное произведение.§ 2. Пространство L 2Обозначим символом L 2[a;b] множество функций заданных на отрезке[a;b], с суммируемым квадратом, т.е.(L) .Иногда это пространство обозначают для краткости L 2 и называютпространством функций с суммируемым квадратом. Имеет место включениеL 2 ϲ L.Так как из того, что f(x) ⋴ L 2 и g(x) ⋴ L 2, следует что, f(x) + g(x) ⋴ L 2 иα*f(x) ⋴ L 2 , то L 2 является линейным пространством.Докажем первое утверждение.Из того что f(x) ⋴ L 2 следует что, квадрат этой функции суммируем,аналогично и для g(x)f(x) ⋴ L 2 => (L) , g(x) ⋴ L 2 => (L) .Рассмотрим интеграл от квадрата функции f(x) + g(x)76

а это и означает что функция f(x) + g(x) ⋴ L 2 . Значит L 2 – линейноепространство.Норму в этом пространстве можно задать с помощью формулы:||f|| L = ,а метрику можно ввести с помощью формулы:ρ(f,g) = .Ясно, что определение расстояния не зависит от выбора представителей вклассах f(x) и g(x). Аксиомы тождества и симметрии в силу того, что двеэквивалентные функции определяют один и тот же класс, очевидны. Чтобыдоказать аксиомы треугольника, установим для функции с интегрируемымквадратом неравенства Буняковского - Шварца и Коши -Минковского.Для любых двух таких функций f(x) и g(x) и для любого вещественногоимеемТак как │f(x)*g(x)│≤ мы видим, что если функции f(x) и g(x)имеют интегрируемые квадраты, то их произведение интегрируемо. Поэтомупредыдущее неравенство можно преобразовать к виду.Полагаяперепишем это неравенство следующим образом:или, заменяя A, B и C их значениями,77

Это и есть неравенство Буняковского - Шварца. Далее,Извлекая из обеих частей неравенства квадратный корень, получими мы пришли к неравенству Коши-Минковского. Аксиома треугольникастановится теперь почти очевидной. В самом деле,Значит L 2 – нормированное (метрическое) пространство.Кроме того, в этом пространстве можно задавать скалярное произведение спомощью формулы(f,g) = (L) .78

Убедимся что, скалярное произведение заданное этой формулойудовлетворяет свойствам скалярного произведения:1) (x, y) = (y, x)(f(x), g(x)) = (L) ,2) (x 1 + x 2 , y) = (x 1 , y) + (x 2 , y)3) (λx, y) = λ(x, y)(L) ,4) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 если = 0(L) .Т.е. L 2 является эвклидовым пространством.Таким образом, L 2 это линейное нормированное евклидово(бесконечномерное) пространство, кроме того, L 2 – полное пространство.Значит L 2 является гильбертовым пространством в котором появляетсявозможность рассматривать и использовать ряды Фурье.79

Лекция 15: Ряды Фурье в пространстве L 2§ 1. Ортонормированые системы. Тригонометрический ряд ФурьеОпределение: система элементов φ 1 , φ 2 ,…, φ n ,… пространства L [a;b]называется ортогональной, если ее элементы попарно ортогональны, т.е.(L) , при i ≠ j.Определение: если норма каждого элемента системы равна 1, то системаназывается нормированной.Определение: ортогональная нормированная система элементовназывается ортонормированной, т.е.(L)Ортогональная система {φ n } может быть нормирована таким способом:.Так как всякая ортогональная система линейно независима в L 2 , то любойфункции f ⋴ L 2 можно поставить в соответствие ряд Фурьеc 1 φ 1 + c 2 φ 2 + … + c n φ n + … = ,где числас k = (f, φ k ) = (L), k = 1, 2,…- коэффициенты Фурье функции f(x) по системе {φ n }. Если система ненормирована, то80

с k =( )2(L) , k = 1, 2,…Так как L 2 – гильбертово пространство, то суммой ряда Фурье функцииf(x) является функция f(x). Это следует из того факта, что в гильбертовомпространстве равенство Парсеваля ||f|| 2 = выполняется.Наиболее часто в пространстве L 2[a; b] рассматривают ортогональнуюсистему,(называемую тригонометрической), а в пространстве L 2[-π;π] систему1, .Ряд Фурье, cоставленный по таким системам называетсятригонометрическим рядом Фурье.Эта система не нормирована. Соответствующая нормированная системасостоит из функцийПусть f(x) – функция из L 2[a; b]. Ее коэффициенты Фурье, соответствующиефункциям 1, cos nx, sin nx принято обозначать. Вычислим= .Соответствующий ряд Фурье имеет вид81

Аналогично можно показать, что тригонометрический ряд Фурьефункции f(x) ⋴ L 2[a;b] можно представить в виде§ 2. Другие ортогональные системы пространства L 2Система элементов 1, х, х 2 ,…,х n ,… является полной в пространстве L 2[a; b] .Соответствующая ей ортогональная система состоит из функций (многочленов), которые называются многочленами Лежандра.Нормированная система определяется многочленами.Например, первые пять многочленов Лежандра имеют вид:82

имеет вид:Разложение функции f(x) ⋴ L 2[-1; 1] в ряд Фурье по многочленам ЛежандраВ пространстве L 2(-∞;∞) полной является система функций.Соответствующая ей ортогональная система имеет вид- многочлены Эрмита, которые сточностью до постоянного множителя определяются формулой83

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту УкраїниДонбаська державна машинобудівна академіяФакультет машинобудуванняКафедра вищої математикиМЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇдля проведення практичних і семінарських занятьта організації самостійної роботи студентівз навчальної дисципліни «Функціональний аналіз»для студентів спеціальності7.04030302 «Системні науки та кібернетика(Системи і методи прийняття рішень)»Краматорськ, 201384

Объединение: С=А∪В (рис. 3.1)Практическое занятие 1: МножестваДействия над множествамиРисунок 3.1Пересечение: С=А∩В (рис. 3.2)Рисунок 3.2Разность: С=А\В (рис. 3.3)Рисунок 3.3Симметрическая разность (рис. 3.4)Рисунок 3.4∁=А∆ВДополнение S \ A (рис. 3.5)85

Рисунок 3.5Задание 1. (преподаватель решает у доски).1. Выполнить операции над множествамиА={2,5,7,9} В={3,5,8,9,12}АA B ={5,9}A\ B = {2,7}2. X:{ x: -3≤ x ≤ 8}Y: {x: -5≤ x ≤ 6}X Y, X YX Y : -3 ≤ x < 6X Y : -5 < x ≤ 83. Найти пересечение следующих множеств.a)- X - множество 2-хзначных натуральных чисел, Y - множество четныхнатуральных чисел. б) Х-множество всех параллелограммов Y – множествотрапеций.а) Х ={10,11,..,99} б)У={2,4,..,98,..}Х У={10,12,14,..,98)4. Даны множества. Определить вхождение одного множества в другое.А={10} ; В={10,15} ; С={5,10,15}а) А Вб) С А86

в) С В5. Доказать свойства операций над множествами.а) А В= В АПусть х А В, тогда х А или х В.Отсюда х В А, х В АОбратное доказывается аналогично.б) АПусть х тогда или х , илиОбратное доказательство.Пустьиз этого следует, что(рис. 3.6)Рисунок 3.66. Найти дополнение к множеству натуральных четных чисел.А={ х: х= 2k, k N}N/ A= = { x : x= 2k+1, k87

Законы двойственности. Cчетные и несчетные множества.Задание 1. Доказать, что множества счетные (преподаватель решает у доски)1. Множество { nЧислам 1,4,9,16,25,36…поставим в соответствие числа 1,2,3,4,5,6,... - данное множество счетное.2. Множество положительных рациональных чисел.,,,.Объединение счетного числа счетных множеств является счетным.Задание 1. Доказать, что множество попарно непересекающихся отрезковна прямой конечно или счетно.Рисунок 3.7Каждый отрезок содержит рациональную точку, причем длянепересеченных отрезков эти точки разные, следовательно, множество счетное(рис. 3.7).Отображение множествf: M N, a M, b N, b=f(a), а - праобраз, b-образ. f(M)=N – сюръекция(вся область значений) х – инъекция.Вместе сюръекция и инъекция – биекция88

Задание 1.(преподаватель решает у доски)1. Какая из указанных функций из отрезка сюръекция,инъекция, биекция.а) f(x)=y [0,1]-решений нет, отображение не сюръекция, инъекция (рис. 3.8).б)f(x)=12〖(x-1/2)〗^2Рисунок 3.8y 1 =y 2 например, при х 1 =1, х 2 =-1, - не инъекция, не сюръекция (рис. 3.9).в)f(x)=3xРисунок 3.9Данная функция инъекция и сюръекция, следовательно биекция (рис. 3.10).Рисунок 3.102. Доказать, что если f: E->F, A⊂F,B⊂F, то f^(-1) (A∩B)= f^(-1) (A)∩f^(-1)(B)Если x ϵ f^(-1) (A∩B), то f(x) ϵA иϵB =>xϵf^(-1) (A) и xϵf^(-1) (B)=> xϵf^(-1) (A)∩f^(-1)(B)89

Практическое занятие 2: Метрические пространства. Классификацияточек пространстваМетрика1. ρ(x,y)=0 тогда и только тогда, когда x=y (аксиоматождественности),2. ρ(x,y)= ρ (y,x) (аксиома симметричности),3. ρ (x,z) ρ (x,y)+ ρ (y,z) (аксиома треугольника).Задание 1. (преподаватель решает у доски)а) Доказать, что функция ρ(x,y)=min{1, |x-y|} на множестве R являетсяметрикой.1. x=y, ρ(x,y)= min{1, |x-x|}= 0,2. ρ(x,y)= min{1, |x-y|}= min{1, |y-x|}= ρ(y,x),3. ρ (x,z) =min{1, |x-z|} = min{1, |x-y+y-z|} ρ (x,y)+ ρ (y,z).б) Доказать, что функция ρ(x,y)= nметрикой.1. x=y, ρ(x,y)= n2. ρ(x,y)= n13. ρ (x,z)= n1xxnn1xn yn znnn xnn= n= n1=0,1xynn1 xn yЗадание 2. (студенты решают у доски)nnxn ynn= ρ(y,x), ynn znна множестве l 2 являетсяρ (x,y)+ ρ (y,z).Доказать, что функция ρ(x,y)=метрикой.max x y1nmnnна множестве R m является1. x=y, ρ(x,y)= max x x 0 ,1nmnn2. ρ(x,y)= max xn yn= max yn xn1nm1nm= ρ(y,x),90

3. ρ (x,z) = max xn zn max xn yn max yn zn1nm1nm1nmρ (x,y)+ ρ (y,z).Задание 3. (самостоятельно)Проверить, являются ли функции метриками на указанных множестваха) ρ(x,y)=б) ρ(x,y)=33x y , R,22x y , X [ 0; ).ТочкаКлассификация точек метрического пространстваназывается предельной точкой множества М с Х (М являетсяподмножеством пространства Х), если любая её окрестность содержит хотя быодну точку из множества М.Внутренней точкой множества называется точка, входящая в этомножество с некоторой своей окрестностью.Изолированная точка множества – точка, у которой существуетокрестность, не содержащая других точек этого множества.Задание 1. (преподаватель решает у доски)Указать предельные, внутренние и изолированные точки множеств:а) A=[0;3) { 6}предельные [0;3],внутренние [0;3),изолированная {6}.б) E={1; 1/4; 1/16; …}предельная {0},внутренних точек нет,изолированные {1; 1/4; 1/16; …}.Задание 2. (самостоятельно)1. Классифицировать точки множества) A=[0;3) 4;5) {1} {10}( ,91

б) А= {( x 1 , x 2 ), x 1,2 Q.2. Указать множество, имеющее ровно три предельные точки.92

Практическое занятие 3: Принцип сжимающих отображений. Егоприменение.f(x)- сжимающее отображение, если:1) Отображает в себя;2) ∃ α: ∀x, yϵR ρ(f(x),f(y))≤αρ(x,y) α

Задание 2. Является ли сжимающим отображение f(x)=x+ полупрямойв себя.|f’(c)|=|1-1/x 2 |, 1≤ ≤∞, 0≤ ≤1.1- ∈ (это отображение не сжимающее)При достаточно большом с α становится столь угодно близким к единице,поэтому отображение не сжимающее.Задание 3: (студенты решают у доски)1. Показать, что уравнение х= можно решить методомпоследовательного приближения и вычислить его корни с точностью до0,01.Решение:Необходимо доказать, что уравнение задает сжимающееотображение. По теореме Банаха:1) Отображение переводти отрезок в себя.2) Выполняется условие Липшица∃ f′(x) на≤k

1)x=f(x), f(x)= ,2)f(x) отображает в себя (рис. 3.12)0≤х≤22≤х+2≤4⊂f′(x)= =- сжимающее отображение.f( )= ,,,.Следовательно, решение .Задание 4. (самостоятельно)Показать, что уравнение 2x задает сжимающее отображение.95

Практическое занятие 4: Нормированные и евклидовы пространства.Норма и скалярное произведениеСвойства нормы1. ||x|| , причем ||x||=0, только в том случае, если x=0,2. || ,3. ||x+y|| ||x||+||y||.Задание 1. (преподаватель решает у доски)а) Доказать, что ||x|| 1 = определяет норму в пространстве R n1. ||x|| 1 = ,nnii 1 i1i12. x x x x ,n3. x y x y x y x y1 i i i i 1 1.i1ni1ni1Задание 2. (самостоятельно)Доказать, что в пространстве норма может быть также заданаформулой ||x| = max | |, 1 .Задание 3. (студенты решают у доски)a) Вычислить нормы ||x||, ||x|| 1, ||x| элементa с=(1; 0; -7; 2) впространстве ,||x||= 52 ,||x|| 1 =10,||x| =7.б) Вычислить норму элемента t 2tt1||x||= max xt max 2t t 1 2.1t21t221962 Cкалярное произведение1) (x, y) = (у, х)2) (х₁ + х₂, у) = (х₁, у) + (х₂, у)3) (λ х, у) = λ (х, у)x в пространстве С [-1;2]

4) (х, х) ≥ 0, при чем (х, х) = 0 только в случае, если х = 0.Задание 1. (преподаватель решает у доски)Вычислить скалярное произведение элементов xt t , ytпространстве С 2[1;2]1x 1.t , y tdt 2 1Задание 2. (самостоятельно)1 вtа) Вычислить скалярное произведение элементов xt t , yt sin tпространстве С 2[0;1]. вб) Вычислить скалярное произведение элементов а=(-1;0;5), b=(2;4;3) впространстве R 3 .Задание 3. Вычислить скалярное произведение элементовs 1 11 {1; ; ...}, ;...}3 9s 3 92 {0; ; в пространстве l7 4921 1 1s 1,s2 ... .7 49 697

Практическое занятие 5: Ряд Фурье по ортогональным системам.Вычисление норм линейных функционалов.Ряды Фурье- ряд Фурье,,…, – ортогональная нормированная системаЗадание 1. (преподаватель решает у доски)Для заданного элемента построить ряд Фурье по ортогональным системамуказанного пространстваа) a=(1; 2/3; 4/9; …), aєl 2,б) f x x 1,C 2[- ; ], xв) f x , C 2[- ; ] (самостоятельно) .2а) Вычислим коэффициенты Фурье заданного элемента по формуламПолучимПолучим=(f,), k=1, 2, …=1, =2/3, =4/9, ….Составим ряд Фурье элемента а=(1; 2/3; 4/9; …), aєl 2,+ +…= ==1 (1; 0; 0…)+2/3 (0; 1; 0; …)+4/9 (0; 0; 1; …)+…б) Вычислим коэффициенты Фурье заданного элемента по формулам==(f, , с 2n =241), k=1, 2, …6n21n, c 2n+1 =Составим ряд Фурье элемента f x x 1,5 16nn1,в) Ответ: 2 n1= 1n+ +…= =n1 51 n11cos nx 24 n 16n6nnsin nx.sin nx .2Ограниченный линейный функционал|f(x)|≤M||x||,M- наименьшая const = ||f|| норма,|f(x)|≤||f||||x||.98

Задание 1. (преподаватель решает у доски)Вычислить норму функционала f(x)=x(1)-2x(2), заданного впространстве .1)- в пространствеПредполагаем, что ||f||=3.||f||≤ = ; max│x(t)│=1.Выберем непрерывную функцию х(t), так чтобы, max│x(t)│=1,||f||=3 - норма функционала.Задание 2. (самостоятельно)Вычислить норму функционала f(x)= .99

Практическое занятие 6: Мера ограниченного открытого и замкнутогомножества на прямой. Измеримые функции.Замкнутые и открытые множества на прямой. Мера.Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своимзамыканием (то есть все предельные точки содержатся в этом множестве).Открытое множество это множество, которое состоит только извнутренних точек.Задание 1. (преподаватель решает у доски)Задано множество А = [0;1) . Найти его:1) Предельные точки;2) Граничные точки;3) Точки касания;4) Внутренние точки;5) Изолирование точки;Решение:1) Предельные точки [0;1];2) Граничные точки 0,1,2;3) Точки касания [0;1], 2;4) Внутренние точки (0;1);5) Изолированные точки 2;Задание № 2 (самостоятельно)Найди предельные точки следующих множеств на числовой прямой.Какие множества замкнутые, какие нет.1) R;2) ;3) Z;4) [0;1];5) (0;1);6) { , n N};100

7) R + - положительные числа;8) R - - неотрицательные числа.Задание № 3 (студенты решают у доски)Найти меру указанных множеств на прямой1. [0;2];2. [0;1] ;3. (0;2];4. (0;1) 4;5) {1} {10}( .5. [ 2;5] {3} [7;8];1 1E ; ].1 k6. k , Ek [ k k1Решение.1. m[0;2]=2;2. m([0;1] )=2;3. m(0;2]=2;4. m((0;3) 4;5) {1} {10}5. m( 2;5] {3} [7;8]( )=3.[ )=4;1 1E ; ])=1 k6. m( k , Ek [ k k1 k 11 1.k k 1Измеримые функции на прямойf(x) – измеримая на множестве Е функция, если1. Е – измеримо;2. E(f>a) – измеримо для всех действительных a.Критерий измеримости. Для того чтобы почти везде конечная функцияf(x) была измеримой на отрезке [a;b] необходимо и достаточно чтобы она былапочти везде непрерывной.Задание 1. (преподаватель решает у доски)Указать измеримые функции на заданном множестве:1. f(x)=x+1, E=[0;3];101

2. f(x)=x+1, E= [ 0; );3. f(x)=x+1, E=R;14. f(x)= ;x15. f(x)= ;xE=[0;3];E=[1;3].6. f(x)=5, E=[0;3].Решение.1. измерима,2. неизмерима, т.к. множество Е неизмеримо,3. неизмерима, т.к. множество Е неизмеримо,4. измерима,5. измерима,6. измерима.102

Практическое занятие № 7: Измеримые функции. Интеграл ЛебегаИзмеримые функции и из свойстваЗадание № 1 (преподаватель решает у доски)Доказать, что функции у=f(x), x R, измерима по Лебега на R, если:1) f(x) =Для измеримости функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы онамогла быть представлена в виде предела равномерно сходящейсяпоследовательности простых, измеримых функций.Члены рассматриваемого ряда непрерывные функции на R, поэтомуизмеримы по Лебегу.; 4>1 ряд сходится–тоже сходится, поэтому сумма ряда являетсяизмеримой по Лебегу.2) f(x)=Члены рассматриваемого ряда - непрерывные функция на R.= ;= = ;- ряд сходится, поэтому сумма рядаявляется измеримой по Лебегу.Вычисление интеграла ЛебегаЗадание № 1 (преподаватель решает у доски)Вычислить интеграл Лебега.1)sign t=103

Решение:а) сos πx>0πx ;б) сos πx < 0πxв) сos πx =0πx = -х=0 ;х>0х

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту УкраїниДонбаська державна машинобудівна академіяФакультет машинобудуванняКафедра вищої математикиМЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇдля проведення комплексного контролюз навчальної дисципліни «Функціональний аналіз»для студентів спеціальності7.04030302 «Системні науки та кібернетика(Системи і методи прийняття рішень)»Краматорськ, 2013105

4.1 Перелік питань базової частини колоквіума1. Определение подмножества2. Объединение множеств3. Пересечение множеств4. Разность множеств5. Дополнение множестваМодуль 16. Продолжить формулу7. Продолжить формулу8. Отображение одного множества в другое9. Образ элемента10. Праобраз элемента11. Счетное множество12. Какие из множеств Z, Q, R счетны?13. Пример несчетного множества14. Метрическое пространство15. Укажите какую-нибудь метрику в пространстве R16. Укажите какую-нибудь метрику в пространстве R n17. Укажите какую-нибудь метрику в пространстве C [a;b]18. Изометрия метрических пространств19. Открытый шар в метрическом пространстве20. Замкнутый шар в метрическом пространстве21. Предельная точка множества22. Замыкание множества23. Сходящаяся последовательность в метрическом пространстве24. Непрерывное отображение25. Всюду плотное множество26. Замкнутое множество106

27. Дополнить утверждение «Пересечение … числа замкнутых множествзамкнуто»28. Дополнить утверждение «Объединение … числа замкнутых множествзамкнуто»29. Внутренняя точка множества30. Открытое множество31. Дополнить утверждение «Пересечение … числа открытых множествоткрыто»32. Дополнить утверждение «Объединение … числа открытых множествоткрыто»33. Компактное множество34. Критерий компактности35. Привести два примера линейных пространств36. Линейно зависимые элементы37. Линейно независимые элементы38. Размерность линейного пространства39. Бесконечномерное пространство40. Базис линейного пространства41. Нормированное пространство42. Норма элемента в пространстве R43. Норма элемента в пространстве R n44. Норма элемента в пространстве C [a;b]45. Общая формула метризуемости пространства46. Пространство Банаха47. Скалярное произведение48. Евклидово пространство49. Норма элемента в евклидовом пространстве50. Ортогональные системы элементов51. Ортонормированные системы элементов52. Указать ортогональный базис в R n107

53. Указать ортогональный базис в пространстве C [a;b]54. Формулы коэффициентов ряда Фурье в Евклидовом пространстве55. Формула ряда Фурье в Евклидовом пространстве56. Гильбертово пространство57. Функционал58. Линейный функционал59. Пример линейного функционала в R n60. Пример линейного функционала в C [a;b]61. Норма линейного функционала62. Линейный оператор63. Единичный оператор64. Нулевой оператор65. Обратный оператор66. Собственное значение оператора67. Спектр оператора108

Модуль 21. Мера интервала (a;b)2. Мера ограниченного открытого множества3. Свойство аддитивности меры открытого множества4. Мера канторового множества G 05. Мера ограниченного замкнутого множества6. Мера отрезка [a;b]7. Мера канторового множества F 08. Свойство аддитивности меры замкнутого множества9. Два основных свойства меры ограниченного множества10. Внешняя мера ограниченного множества11. Внутренняя мера ограниченного множества12. Дополнить утверждение «Для любого ограниченного множествавыполняется m * E…m * E»13. Измеримое множество14. Мера измеримого множества15. Пример измеримого по Лебегу множества16. Пример неизмеримого по Лебегу множества17. Свойство аддитивности измеримых множеств18. Продолжить утверждение «Объединение двух измеримых множеств…»19. Продолжить утверждение «Пересечение двух измеримых множеств…»20. Продолжить утверждение «Разность двух измеримых множеств …»21. Пояснить символ E(f>a)22. Пояснить символ E(f

27. Структура измеримой функции28. Функция Дирихле29. Интеграл Лебега30. Теорема о среднем31. Интеграл Лебега от постоянной функции32. Интеграл Лебега по множеству меры нуль33. Свойство полной аддитивности интеграла Лебега34. Связь интегралов Римана и Лебега35. Суммируемая функция36. Пространство L 137. Пространство L 238. Норма элемента в L 239. Скалярное произведение в L 240. Пример ортогональной системы в L 241. Коэффициенты Фурье функции f в L 242. Ряд Фурье функции f в L 2110

4.2 Перелік питань основної частини колоквіумаМодуль 11. Понятие множества. Виды множеств. Операции над множествами.Отображения.2. Мощность множества. Счетные и несчетные множества. Примеры.3. Понятие метрического пространства. Примеры.4. Отображения метрических пространств. Класификация точекметрического пространства. Замыкание.5. Сходимость последовательности в метрическом пространстве.Непрерывность. Плотные подмножества.6. Открытые и замкнутые множества. Канторово множество.7. Компактность.8. Принцип сжимающих отображений и его применения.9. Определение и примеры линейных пространств. Линейная зависимость инезависимость.10. Линейные нормированные пространства. Примеры.11. Евклидовы пространства. Определение, примеры. Ортогональные иортонормированные системы.12. Ряд Фурье.13. Гильбертово пространство.14. Линейные функционалы. Определение, примеры. Норма функционала.15. Понятие линейного оператора. Примеры. Спектр оператора.111

Модуль 21. Мера ограниченного открытого и замкнутого множества на прямой.Свойства. Примеры.2. Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества. Измеримые поЛебегу множества.3. Измеримая функция. Примеры. Свойства.4. Построение интеграла Лебега.5. Свойства интеграла Лебега. Критерий интегрируемости по Риману.Связь интегралов Римана и Лебега.6. Пространства суммируемых функций L 1 и L 27. Ортогональные системы в L 2. . Ряд Фурье в L 2.112

4.3 Завдання для контрольної роботиМодуль 1Контрольная работа по дисциплине Контрольная работа по дисциплине«Функциональный анализ» «Функциональный анализ»модуль 1модуль 1Вариант № 1Вариант № 21. Доказать, что множестворациональных точек отрезка[0;1] счетно (5 б.)2. Найти норму элементав пространстве С [0;4] . (5 б.)3. Дать определение понятию«Внутренняяточкамножества» (10 б.)4. Доказать, что пересечениелюбого числа замкнутыхмножеств замкнуто (10 б.)1. Доказать, что множествонечетных чисел счетно. (5 б.)2. Найти норму элементав пространствеС [0;4] . (5 б.)3. Дать определение понятию«Линейно независимыеэлементы» (10 б.)4. Доказать, что объединениеконечного числа замкнутыхмножеств замкнуто (10 б.)113

Контрольная работа по дисциплине«Функциональный анализ»модуль 1Вариант № 3Контрольная работа по дисциплине«Функциональный анализ»модуль 1Вариант № 41. Доказать, что множествоцелых чисел счетно. (5 б.)2. Найти норму элементав пространстве С [0;4] . (5 б.)3. Дать определение понятию«Линейный функционал»(10 б.)4. Доказать, что пересечениеконечного числа открытыхмножеств открыто (10 б.)1. Доказать, что множествочетных чисел счетно (5 б.)2. Найти норму элементав пространствеС [0;4] . (5 б.)3. Дать определение понятию«Компактное множество»(10 б.)4. Доказать, что объединениелюбого числа открытыхмножеств открыто (10 б.)114

Модуль 2Контрольная работа по дисциплине«Функциональный анализ»модуль 2Вариант № 11. Указать измеримое множество(-2;1), [4; ). Вычислить его меру.2. Вычислить интеграл Лебега отфункции по указанному множествуf(x)=2 x , E=[0;3]3. Составить ряд Фурье для функцииf(x)=x+2 в пространстве L 2[-π;π]Контрольная работа по дисциплине«Функциональный анализ»модуль 2Вариант № 21. Указать измеримое множество(-7;1), [-1; ). Вычислить его меру.2. Вычислить интеграл Лебега отфункции по указанному множествуf(x)=x -2 , E=[1;3]3. Составить ряд Фурье для функцииf(x)=x в пространстве L 2[-π;π]Контрольная работа по дисциплине«Функциональный анализ»модуль 2Вариант № 31. Указать измеримое множество (3;5),[3; ). Вычислить его меру.2. Вычислить интеграл Лебега отфункции по указанному множествуf(x)=cosx, E=[0;π]3. Составить ряд Фурье для функцииf(x)=x+1 в пространстве L 2[-π;π]Контрольная работа по дисциплине«Функциональный анализ»модуль 2Вариант № 41. Указать измеримое множество (-1;1), [0; ). Вычислить его меру.2. Вычислить интеграл Лебега отфункции по указанному множествуf(x)=x+e x , E=[0;1]3. Составить ряд Фурье для функцииf(x)=x-1 в пространстве L 2[-π;π]115

4.4 Приклади завдань для самостійного контролю знань1. Доказать, что для любых четырех точек x,y,z метрическогопространства ( X , ) , справедливы неравенства:1) ( x, z) ( y, z) ( x, y)2) ( x, z) ( y, t) ( x, y) ( z, t)2. Доказать, что аксиомы метрического пространства эквивалентныследующим двум аксиомам:1) ( x, y) 0 x y2) ( x, z) ( y, z) ( x, y)3. Пусть ( xy , ) - метрики на множестве X. Доказать, что функции( xy , )1) 1( xy , ) (1 ( xy , ))2) ( x , y ) min ( x , y ),1являются метриками на X24. Доказать что следующие множества с заданными на них метрикамиявляются полными метрическими пространствами:a. Множество l всех ограниченных числовыхпоследовательностей удовлетворяющих условию x x , x ,... с метрикой ( x, y) sup kx k y k;b. Множество l всех числовых последовательностейудовлетворяющих x x , x ,... стремящихся к нулю, с1 2метрикой ( x, y) max kx k y kc. Множество C[ a, b ] всех непрерывных функций на отрезкеab с метрикой t[ a, b][ , ]( x, y) max x( t) y( t)5. Являются ли линейными следующие функционалы в C [0,1] ? ВL 2 [0,1] ?1 2116

a.b.1 ,F( x) x( t) sintdt0xF( x) .211F( x) x( t) sign( t ) dt02 ,12 2F( x) x( t ) t dt0 .6. Какие из следующих операторов являются непрерывными?n na. A: R R определен формулойny a , i 1, , n;i ik kk1b. A: C[0,1] C[0,1] определен формулойd : C [0,1] C [0,1];dtc.1Ax( t) x( ) d;10117

5 КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ЗНАНЬ ТА ВМІНЬ СТУДЕНТІВЗа підсумками вивчення курсу «Функціональний аналіз» студентПОВИНЕН ЗНАТИ:• основні поняття та факти теорії міри, вимірних функцій та їх властивості,теорію інтеграла Лебега та його властивості, метричні простори та неперервніфункції у метричних просторах, функціональний аналіз у метричних, лінійних,гільбертовому просторах, основні питання теорії операторів;• основні області застосування відомих понять та фактів.Студент ПОВИНЕН ВМІТИ:• досліджувати множини на вимірність, знаходити міри множин, перевірятифункції множин, чи є вони мірами;• перевіряти функції на вимірність, вміти проводити дії з вимірнимифункціями;• досліджувати послідовності вимірних функцій на збіжність;• знаходити інтеграли Рімана та Лебега від функцій на вимірних множинах;• перевіряти аксіоми метрики, норми, скалярного добутку;• перевіряти множини на замкненість та відкритість в метричних просторах;• перевіряти метричний простір на повноту;• застосовувати принцип стискаючих відображень в аналізі та алгебрі;• перевіряти оператори та функціонали на адитивність, однорідність,лінійність, обмеженість, неперервність;• ортогоналізовувати системи незалежних елементів, будувати ряди Фур'є поортогональних системах елементів;• знаходити спектр оператора.•5.1 Критерії оцінокОцінка «90 - 100» (відмінно) ставиться, якщо студент показує міцнізнання дисципліни, упевнене володіє термінологічним апаратом, вміє робитививоди і узагальнення, наводити приклади. Відповідь повинна відрізнятися118

глибиною і повнотою розкриття питань, має бути логічною і послідовною.Студент повинен упевнено володіти додатковими питаннями.Оцінка «75 - 89» (добре) ставиться, якщо студент показує міцні знаннядисципліни, упевнене володіє термінологічним апаратом, вміє робити виводи іузагальнення, наводити приклади. Але при відповіді допускаються помилки інеточності, які він самостійно може усунути після вказівки на них викладача.Оцінка «55 - 74» (задовільно) ставиться, якщо студент показує знання ірозуміння дисципліни в об'ємі, необхідному для подальшого вчення іопанування спеціальності, може відповісти на більшість поставлених питань.Відповідь відрізняється недостатньою глибиною і повнотою, недостатнімумінням давати аргументовані відповіді і наводити приклади. Допускаютьсяпомилки і неточності.Оцінка «0 - 55» (незадовільно) виставляється, якщо студент демонструєнезнання предмету, що вивчається, незнання основних питань теорії, невміннявирішувати завдання, відсутня логічність і послідовність. Допускаютьсясерйозні помилки у відповіді.5.2 Критерії переводу балів у державну оцінкуФактична кількість балів, отримана студентом переводиться в державнуоцінку за такими критеріями:А – оцінка «відмінно» (90-100 балів) виставляється за глибокі знаннянавчального матеріалу, що міститься в основних і додаткових рекомендованихлітературних джерелах, вміння аналізувати явища, які вивчаються, у їхвзаємозв’язку і розвитку, чітко, лаконічно, логічно послідовно відповідати напоставлені питання, вміння застосовувати теоретичні положення прирозв’язуванні практичних задач;ВС – оцінка «добре» (89-75 балів) виставляється за міцні знаннянавчального матеріалу, включаючи розрахунки, аргументовані відповіді на119

поставлені питання, вміння застосовувати теоретичні положення прирозв’язанні практичних задач які, однак, містять певні (несуттєві) неточності;DE – оцінка «задовільно» (60-74 балів) виставляється за посередні знаннянавчального матеріалу, мало аргументовані відповіді, слабке застосуваннятеоретичних положень при розв’язанні практичних задач;FX – оцінка «незадовільно» з можливістю повторного складання екзамену(26-59 балів) виставляється за незнання значної частини навчального матеріалу,суттєві помилки у відповідях на питання, невміння застосувати теоретичніположення при розв’язанні практичних задач;F – оцінка «незадовільно» з обов’язковим повторним вивченням модуля(навчальної дисципліни) (0-25 балів) виставляється за незнання значної частининавчального матеріалу, суттєві помилки у відповідях на питання, невмінняорієнтуватися при розв’язанні практичних задач, незнання основнихфундаментальних положень.Сумарна підсумкова оцінка, яку студент може отримати за результатамисеместрового контролю, складається з кількості балів отриманих зарезультатами поточного контролю знань під час семестру, та кількості балівотриманих під час заліку.Результати підсумкових заходів (поточного контролю та заліку)оцінюються за 100- бальною шкалою з подальшою трансформацією у державнуоцінку відповідно до нижче наведеної таблиці.За 100-бальною За державною (національною) За шкалою ECSTшкалоюшкалою90-100 балів відмінно A89-75 балів добре BC60-74 балів задовільно DE26-59 балів незадовільно (повторне складання FXзаліку)0-25 балів незадовільно (повторне вивченнядисципліни)F120