технически университет - софия дискретни логаритми и ...

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ - СОФИЯФакултет по приложна математика и информатикаКатедра “Алгебра и геометрия”Методи и алгоритми в размитото релационносмятане и приложенията имв области на изкуствения интелектЗлатко Василев ЗахариевАВТОРЕФЕРАТза присъждане на образователната и научна степен “Доктор”по научната специалност “Информатика - Изкуствен интелект”в професионално направление 4.6. “Информатика и компютърни науки”Научен ръководителПроф. дтн. инж. Кети Георгиева ПееваСофия, 2013

Дисертацията е обсъдена и допусната до защита от катедра Алгебра и геометрия,Факултет по приложна математика и информатика, Технически университет – Софияна заседание на разширен катедрен съвет, проведен на 21.10.2012 г. (протокол77/21.10.2013), завършило с предложение за откриване на процедура за официалназащита.Предложението е утвърдено с решение на ФС на ФПМИ на ТУ-София с протокол47/07.11.2013 г. и е открита процедура с код на ФПМИ 3А-НС-1-004.Дисертационният труд съдържа увод, четири глави, заключение, приноси, списъкс авторските публикации, списък с цитирания, апробация, списък с използванаталитература с 207 заглавия. С общ обем 133 страници.Защитата на дисертационния труд ще се състои на 10.03.2014 г. от 16.30 часа взала 2140 на ТУ-София на открито заседание на научно жури в състав:Председател: Проф. дтн. инж. Кети Георгиева ПееваЧленове:Акад. проф. дтн. Иван Петков ПопчевЧл. кор. проф. дмн. дтн. Красимир Тодоров АтанасовПроф. д-р Михаил Михайлов КонстантиновДоц. д-р инж. Анна Георгиева РозеваМатериалите за защитата са на разположение на интересуващите се в кабинет2228, деканат на ФПМИ, втори блок на ТУ-София, Дървеница.Дисертантът е редовен докторант към катедра “Алгебра и геометрия"на ФПМИ,ТУ-Софияc○Автор: Златко Василев ЗахариевЗаглавие: Методи и алгоритми в размитото релационно смятане и приложениятаим в области на изкуствения интелект

Глава 1. Въведение 4на Де Морган и не са в сила: законът за изключеното трето, законът за противоречието.4 Размити релации - основни понятия, операции и представяне4.1 Размита бинарна релацияРазмита бинарна релация ˜R между две непразни, неразмити множества X и Yсе нарича размито множество ˜R върху X ×Y . Множеството X ×Y се нарича базисноза съответната размита релация. По този начин µ R (x, y) ∈ [0, 1] се явява субективнамярка за степента на връзка между елементите на X и Y според релацията R. ТакаR = {((x, y), µ R (x, y))|(x, y) ∈ X ×Y, µ R : X ×Y → [0, 1]}. Когато X ≡ Y казваме, чеR е размита бинарна релация над X. В дисертацията се разглеждат само размитибинарни релации, поради което размита релация ще се използва от тук нататъквместо размита бинарна релация.Означаваме с R(X × Y ) множеството на всички размити релации върху X × Y .Размитите релации R ∈ R(X ×Y ) и S ∈ R(Y ×Z), при pr 2 (X ×Y ) = pr 1 (Y ×Z),се наричат композируеми размити релации.Тук с pr s (X 1 × ... × X n ) = X s , 1 ≤ s ≤ n се означава s-тата проекция на декартовотопроизведение X 1 × ... × X n .Представяне на композиции на размити релации чрез размити матрициВ дисертацията се използва матричен начин за представяне на размити релациивърху краен носител.Дефиниция 1. Матрицата A = (a ij ) m×n , където a ij ∈ [0, 1] за всяко i = 1, m ивсяко j = 1, n, се нарича размита матрица (или матрица от степени на принадлежност).Размита матрица-стълб се нарича размит вектор.Определенията и твърденията за размити множества се пренасят по аналогия иза размити матрици.Матрицата A −1 = (a ji ) n×m се нарича обратна на матрицата A = (a ij ) m×n .Обратната матрица A −1 се нарича още транспонирана и се отбелязва и с A t .Матриците A = (a ij ) m×p и B = (b ij ) p×n се наричат композируеми (в този ред),ако броят на стълбовете в A съвпада с броя на редовете в B.Аналогично на композициите на релации могат да се дефинират произведенияна матрици.Дефиниция 2. За композируемите матрици A = (a ij ) m×p и B = (b ij ) p×n , матрицатаC = (c ij ) m×n се нарича:1. max − min произведение на A и B (пишем C = A • B), акоc ij = p ∨k=1(a ik ∧ b kj ) за всяко i = 1, m и j = 1, n. (1.3)2. min − max произведение на A и B (пишем C = A ◦ B), акоc ij = p ∧k=1(a ik ∨ b kj ) за всяко i = 1, m и j = 1, n. (1.4)

Глава 1. Въведение 53. min − → G произведение на A и B (пишем C = A → G B), акоc ij = p ∧k=1(a ik → G b kj ) за всяко i = 1, m и j = 1, n. (1.5)4. max −ɛ произведение на A и B (пишем C = AɛB), акоc ij = p ∨k=1(a ik ɛb kj ) за всяко i = 1, m и j = 1, n. (1.6)Дефиниция 3. Матрицата ¬A = (¬a ij ) m×n с елементи ¬a ij = 1 − a ij се наричадопълнителна на A = (a ij ) m×n .Лема 1. Следните твърдения са в сила за композируемите матрици A и B итехните допълнителни: A • B = ¬(¬A ◦ ¬B); A ◦ B = ¬(¬A • ¬B); A → G B =¬(¬Aɛ¬B); AɛB = ¬(¬A → G ¬B).Дефиниция 4. Нека A = (a ij ) m×n и B = (b ij ) m×n са крайни матрици от един исъщ тип. Ще казваме, че:• A ≤ B, ако a ij ≤ b ij за всяко i, i = 1, m и всяко j, j = 1, n;• A = B, ако a ij = b ij за всяко i, i = 1, m и всяко j, j = 1, n.Теорема 1. За всяка двойка матрици A = (a ij ) m×p и B = (b ij ) m×n , ако X • означавамножеството на матриците, за които A • X = B, то:1. X • ≠ ∅ тстк A t → G B ∈ X • ;2. Ако X • ≠ ∅, то A t → G B е най-голям елемент в X • □.Теорема 2. За всяка двойка матрици A = (a ij ) m×p и B = (b ij ) m×n , ако X ◦ означавамножеството на матриците, за които A ◦ X = B, то :1. X ◦ ≠ ∅ тстк A t ɛB ∈ X ◦ ;2. Ако X ◦ ≠ ∅, то A t ɛB е най-малък елемент в X ◦ □.4.2 Права и обратна задачиОсновно внимание в размитото релационно смятане се отделя на решаването надва проблема:1. Права задача: при дадени две композируеми размити релации R и S и композиционензакон ∗ да се намери релацията R ∗ S, която е тяхна композиция.2. Обратна задача: при дадени две размити релации R и T и композиционен закон∗, да се намери неизвестната релация S (ако съществува), такава че R ∗ S = T .4.3 Алгоритми за решаване на правата задачаПри дадени композируеми матрици A = (a ij ) m×p и B = (b ij ) p×n (релации) изчисляванетона тяхното произведение A ∗ B (композиция) се нарича решаване направата задача в размитото релационно смятане.Един възможен подход за решаване на правата задача и за решаване на обратнатазадача дават Лема 1 и Теореми 1 и 2. Това е лесен и удобен начин, базиран на дуалността,за намиране на решение на задача, за която нямаме директен алгоритъм,но имаме алгоритъм за дуалната ´и задача. В основата си този метод представляванамиране на размитото допълнение на матриците A и B, решаване на задачата вдуалния ´и случай и последващо намиране на допълнението на отговора.

Глава 1. Въведение 6От гледна точка на изчислителната сложност дуалният подход е неефективен.Използването на Лема 1 повишава сложността на първоначалната задача с O(m.p+p.n + m.n).5 Размити линейни системи от уравнения и размити линейни системиот неравенства5.1 Основни понятия и видове системиРазглеждат се следните размити линейни системи (РЛС), дадени по-долу в технияразширен запис и в еквивалентния им матричен вид, където a ij ∈ [0, 1] са даденикоефициенти пред неизвестните, x j ∈ [0, 1] са неизвестни, b i ∈ [0, 1] са свободни членове,i = 1, m, j = 1, n. С A = (a ij ) m×n означаваме матрицата от коефициентите, сB = (b i ) m×1 стълб на свободните членове и с X = (x j ) n×1 стълб на неизвестните.1. max − min размита линейна система от уравнения:∣(a 11 ∧ x 1 ) ∨ (a 12 ∧ x 2 ) ∨ . . . ∨ (a 1n ∧ x n ) = b 1(a 21 ∧ x 1 ) ∨ (a 22 ∧ x 2 ) ∨ . . . ∨ (a 2n ∧ x n ) = b 2. . .⇔ A • X = B (1.7)(a m1 ∧ x 1 ) ∨ (a m2 ∧ x 2 ) ∨ . . . ∨ (a mn ∧ x n ) = b m2. max − min размита линейна система от ≤ неравенства:(a 11 ∧ x 1 ) ∨ (a 12 ∧ x 2 ) ∨ . . . ∨ (a 1n ∧ x n ) ≤ b 1(a 21 ∧ x 1 ) ∨ (a 22 ∧ x 2 ) ∨ . . . ∨ (a 2n ∧ x n ) ≤ b 2⇔ A • X ≤ B (1.8). . .∣ (a m1 ∧ x 1 ) ∨ (a m2 ∧ x 2 ) ∨ . . . ∨ (a mn ∧ x n ) ≤ b m3. max − min размита линейна система от ≥ неравенства:(a 11 ∧ x 1 ) ∨ (a 12 ∧ x 2 ) ∨ . . . ∨ (a 1n ∧ x n ) ≥ b 1(a 21 ∧ x 1 ) ∨ (a 22 ∧ x 2 ) ∨ . . . ∨ (a 2n ∧ x n ) ≥ b 2⇔ A • X ≥ B (1.9). . .∣ (a m1 ∧ x 1 ) ∨ (a m2 ∧ x 2 ) ∨ . . . ∨ (a mn ∧ x n ) ≥ b m4. min − max размита линейна система от уравнения:(a 11 ∨ x 1 ) ∧ (a 12 ∨ x 2 ) ∧ . . . ∧ (a 1n ∨ x n ) = b 1(a 21 ∨ x 1 ) ∧ (a 22 ∨ x 2 ) ∧ . . . ∧ (a 2n ∨ x n ) = b 2. . .∣ (a m1 ∨ x 1 ) ∧ (a m2 ∨ x 2 ) ∧ . . . ∧ (a mn ∨ x n ) = b m⇔ A ◦ X = B (1.10)5. min − max размита линейна система от ≤ неравенства:(a 11 ∨ x 1 ) ∧ (a 12 ∨ x 2 ) ∧ . . . ∧ (a 1n ∨ x n ) ≤ b 1(a 21 ∨ x 1 ) ∧ (a 22 ∨ x 2 ) ∧ . . . ∧ (a 2n ∨ x n ) ≤ b 2⇔ A ◦ X ≤ B (1.11). . .∣ (a m1 ∨ x 1 ) ∧ (a m2 ∨ x 2 ) ∧ . . . ∧ (a mn ∨ x n ) ≤ b m

Глава 1. Въведение 76. min − max размита линейна система от ≥ неравенства:(a 11 ∨ x 1 ) ∧ (a 12 ∨ x 2 ) ∧ . . . ∧ (a 1n ∨ x n ) ≥ b 1(a 21 ∨ x 1 ) ∧ (a 22 ∨ x 2 ) ∧ . . . ∧ (a 2n ∨ x n ) ≥ b 2⇔ A ◦ X ≥ B (1.12). . .∣ (a m1 ∨ x 1 ) ∧ (a m2 ∨ x 2 ) ∧ . . . ∧ (a mn ∨ x n ) ≥ b mЗа удобство ще въведем и следното означение, за коя да е система (1.7)-(1.12):A ∗ X⊥B (1.13)Дефиниция 5. Системата (1.7) - (1.9) се нарича нормализирана по отношение надясната страна, ако b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b m . Системата (1.10) - (1.12) се нарича нормализиранапо отношение на дясната страна, ако b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b m .Без загуба на общността, в изложението от тук нататък, се предполага, че системата(1.13) е нормализирана, дори в случаите, когато това не е необходимо.Решаване на системата (1.13) спрямо неизвестния вектор X се нарича решаванена обратната задача на РЛСУ или РЛСН.Видове решения на (1.13)Вектор X 0 = (x 0 j ) 1×n, където x 0 j ∈ [0, 1], j = 1, n, се нарича решение на системата(1.13), ако е изпълнено A ∗ X 0 ⊥B. Множеството на всички решения на системата(1.13) се нарича пълно множество на решенията и се бележи с X 0 . Ако X 0 ≠ ∅системата се нарича съвместима, в противен случай е несъвместима.Вектор Xlow 0 ∈ X0 се нарича долно решение, ако за всяко X 0 ∈ X 0 от неравенствотоX 0 ≤ Xlow 0 следва X0 = Xlow 0 .Вектор Xu 0 ∈ X 0 се нарича горно решение, ако за всяко X 0 ∈ X 0 от неравенствотоXu 0 ≤ X 0 следва X 0 = Xu.0Ако горното решение е единствено, то се бележи с ˆX и се нарича най-голямоили максимално. Ако долното решение е единствено, то се бележи с ˇX и се наричанай-малко или минимално.(X 1 , ..., X n ), където X j ⊆ [0, 1] се нарича интервално решение, ако за всяко X 0 =(x 0 j ) n×1, при x 0 j ∈ X j, j = 1, n е в сила: X 0 = (x 0 j ) n×1 ∈ X 0 . Интервално решениена max − min система, чиито компоненти са определени отляво - от долно решениеи отдясно - от максимално решение се нарича максимално интервално решение.Интервално решение на min − max система, чиито компоненти са определени отляво- от минимално решение и отдясно - от горно решение също се нарича максималноинтервално решение.Винаги, когато множеството от решения на системата (1.7) е непразно, тази системаима единствено максимално решение и множество долни решения, които напълнохарактеризират пълното множество от решения:Винаги, когато множеството от решения на системата (1.10) е непразно, тазисистема има единствено минимално решение и множество горни решения, коитонапълно характеризират пълното множество от решения:

Глава 1. Въведение 8Фигура 1.1: Множество от решенията на РЛСУ при max-min композицияФигура 1.2: Множество от решенията на РЛСУ при min-max композицияНе е трудно да се види, че когато системата (1.13) е съвместима, е в сила:• Системата (1.8) има единствено долно решение, което е Xlow 0 = (x0 j ) = 0, j =1, n.• Максималното решение на системата (1.9) винаги е ˆX = (ˆx j ) = 1 , j = 1, n.• Минималното решение на системата (1.11) винаги е ˇX = (ˇx j ) = 0 , j = 1, n.• Системата (1.12) има единствено горно решение, което е Xu 0 = (x 0 j ) = 1, j = 1, n.5.2 Методи и алгоритми за решаване на обратната задача при max-minкомпозиция и анализ на сложността имЗа удобство ще въведем следното означение за коя да е система (1.7)-(1.9):A • X⊥B (1.14)За да се намерят всички решения на съвместимата система (1.14), е необходимо идостатъчно да се намерят максималното и всичките ´и долни решения.Теорема 3. Ако системата A • X = B е съвместима и X 1 , X 2 ∈ X 0 са нейнирешения, такива че X 1 ≤ ˜X ≤ X 2 , то ˜X ∈ X 0 □Класически подход за намиране на максималното решениеКласическият подход за решаване на (1.7) и (1.8) се базира на Теорема 1.Ако системата е съвместима, нейното максимално решение е ˆX = (ˆx j ) = A t → GB. ˆX винаги може да бъде изчислено. Ако системата не е съвместима, тогава A• ˆX ≠B.Тъй като за системата (1.9), евентуалното максимално решение е ˆX = (ˆx j ) =1, j = 1, n за да се установи съвместимост, трябва да се провери дали ˆX е нейнорешение.

Глава 1. Въведение 9Системата (1.8) винаги е съвместима. Нейното минимално решение е ˇX = (0).Изчислителната сложност на този алгоритъм е O(3.m.n). Нов, по-ефективен алгоритъме предложен в 2.2.1 от автора.Намиране на всички долни решенияНамирането на всички долни решения за системата (1.14) по същество е значителнопо-сложна задача, както от алгоритмична, така и от изчислителна гледна точка.В последните години на тази задача се отделя голямо внимание и се предлагат различниметоди, като те често са неясни, объркващи и/или тежки за алгоритмизация,липсват софтуерни продукти, които да реализират тези алгоритми.В Глава 2 е представен нов метод и алгоритъм за намиране на всички долнирешения на системата (1.14). Представеният в Глава 3 софтуерен пакет е базиранна новия алгоритъм, като сравнение във времето за решаване на примерни задачив двата съществуващи софтуерни пакета е направено в Глава 4.5.3 Дуална задача. Алгоритми за решаване на обратната задача приmin-max композицияЗа удобство ще въведем следното означение за коя да е система (1.10)-(1.12):A ◦ X⊥B (1.15)За да се намерят всички решения на съвместимата система (1.15), е необходимо идостатъчно да се намерят минималното и всичките ´и горни решения.Лема 1 може да бъде използвана за решаване на обратната задача, така кактосе използва за решаване на правата в 1.4.3. Тъй като според Лема 1 max − min иmin − max композициите са взаимно дуални, за решаването на система (1.15) могатда се приложат методите и алгоритмите за решаване на (1.14) от Глава 1.5.2.Класически подход за намиране на минималното решениеКласическият подход за решаване на (1.10) и (1.12) се базира на Теорема 2:Алгоритъм за намиране на всички горни решения на (1.15) е представен в 2. Тойе базиран на на алгоритъма от 2.2.2.Решаване на (1.15) чрез дуализацияКакто и при правата задача, за да се използват алгоритмите за решаване на(1.14) при min − max композиция, на матриците A и B трябва да се намерят съответнитеим допълнителни матрици. След това системата се решава като max − minи получените решения след инвертиране дават решенията на min − max системата.Също така при системи с неравенства посоката на неравенствата се обръща.Методът на дуализация дава един изключително прост алгоритъм за намираневсички решения на системата (1.15), след като има методи и алгоритми за системата(1.14). Този алгоритъм обаче има същия проблем, който има и решаването направата задача чрез дуализация, а именно: за да се реши системата (1.15) трябва

да се направят допълнителни стъпки, които като цяло забавят алгоритъма. Проблемътпри обратната задача обаче не е толкова осезаем, тъй като подготвителнатастъпка (намирането на допълнителните матрици) е със сложност от по-нисък порядъкот сложността на самата задача (намиране на всички решения). Въпреки това,забавянето на алгоритъма може да се окаже осезаемо за системи, които имат малъкброй горни решения или когато се налага решаването на голям брой малки системи.Поради това използването на метода на дуализация, като цяло не се препоръчва.Конкретно за системата (1.15) създаването на алгоритми, които да не използватпринципа на дуализация, се оказва относително лесна задача при условие, че вечеимаме разработени алгоритми за решаване на (1.14) поради аналогията между тях.6 ИзводиГлава 1 има уводен и аналитично-обзорен характер. Приносите тук имат научени научно-приложен характер. Резултатите са в областта на размитото релационносмятане. Нейната цел е да се въведат основните понятия необходими за изложениетов следващите глави и да се опишат основните съществуващи методи за решаване наРЛС. Основните авторски претенции са както следва:1. Направен е кратък аналитичен обзор и сравнителен анализ на съществуващитеметоди за решаване на основни задачи в размитото релационно смятане.2. Систематизирани са най-известните от литературата методи и алгоритми зарешаване на: правата задача и на обратната задача при max-min и min-maxкомпозиция.3. Посочени са незадоволително или непълно решените проблеми при размитилинейни системи уравнения, размити линейни системи неравенства и при опититеза софтуерното им решение, като е очертана необходимост от съвременнаметодология, алгоритми и софтуер за правата и обратната задачи.4. Отбелязано е, че в литературата съществува един софтуерен пакет за решаванена правата и на обратната задача в размитото релационно смятане и възможносттатой да бъде значително обогатен и подобрен.Глава 2Решаване на размити линейни системи отуравнения и неравенстваВ тази глава са представени разработените от автора методи и алгоритми зарешаване на РЛС. Разгледани са всички системи (1.7) - (1.12) и за тях са предложенипълни решения на обратната задача.Разработени са алгоритми за намиране на максималното решение на системите(1.7) и (1.8) и за намиране на минималното решение на системите (1.10) и (1.12),които са значително по-ефективни от съществуващите в литературата алгоритми.10

Глава 2. Решаване на размити линейни системи (РЛС) 11Разработени са ефективни алгоритми за намиране на всички долни решения насистемите (1.7) и (1.9) и всички горни решения на системите (1.10) и (1.11).Всички представени в тази глава алгоритми са разработени с оглед опростяванекакто от гледна точка на изчислителна и пространствена сложност, така и от гледнаточка на софтуерна реализация. В Глава 4 е представен и софтуерен пакет, койтоги реализира. Освен дадените в тази глава анализи на пространствената и изчислителнасложност на представените алгоритми, в Глава 4 са показани примери, и едадено времето за им изпълнение.Резултати на автора по тази глава са публикувани в [7].1 Нормализиране на размити линейни системиВсички разглеждани тук алгоритми предполагат, че системата A ∗ X⊥B е нормализирана(Дефиниция 5 от Глава 1). В литературата обикновено не се споменавакакъв метод за нормализация може да се използва, като това интуитивно предполага,че за нормализиране на A ∗ X⊥B е необходимо да се пренаредят матриците Aи B (когато това е необходимо). Това е задача с пространствена и времева сложностO(m.n).Тук е избран и в Глава 4 е реализиран значително по-бърз метод, като за понижаванена изчислителната и пространствената сложност на алгоритмите, вместо дасе пренарежда цялата система, се използва вектор-указател (map(b)), който указвапермутацията на уравненията в A ∗ X⊥B. Използването на map(b) е аналогично напренареждане на цялата система, но за неговото образуване е необходимо единственода се пренареди векторът B.Във всички дадени по-надолу алгоритми, когато се казва, че обхождаме всичкиредове на системата A ∗ X⊥B, се има предвид, че обхождането на редовете ставапо реда дефиниран във вектора map(b).2 Решаване на размити линейни системи при max-min композиция2.1 Проверка за съвместимост и намиране на максималното решениеДефиниция 6. За системата (1.13) a ij се нарича S-тип коефициент, ако a ij < b i ;E-тип коефициент, ако a ij = b i ; G-тип коефициент, ако a ij > b i ; H-тип коефициент,ако a ij ≥ b i .Представеният тук алгоритъм използва свойството, че за системата A • X = Bстойността на неизвестното ˆx j може да бъде намерена като се разглежда само j тиястълб от матрицата A. При разглеждането на j тия стълб на A, за всяко i = 1, m серазграничават три случая:• Ако a ij е E-тип коефициент, тогава i тото уравнение може да бъде удовлетвореноза x j ∈ [b i , 1], защото тогава a ij ∧ x j = b i ∧ x j = b i .• Ако a ij е G-тип коефициент, тогава i тото уравнение може да бъде удовлетвореносамо за x j = b i , защото тогава a ij ∧ x j = a ij ∧ b i = b i .• Ако a ij е S-тип коефициент, тогава i тото уравнение не може да бъде удовлетвореноот a ij ∧ x j , за никое x j ∈ [0, 1] и този коефициент не се разглежда.За всяко j = 1, n, ˆb j се дефинира по следния начин:

Глава 2. Решаване на размити линейни системи (РЛС) 12ˆbj ={ minmi=1 {b i }, ако a ij > b i1, в противен случай(2.1)Теорема 4. Системата A • X = B е съвместима тстк ˆX = (ˆb j ), където ˆb j есъгласно (2.1), е нейно решение. □Теорема 5. Системата A • X ≤ B винаги е съвместима. Тя има нулевото решениеˇX = 0 за (единствено) долно решение и ˆX = (ˆb j ), където ˆb j е съгласно (2.1),за (единствено) горно решение. □Следствие 1. Ако за една съвместима система A • X = B или A • X ≤ B смаксимално решение ˆX = (ˆx j ) кое да е ˆx j се замени с ˆx j > ˆx j , то полученотоˆX = (ˆx j ) не е решение на A • X = B, респективно на A • X ≤ B. □Следствие 2. В съвместима система A•X = B или A•X ≤ B, за всяко j = 1, n,най-голямата възможна стойност за x j е ˆb j . □От тук нататък означаваме с ˆX = (ˆx j ) вектор-стълб, за който ˆx j = ˆb j , j = 1, n,ˆbj е съгласно (2.1).Следствие 3. Ако системата A • X = B или A • X ≤ B е съвместима, нейнотомаксимално решение е ˆX = (ˆx j ) = (ˆb j ), j = 1, n. □Следствие 4. За всяка съвместима система A•X = B или A•X ≤ B формулитеˆX = (ˆx j ) = (ˆb j ) и ˆX = A t → G B са еквивалентни. □Съгласно Теорема 4 и нейните следствия, ако системата A•X = B е съвместима,тогава ˆX е нейното максимално решение. Това е и първата основна разлика междудосега съществуващите алгоритми и представения в дисертацията. В съществуващитедо сега алгоритми, съвместимостта на системата (1.7) се проверява като сезамести X = ˆX = A t → G B в (1.7). Ако е в сила, че A • (A t → G B) = B, систематае съвместима, иначе е несъвместима. Алгоритъмът, представен в дисертацията, имазначително по-малки както времевата, така и пространствената сложност в сравнениес досега съществуващите алгоритми, като това се дължи основно на Теорема4 и нейните следствия, които доказват, че не е необходимо заместването на ˆX всистемата, за да се провери съвместимостта ´и. По този начин времевата и пространственатасложност на алгоритъма (както и на следващите алгоритми) ставане повече от O(m.n) за намиране на евентуалното максимално решение и не повечеот O(n) за проверка за съвместимост. За сравнение при досега използвания влитературата алгоритъм, изчислителната сложност е O(3.m.n).Решаването на система (1.8) не е изследвано алгоритмично в литературата, ноблагодарение на Теорема 5 и нейните следствия, такъв алгоритъм се получава лесно.На практика единствената разлика с предишния случай е, възможността отделнитеуравнения да се удовлетворяват и чрез S-тип коефициенти, като системата винагие съвместима.Тъй като за система от вида (1.9), евентуалното максимално решение винаги еˆX = (ˆx j ) = 1 , j = 1, n, то трябва единствено да се провери дали наистина е решениепо подобен на в представените досега алгоритми начин.

Глава 2. Решаване на размити линейни системи (РЛС) 132.2 Намиране на всички долни решенияЗа намирането на всички долни решения на A • X⊥B е важно да се отбележи,че всяко от уравненията в системата може да се удовлетвори само чрез H-тип коефициент.Ако X low е кое да е долно решение на (1.14), то на компонентите му X lowjсе присвоява стойност 0 или b j . Следвайки казаното до тук, представеният в тазиглава на дисертацията алгоритъм се базира на намирането на H-тип коефициентиa ij в A. Когато намерения H-тип коефициент допринася за решаване на системата,на X lowj се присвоява стойността на съответното b j , ако не допринася, на X lowj сеприсвоява 0.Също така, от разглежданите тук системи се изключва системата (1.8), тъй катотя винаги има единствено долно решение ˇX = (ˇx j ) = 0, j = 1, n.Методът и алгоритъмът са базирани на идеята за матрица на доминиране, в комбинацияс техники за манипулация на списъци. Също така се използва и множествоот вектори ( ˜H), описани по-долу, за елиминиране на безперспективните H-тип коефициенти.След получаването на ˜H, се прилага нов метод за получаване на долнитерешения от него.ДоминиранеДефиниция 7. Нека a l и a k са съответно l тото и k тото уравнения в (1.14) и некаb l ≥ b k . Тогава a l се нарича max − min доминиращо на a k и a k се нарича max − minдоминирано от a l , ако за всяко j = 1, n е в сила: ако a lj е H-тип коефициент то a kjсъщо е H-тип коефициент.Намиране на долните решенияАлгоритмите, представени в литературата, за намиране на долните решения насистемите (1.7) и (1.9) са с експоненциална времева сложност. Алгоритъмът предложентук също е с експоненциална времева сложност, но от по нисък порядък. Освентова, той значително намалява времето за изпълнение на всяка от стъпките.За системите A • X = B или A • X ≥ B получаваме матрица à = (ã ij), катосе премахнат от матрицата A (или от вектора map(B)) всички доминирани редове.à запазва всички свойства на матрицата A по отношение на долните решения. Вдисертацията е даден ефективен алгоритъм за получаване на Ã.В следващите алгоритми за получаване на долните решения се използва матрицатаÃ.Извличането на долните решения чрез алгоритмите, представени в дисертацията,се основава на следния прост принцип. Ако в j тия стълб на à има един или повечередове (i ∗ ), такива че коефициентите ã i∗ j са H-тип, тогава на x j се присвоявастойността на b i∗ и редът i ∗ се премахва от à (или от map(B). Същата процедурасе прилага за (j + 1) вия стълб на редуцираната матрица Ã, докато j стане равнона n. Този принцип се прилага с използването на списъци в алгоритъм даден вдисертацията.

Глава 2. Решаване на размити линейни системи (РЛС) 14H-позициониращи векториИзползването на матрицата A, копирането и триенето на редове от нея, можеда се замени с по-ефективна структура от данни, която укорява извършването натези операции, намалява пространствената сложност на алгоритъма и е по-удобназа софтуерни реализации.В следващите дадени в дисертацията алгоритми вместо матрицата A се използвамножество H от така наречените H-позициониращи вектори, въведени по-долу.Дефиниция 8. Вектор H i , чиито елементи са номерата j ∈ {1, ..., n} (подредени внарастващ ред) на елементите в i тия ред на A, такива че a ij са H-тип коефициенти,се нарича H-позициониращ вектор.Дефиниция 9. Нека H l и H k са два H-позициониращи вектора за системата (1.14)и нека b l ≥ b k . Тогава H l се нарича max − min доминиращ на H k и H k се наричаmax − min доминиран от H l , ако всяко h l , което е компонента от вектора H l , е икомпонента от вектора H k .Означаваме с H множеството на всички H-позициониращи вектори за даденасистема.Очевидно е, че на всеки доминиран H-позициониращ вектор съответства доминиранред в A и обратно. Доминираните вектори могат да бъдат изтрити от H тъйкато те не носят информация за решението на системата. В резултат се получавамножество ˜H, в което липсват доминирани вектори.Означаваме в ˜H = (˜h ij ) ⊆ H множеството от всички H-позициониращи вектори,в което няма доминирани вектори. В дисертацията е даден алгоритъм за намиранена ˜H.Намиране на долните решения с помощта на H-позициониращи векториВ основата си алгоритъмът за намиране на долните решения на системите (1.7)и (1.9) остава същия, независимо дали се използва матрицата Ã или се използватH-позициониращи вектори.2.3 Изчислителна и пространствена сложност на алгоритмитеРешаването на обратната задача е проблем с експоненциална времева сложност,когато системата е съвместима. Сложността зависи от броя на долните ´и решения.Когато системата не е съвместима, изчислителната сложност на алгоритъма е отпо-нисък клас.Нормализиране на система от вида A ∗ X⊥B (1.13)За нормализиране на системата е необходимо да се пренареди единствено вектораB m×1 . Това е класическа задача, за която се използва т.нар. алгоритъм quicksort.Най-общо казано изчислителната му сложност обикновено е O(m. log m), като имаи най-лош случай, в който изчислителната му сложност е O(m 2 ). Пространственатаму сложност е O(log m). За сравнение софтуерният продукт в литературатапренарежда цялата система (матрицата A и матрицата B), като по този начин изчислителнатаи пространствената му сложност стават O(n.m 2 ).

Глава 2. Решаване на размити линейни системи (РЛС) 15Намиране на горното решение на система от вида А•X = B или A•X ≤ BНамирането на ˆX за системи от вида А • X = B или A • X ≤ B зависи предивсичко от съвместимостта на системата.• Най-лошият случай е, когато системата е несъвместима. При този случай алгоритъмъттрябва да премине през всичките елементи на матрицата A и по тозиначин времевата сложност на алгоритъма става O(m.n). Разбира се, при тозислучай търсенето на долните решения губи смисъл и от гледна точка на пълнорешаване на обратната задача, това е най-бързият случай.• Има няколко най-добри случая за намиране на максималното решение, когатосистемата е съвместима. Всички те са с еднаква сложност. Например един отнай-добрите случаи е, когато системата има G-тип коефициенти на целия първиред и E-тип коефициенти на целия първи стълб (като за a 11 няма значение далие G-тип или E-тип). В този случай изчислителната сложност на алгоритъма еO(m + n). Тъй като трябва да се пази само максималното решение и INDвектора, пространствената му сложност е O(m + n).Намиране на всички долни решения за система от вида А • X = B илиA • X ≥ BНай-сложната и трудоемка част при решаване на обратната задача е намиранетона всички долни решения. Тази задача е с експоненциална времева сложност.Изчислителната сложност на тази част зависи както от броя на недоминиранитеH-позициониращи вектори, така и от броя на коефициентите във всеки H-позициониращ вектор. От Дефиниция 9 следва, че за система с n неизвестни иm уравнения, максималният брой на недоминираните H-позициониращи вектори епо-малък или равен на 2 n − 1. Като най-добър случай тук може да се посочи случаят,когато множеството от недоминирани H-позициониращи вектори, се състои отединствен елемент с единствен коефициент в него.3 Дуална задача. Решаване на размити линейни системи при min-maxкомпозиция.В този параграф се разглеждат системите A ◦ X = B, A ◦ X ≤ B и A ◦ X ≥ B, закоито в 1.5.3 се въведе и общото означение: A ◦ X⊥B. Предложени са аналогичнона досега представените методи и алгоритми за проверка за съвместимост на систематаA ◦ X⊥B, за намиране на минимално ´и решение и всичките ´и горни решения.Доказана е следната теорема:Теорема 6. Системата A ◦ X ≥ B е винаги съвместима, тя има единственомаксимално решение ˆX = (ˆx j ) = 1 и единствено минимално решение ˇX = (ˇb j ).Направен е анализ на сложността на представените алгоритми и са полученисъответните оценки.

4 ИзводиПолучените резултати в Глава 2 имат научен и научно-приложен характер. Разработениса нови методи и алгоритми за решаване на обратната задача при РЛСУи РЛСН при max − min и min − max композиция.Изказани са 1 теоремa и 2 следствия. Дадени са 16 алгоритъма.Основните авторски претенции са както следва:1. Разработен е аналитичен метод за решаване на обратната задача както приРЛСУ, така и при РЛСН при max − min и min − max композиция.2. Получени са аналитични изрази за изчисляване на максималното решение насистемите (1.7), (1.8), (1.9) и за изчисляване на минималното решение на системите(1.10), (1.11), (1.12).3. Предложени са позициониращи вектори и операции за обработка на списъци, врезултат на което е подобрено времето за получаване на пълното множество отрешенията на РЛСУ и РЛСН.4. Предложен е нов подход за нормализиране на РЛС, който намалява изчислителнатасложност на задачата.5. Изказаните теореми и следствия обосновават нови алгоритми за решаване наобратната задача при РЛСУ и РЛСН при max − min и min − max композиция.Софтуерната им реализация е обект на Глава 4.6. Изследвана е пространствената и времевата сложност на всички разглежданиалгоритми.Глава 3Приложения на представените методи иалгоритмиВ тази глава са разгледани четири приложения на РЛС. Въз основа на методитеи алгоритмите, представени в предишната глава, са решени някои проблеми отобласти на изкуствения интелект.Първото разгледано приложение е проблемът за установяване на линейна зависимости линейна независимост между размити вектори. Този по същество математическипроблем е базисен за две области от сферата изкуствения интелект –размити крайни автомати и системи за размит извод. Резултатите са публикувани вдве статии в трудове на международна конференция [1] и в Годишник на ТУ-София[6].Второто разгледано приложение е намирането на матрица на поведение на размитикрайни автомати (РКА), както и установяване на различни видове еквивалентност,редукция и минимизация на размити крайни автомати. Това са откритипроблеми от областта на изкуствения интелект, които за последните петдесет годинине са решени. Резултатите са публикувани в една статия [2] в международнотосписание “Information Sciences” и имат 15 цитирания.16

Глава 3. Приложения на представените методи и алгоритми 17Следващият решен проблем е проблемът за размита оптимизация (РО) на линейнацелева функция при РЛС като ограничение. Това също е област с прякоотношение към автоматизацията и вземането на решения, по който в последнитегодини се работи активно. Резултатите са публикувани като статия в международнаконференция на IEEE, наградена с II място за най-добър студентски доклад [3].И накрая е дадено приложение на представените в предишната глава методи иалгоритми в логически системи за размит извод (СРИ). Резултатите са публикуванив статия в годишника на ТУ-София [6].1 Линейна зависимост и линейна независимост1.1 Основни понятияВектор V = (v i ) m×1 , чиито компоненти v i ∈ [0, 1], i = 1, m, се нарича размитвектор. С V m се отбелязва множеството от всички размити вектори с m компоненти.Израз от вида (λ 1 ∧ V 1 ) ∨ (λ 2 ∧ V 2 ) ∨ ... ∨ (λ n ∧ V n ), където V i ∈ V m , i = 1, n иλ 1 , ..., λ n ∈ [0, 1] се нарича max − min линейна комбинация на размитите векториV i ∈ V m , i = 1, n с коефициенти λ 1 , ..., λ n .Израз от вида (λ 1 ∨ V 1 ) ∧ (λ 2 ∨ V 2 ) ∧ ... ∧ (λ n ∨ V n ), където V i ∈ V m , i = 1, n иλ 1 , ..., λ n ∈ [0, 1] се нарича min − max линейна комбинация на размитите векториV i ∈ V m , i = 1, n с коефициенти λ 1 , ..., λ n .Разглеждаме система от вектори A = {V 1 , ..., V n }, V i ∈ V m , i = 1, m. В задачите,които решаваме, тези вектори е удобно да се запишат като последователни стълбовена матрица A = (a ij ) m×n .Изчисляването на линейна комбинация при дадени вектори А = {V 1 , ..., V n } идадени коефициенти Λ = (λ 1 , ..., λ m ), λ 1 , ..., λ m ∈ [0, 1] се свежда до умножение наматрицата А и вектора Λ при съответната композиция.Дефиниция 10. Размит вектор B ∈ V m се нарича max − min (респективно min − max)линейна комбинация на размитите вектори от системата A = {V 1 , ..., V n }, ако съществувавектор X = (x j ) n×1 , такъв че A • X = B (респективно A ◦ X = B).Дефиниция 11. Системата вектори A се нарича max − min (респективно min − max)линейно зависима, ако някой от векторите от A = {V 1 , ..., V n } може да се представикато max − min (респективно min − max) линейна комбинация на останалите.В противен случай векторите от системата A се наричат max − min (респективноmin − max) линейно независими.1.2 Методи и алгоритми за установяване на линейна комбинацияЗа да се реализира проверка дали вектор B е линейна комбинация на векторите отсистемата A при max − min (респективно min − max) композиция се решава РЛСУспрямо Λ: A • Λ = B (репспективно A ◦ Λ = B). Ако това е изпълнено, решениетоΛ е вектор с коефициентите на съответната линейна комбинация. За да се установидали i ти вектор от A е линейна комбинация на останалите, i ти стълб от A записвамекато стълб B на свободните членове и го изключваме от A.

Глава 3. Приложения на представените методи и алгоритми 181.3 Методи и алгоритми за установяване на линейна зависимост и независимостАлгоритмите от предишната глава могат успешно да се прилагат за установяванена линейна зависимост съответно при max − min и при min − max композиция.В тази глава са представени:• Алгоритми базирани на класическия подход (при max − min и min − max композиции).• Алгоритъм А по Cechlárová и Plávka (при max − min композиция).• Разработена от автора модификация на Алгоритъм А за min − max композиция.• Разработен от автора (в съавторство) Mодифициран алгоритъм А (при max − minи max − min композиции).• Алгоритми базирани на алгоритмите за решаване на РЛСУ представени в предишнатаглава (при max − min и min − max композиции).1.4 Изчислителна и пространствена сложност на алгоритмитеИзчислителната сложност на алгоритмите базирани на класическия подход еO(3.m.n 2 ). Пространствената им сложност е O(2.m.n).Изчислителната сложност на Алгоритъм А е O(m.n.(2+2.n)). Пространственатаму сложност е O(2.m.n + n 2 ).Модифицираният Алгоритъм А не променя пространствената сложност на АлгоритъмА, но изчислителна намалява, като при Модифицирания Алгоритъм А тяе O(m.n.(2 + n)).При алгоритмите, базирани на алгоритмите представени в предишната глава сеобразуват най-добър и най-лош случай за изчислителна сложност, като тя се получавамежду O(m.n 2 ) и O((m + n).n). Пространствената им сложност е О(2.m.n).2 Размити крайни автомати2.1 Обзор и анализ на състоянието на проблемитеРазмитите крайни автомати (РКА) са въведени от Santos и първоначално саизследвани от него. През периода 1968-2000 към тази научна област има малъкинтерес. В последно време интересът към РКА силно е повишен. Множество авторидопринасят за развиване на алгебричния подход и въвеждат различни видове РКАвърху подходящи алгебрични структури с разширение за размити езици.Още с въвеждането на РКА, Santos поставя въпросите за еквивалентност, редукцияи минимизация на max-min РКА. Несъмнено редукцията и минимизацията наРКА са едни от основните и най-интересните в тази област. Публикуваните трудовезасягат теория и алгоритми за еквивалентност, редукция и минимизация на РКА.В нито една публикация не се представя метод и софтуер за намиране на матрицана поведение, проверка за еквивалентност на състояния, за намиране на еквивалентнисъстояния, за намиране на редуцирана и минимална форма на РКА. Основнатрудност за решаването на тези въпроси при РКА е липсата на теория, методи иалгоритми за установяване на линейна зависимост и линейна независимост на размитивектори и за решаване на размити линейни системи уравнения. Разработените

Глава 3. Приложения на представените методи и алгоритми 19тук алгоритми позволяват решаване на тези проблеми при max − min и min − maxРКА.На базата на представените в предишните глави методи и алгоритми за РРС, втази глава е представен нов метод за намиране поведение, намиране на еквивалентнисъстояния, редукция и минимизация на max − min и min − max РКА. Въз основана него са разработени нови алгоритми и съответния софтуер за решаване на тезидо сега нерешени проблеми в теория на РКА. Резултати на автора (в съавторство)са публикувани в списание Information Sciences (Impact Factor for 2010: 2.833) [2].2.2 Основни понятияДефиниция 12. Размит краен автомат (РКА) върху размита алгебра I е четворкатаA = (X, Q, Y, M), където X, Q, Y са непразни крайни множества съответно отвходни букви, състояния и изходни букви, M = {M(x|y)|M(x|y) = (m qq ′(x|y)), x ∈X, y ∈ Y, q, q ′ ∈ Q, m qq ′(x|y) ∈ [0, 1])} е множеството на квадратните матрици напрехода от едно състояние в друго според входно-изходната двойка букви, определящапостъпковото поведение на A. Всяка матрица М ∈ M е квадратна матрицаот ред |Q|.В Дефиниция 12 с (x|y) се отбелязва двойката (x, y) ∈ X × Y за да се наблегне,че x ∈ X е входна буква, а y ∈ Y изходната. С m qq ′(x|y) се означава степента напринадлежност за РКА да влезе в състояние q ′ ∈ Q и да изведе буква y ∈ Y акотекущото състояние е q ∈ Q, а входящата буква е x ∈ X.2.3 Матрица на поведениеВходно-изходно поведение на РКАw = x i1 , ..., x ik , където x ij ∈ X, i j = 1, k, наричаме дума върху X с дължинаk ≥ 1, k ∈ N. Означаваме с e празната дума с дължина 0. Всички думи върху X ипразната дума образуват свободен моноид.Матриците от множеството M описват поведението на A за една стъпка илиза думи с дължина равна на единица. По-интересен проблем са матрици, коитода описват поведението на A за думи с дължина по-голяма от едно (за няколкопоследователни стъпки).Свободният моноид на думите върху множеството на входните букви X (съответновърху множеството на изходните букви Y) означаваме с X ∗ (съответно с Y ∗ ).Неутрален елемент е празната дума e. Ако X ≠ ∅ (съответно Y ≠ ∅) тогава X ∗ (съответноY ∗ ) е изброимо безкрайно множество. Дължината на думата u се отбелязвас |u|. По дефиниция |e| = 0. Очевидно |u| ∈ N за всяка дума u ≠ e.За u ∈ X ∗ и за v ∈ Y ∗ , ако |u| = |v| пишем (u|v) ∈ (X|Y ) ∗ за да го различавамеот (u, v) ∈ (X ∗ × Y ∗ ). С (X|Y ) ∗ се означава множеството на всички входно-изходнидвойки от думи с еднаква дължина: (X|Y ) ∗ = (u|v)|u ∈ X ∗ , v ∈ Y ∗ , |u| = |v|.Дефиниция 13. Нека A = (X, Q, Y, M) е РКА върху размитата алгебра I.За всяко (u|v) ∈ (X|Y ) ∗ входно-изходното поведение на A при max − min композициясе определя от квадратна матрица M(u|v) от ред |Q|:

Глава 3. Приложения на представените методи и алгоритми 20{ M(x1 |yM(u|v) =1 ) • ... • M(x k |y k ), ако (u|v) = (x 1 ...x k |y 1 ...y k ), k ≥ 1U, ако (u|v) = (e|e),където U = (δ ij ) е квадратна матрица от ред |Q| с елементи δ ij ={ 1, ако i = j,0, ако i ≠ j.Аналогично се определя входно-изходното поведение на A при min − max РКА.Елементите m qq ′(u|v) на M(u|v) означават степента на принадлежност A да попаднев състояние q ′ ∈ Q и да изведе дума v ∈ Y ∗ след |u| = |v| последователнистъпки, ако е била подадена входна дума u ∈ X ∗ и началното състояние на A е билоq ∈ Q.Пълно входно-изходно поведение на РКААко разглеждаме РКА като черна кутия, тогава не се интересуваме от следващотосъстояние q ′ . В този случай поведението на A може да се опише чрез матрицистълбовеозначени с T (u|v) |Q|×1 . При max − min композиция T (u|v) |Q|×1 са дефиниранипо следния начин:{ M(u|v) • E, ако (u|v) ≠ (e|e);T (u|v) |Q|×1 = (t q (u|v)) =E, ако (u|v) = (e|e),където E |Q|×1 е матрица-стълб с елементи равни на едно.Всеки елемент t q (u|v) от T (u|v) определя степента на принадлежност A да изведедума v ∈ Y ∗ след |u| = |v| последователни стъпки, ако е била подадена входна думаu ∈ X ∗ и началното състояние на A е било q ∈ Q (т.е. независимо от крайнотосъстояние).Например при max − min РКА, t q (u|v) =∨ (m qq ′(u|v)) е максималната степенq′ ∈Qна принадлежност на това A да изведе дума v при начално състояние q и входнадума u.Ако X ≠ ∅ и Y ≠ ∅ тогава X ∗ и Y ∗ са изброими безкрайни множества и (X|Y ) ∗е лексикографически подредено. Тази наредба индуцира наредба в множеството T Aот векторите на поведение на А: T A = {(T (u|v)) : (u|v) ∈ (X|Y ) ∗ }.Пълното входно-изходно поведение на A се отбелязва с T A . T A е полубезкрайнаматрица с n = |Q| реда и стълбове T (u|v), (u|v) ∈ (X|Y ) ∗ , която е лексикографическиподредена.Входно-изходно поведение на РКАЗа всеки РКА A, матрицата T A е полубезкрайна - тя има краен брой редове(броя на състоянията Q), но безкраен брой стълбове. Поради това определянето наеквивалентни състояния, както и редукция и минимизация на РКА не може да сенаправи с матрицата T A - необходимо е от T A да се извлече подходяща крайна матрицана поведение, която да запазва всички свойства на автомата и да е подходящаза установяване на еквивалентност, за намирате на редуциран и минимален автомат.В литературата е установено, че при max − min и при min − max РКА такаваматрица съществува. Сега тази матрица може да се получи алгоритмично и софтуерно,понеже можем да решаваме РЛСУ и да установяваме линейна зависимост наразмити вектори.

Глава 3. Приложения на представените методи и алгоритми 21В тази глава е представен алгоритъм за получаване на подходяща крайна подматрицаB A (наречена матрица на поведение) от матрицата T A . Матрицата B A запазвавсички свойства на T A , но позволява решаване на задачи за еквивалентност,редукция и минимизация на A. За получаването на B A се използва алгоритъмътза проверка за линейна зависимост от Глава 3.1. Матрицата B A съдържа всичкилинейно независими стълбове от матрицата T A .Означаваме с T (i) крайната подматрица на T A , която съдържа колоните T (u|v)за думи с дължина не по-голяма от i, i ∈ N (N е множеството на естественитечисла). B(i) е подматрица на T (i) получена след отстраняване на всички стълбовеот T (i), които са линейна комбинация на предхождащите ги стълбове. Получаванетона B(i) от T (i) е възможно благодарение на алгоритмите от Глава 3.1 и на софтуераот Глава 4.За матриците C и D, пишем C ⊆ D ако всеки стълб от C е и стълб от D. Аковсеки стълб от D е линейна комбинация на стълбовете от C, пишем D ∼ = C.Дефиниция 14. Матрицата B A получена чрез отстраняване на всички стълбовеот T A , които са линейна комбинация на прехождащите ги, се нарича матрица наповедение за A.Теорема 7. 1. Съществува k ∈ N, за което T (k) ∼ = T (k + 1) и B(k) = B A .2. Ако T (k) ∼ = T (k + 1), тогава: T (k) ∼ = T (k + p) ∼ = ... ∼ = T A за всяко p = 1, ... иB(k) = B(k + p) = ... = B A за всяко p = 1, ....3. B A∼ = TA .□В литературата е доказано, че матрицата на поведение B A е крайна. В дисертационниятруд са разработени, а следващата глава и софтуерно са реализирани алгоритмиза получаване на матрицата на поведение (B A ) за max − min и за min − maxРКА A = (X, Q, Y, M).2.4 Еквивалентност на състояния. Редукция и минимизацияНека е даден РКА A = (X, Q, Y, M). Състоянията q i ∈ Q и q j ∈ Q се наричатеквивалентни, ако входно-изходното поведение на A когато започне с начално състояниеq i е същото, както когато започне с начално състояние q j . Както е доказанов литературата, това означава, че i тия и j тия редове в T A (в B A ) са еднакви. Определянетона еквивалентни състояния от T A (респективно в B A ) не може да стане, тъйкато тя е полубезкрайна. За да се определят еквивалентните състояние в A, първотрябва да се получи матрицата B A и след това да се намерят еднаквите редове внея.Дефиниция 15. РКА A = (X, Q, Y, M) не е в редуцирана форма, ако има еквивалентнисъстояния в Q.Дефиниция 16. РКА A = (X, Q, Y, M) не е в минимална форма, ако входноизходнотоповедение на A когато започва с начално състояние q i е същото, кактокогато започва с начално разпределение върху състоянията, което го прави линейнакомбинация на останалите състояния Q (Q \ q 1 ).

Глава 3. Приложения на представените методи и алгоритми 22В дисертацията са предложени методи за намиране матрицата на поведение, установяванееквивалентност на състояния, намиране на редуциран и минимален автомат,както и софтуерната им реализация.3 Размита оптимизация3.1 Постановка на задачатаРазглежда се максимизиране или минимизиране на целева функция Z с класическитеоперации събиране и умножение: Z = ∑ nj=1 c j.x j , c j ∈ R, x j ∈ [0, 1], j = 1, n,записана във вида Z = (c 1 , c 2 , ..., c n ), където Z = (c 1 , c 2 , ..., c n ) е вектор от коефициентитена целевата функция, x j (j = 1, n), се определят от ограничителнитеуравнения. Ограниченията са от вида (1.13).Ясно е, че алгоритмите за РО пряко зависят от алгоритмите за решаване наРЛСУ и РЛСН, тъй като основната трудност в РО е решаването на системата отограничения. Поради тази причина алгоритмите за решаване на задачи от РО садиректно свързани с алгоритмите за решаване на РЛСУ и РЛСН.Алгоритмите се основават на търсене на оптимално решение измежду всичкиекстремални решения на избраното ограничително условие. Резултати на автора(в съавторство) са докладвани на четвъртата международна конференция на тема“Интелигентни системи”, IEEE 08.2008, където докладът печели II място за найдобърстудентски доклад [3].3.2 Алгоритми за размита оптимизацияЗа решаването на задачата целевата функция Z се разделя на две функцииZ ′ и Z ′′ , като се отделят неотрицателните и отрицателните събираеми в Z. Такакоефициентите от вектора Z се разделят на два вектора Z ′ = (c ′ 1, c ′ 2, ..., c ′ n) иZ ′′ = (c ′′1, c ′′2, ..., c ′′ n) за които: c ′ j = {cj , ако c j ≥ 00, ако c j < 0 , и c′′ j = { 0, ако cj ≥ 0c j , ако c j < 0 .Минимизиране (максимизиране) на целевата функцияАко задачата е да се минимизира (максимизиране) целевата функция, минимизирането(максимизирането) на Z се свежда до минимизирането (максимизирането)на Z ′ = ∑ nj=1 c′ j .x j и Z ′′ = ∑ nj=1 c′′ j .x j със система за ограничения (1.13). Очевидное, че Z достига своя минимум (максимум) когато Z ′ и Z ′′ достигнат своитеминимуми (максимуми).Тъй като компонентите c ′ j , j = 1, n са неотрицателни, Z′ достига своя минимум(максимум) при някое X low (X gr ), избрано измежду долните (горните) решения на(1.13) или при ˇX ( ˆX) ако то е единственото минимално (максимално) решение. Компонентитеc ′′j , j = 1, n са отрицателни, за това Z′′ достига своя минимум (максимум)при някое X gr (X low ), избрано измежду горните (долните) решения на (1.13) илипри ˆX ( ˇX) ако то е единствено максимално решение.

Глава 3. Приложения на представените методи и алгоритми 234 Системи за размит извод4.1 Основни понятияВ тази глава е показан метод за представяне на системи за размит извод (СРИ), вкоито намират съществено приложение РЛСУ. Разгледани са и някои произхождащиот това представяне ограничения, както и възможни начини за преодоляванетоим.Системите за размит извод (РИ) са една от най-популярните области в РМ, катов тази глава те са представени в най-общ аспект, необходим за представения тукалгоритъм. СРИ и техните приложения са обект на голям интерес.В най-общ аспект процеса на размит извод се разделя на пет стъпки: въвежданена необходимите данни, размиване на данните, извличане на размит извод, агреграцияна изходните данни, деразмиване на решението.Най-често РИ се реализира чрез система от (“If-Then”) правила. Всяко правиловсъщност представлява размита релация между размити променливи или междуразмити множества. Тази релация може да бъде представена чрез размито линейноуравнение. По този начин система от размити правила може да се представи чрезсистема от размити линейни уравнения.4.2 Размит извод и размити линейни системи уравненияПредставеният в тази глава метод има някои ограничения. Поддържа се самоедна изходна променлива и само една изходна стойност за всяко правило. Въпрекитова, се поддържат множество входни променливи. Всяко (“If-Then”) правило можеда има само “или” връзка между всичките си размити стойности.СРИ се представя с размита система A • X = B с (“If-Then”) правила чрезmax − min композиция. Системата от (“If-Then”) правила се представя чрез матрицатаA: всеки стълб на A съответства на една стойност на входна променлива отСРИ. По този начин ако СРИ има две входни променливи, всяка от които с по тривъзможни стойности, матрицата A ще има 6 стълба. Матрицата A има толкова наброй редове, колкото са (“If-Then”) правилата в СРИ. На всеки ред се отбелязва с 1стълба, за който съответната входна променлива участва в правилото за извод.За дадена СРИ, за която r е броя на всички (“If-Then”) правила и v е броя на всичкивъзможни стойности за всички { входни променливи. Всеки елемент на матрицата1, ako jA има следната стойност: a ij =тата стойност участва в i тото правило,0, в противен случайкъдето i = 1, r, j = 1, v. Матрицата X представя входните данни. Преди записванев X входните данни се размиват. Векторът X има v компоненти, а входът засистемата е представен чрез вектора X v×1 . Матрицата B представя изходната променлива.Изходните данни се получават от B след деразмиване. Векторът B има rкомпоненти, а изходът за системата е представен чрез B r×1

Глава 3. Приложения на представените методи и алгоритми 24Решаване на правата задачаМax-min композицията на A и X е еквивалентна на изчисляване изходните даннина СРИ при подадени входни данни.След деразмиване на изходните данни сеполучава и крайният резултат от работата на СРИ.Решаване на обратната задачаРешаването на системата (1.7) е значително по-интересна задача, която може дабъде решена чрез алгоритмите дадени в Глава 2. От гледна точна на СРИ товаозначава да се намерят всички допустими входни данни за СРИ, когато е даденасистемата и нейния изход (или да се докаже, че даден изход не може да се получипри какъвто и да е вход за дадената СРИ). Подобен подход може да бъде полезенпри диагностициране, тестване на модел за размит извод, настройване на правилатаму, намаляване на техния брой чрез отстраняване на излишните правила и т.н.Практически даден изход на една СРИ може да се получи по различни начини,които се дават от пълното решение на системата (1.7).5 ИзводиПриносите в Глава 3 имат научен и научно-приложен характер. Разработени саметоди и алгоритми за намиране на линейна комбинация за установяване на линейназависимост или линейна независимост, където е приложен апаратът на обратнатазадача от Глава 2, а за min − max композиция е разработен и алгоритъм основаващсе на принципа заложен в Алгоритъм A; решаване на размити оптимизационни задачи,където е приложен апаратът на обратната задача от Глава 2; алгоритмическиса решени открити проблеми при размити крайни автомати - намиране на поведение,установяване еквивалентност на състояния, редукция и минимизация, където еприложен апаратът на обратната задача от Глава 2. Тези проблеми стоят нерешенив теория на размитите автомати от създаването й [Sanchez, 1965] досега.Обосновани и разработени са 11 нови за областта алгоритъма. Софтуерната имреализация е описана в Глава 4.Резултатите имат научен и научно-приложен характер, изразяващ се в следното:1. Разработен е алгоритъм за намиране на линейна комбинация при min − maxкомпозиция.2. Разработен е метод за намиране на линейна комбинация, за установяване налинейна зависимост или линейна независимост на размити вектори. Предложениса алгоритми за решаване на тези задачи. Изследвана е пространственатаи времева сложност на алгоритмите за линейна зависимост и независимост, установеное, че алгоритмите са с полиномиална времева сложност.3. Доразвити са алгоритми в теория на размити крайни автомати, засягащи намиранена поведение, състояния, редукция и минимизация. Предложени са алгоритмиза извличане на крайна матрица на поведение, конструиране на редуцирани минимален размит краен автомат.

4. Обосновани и предложени са алгоритми за решаване на оптимизационни задачипри размити ограничения - РЛСУ и РЛСН.5. Отбелязани са приложения при верификация на модели, в модули на експертнасистема, като конкретно е описан модел за размит извод с (“If-Then”) правила сприлагане на правата и обратна задачи и е дадена една негова интерпретация.Глава 4Софтуерен пакет за размито релационносмятане (FC 2 ore)В тази глава е разгледан софтуерен пакет, разработен от автора, който реализирапредставените в Глава 2 и Глава 3 алгоритми. Дадено е подробно описание на възможноститена пакета и на начина му на употреба. Дадени са също така и примери,илюстриращи начина на работа и съответните резултати при решаване на различнизадачи.Този пакет е едва вторият съществуващ пакет за реализация на алгоритми зарешаване на РЛС, като благодарение на реализираните в него алгоритми, той езначително по ефективен и по-пълен от другия наличен в литературата.Пакетът е качен в MATLAB Central през 2010 година. Поради ограничения встатистиките за брой изтегляния на MATLAB Central, точен брой изтегляния напакета от тогава до сега не може да бъде даден, но към днешна дата има поне 10изтегляния всеки месец.1 Възможности на пакетаFC 2 ore е софтуер, разработен в среда на MATLAB, предназначен да решава разнообразнипроблеми от областта на размитото релационно смятане. Поддържат сесамо дискретни операции. Пакетът използва възможностите на MATLAB 2008R(или по-нов) за обектно ориентирано програмиране (ООП), което го прави изключителногъвкав по отношение на разширяване на възможностите му. Нови операции,алгебри и дори задачи, които не са част от него, могат да се добавят относителнолесно и бързо.Една от основните цели на пакета е да бъде колкото се може по-лесен за използване,дори от потребители, които нямат задълбочени знания и умения в теориятана размитото релационно смятане.FC 2 ore е предназначен да се използва чрез командната конзола на MATLAB иликато API за разработка на други приложения и не предоставя графичен интерфейс.Въпреки това, разработката на графичен интерфейс е относително лесно осъществимопри необходимост.Благодарение на ООП подхода пакетът лесно може да бъде вграден в другиприложения или да бъде използван от такива. Класовете от пакета могат лесно дабъдат разширявани или агрегирани от външно MATLAB приложение.FC 2 ore е безплатен, отворен и се разпространява се под BSD лиценз.25

Глава 4. Софтуерен пакет за размито релационно смятане ((FC 2 ore) 26Основните възможности на пакета са: работа с размити матрици и вектори -решаване на правата задача, решаване на РЛСУ и РЛСН, установяване на линейназависимост и независимост, решаване на размити оптимизационни задачи, намиранена матрицата на поведение на размит краен автомат, еквивалентност, редукция иминимизация.FC 2 ore е изграден от четири основни класа (Фигура 1) и малък брой помощнифункции. Във всеки от класовете е разработена функционалността, необходима заоперациите, съответстващи на името му.Фигура 4.1: Структура на FC 2 oreОсновната функционалност за работа с размити матрици и вектори е в класаfuzzyMatrix, който е сърцевината на пакета. Класът fuzzySystem реализира функционалност,свързана с решаването на РЛСУ и РЛСН. Системите се задават чрезобекти от клас fuzzyMatrix и използват неговата функционалност.Другите два класа: fuzzyMachine и fuzzyOptimizationP roblem реализират двеважни приложения на функционалността от fuzzyMatrix и fuzzySystem.2 ИзводиГлава 4 има приложен характер.Задачите от размитото релационно смятане освен сложен алгоритмичен проблемсе явяват и трудоемки за решаване, дори когато вече има разработени добри методии алгоритми за тях. Ето защо създаването и свободното предлагане на софтуер зарешаването на тези задачи е изключително важно за тяхното практическо прилагане.Освен описаният тук софтуерен пакет, съществува само още един, който сезанимава с решаване на обратната задача в размитото релационно смятане.Представения тук пакет, освен решаване на обратната задача при две композициидава и софтуерен апарат за решаване на някои задачи от приложения на РЛС.Освен това софтуерният пакет оставя удобен за използване API, като по-този начинрешаването на други приложения или разширяването на основната функционалностна пакета е максимално улеснено.

Описаните качества на предложения софтуер, го правят едно уникално (към моментана написване на този дисертационен труд) решение за размито релационносмятане, като амбициите са този пакет да бъде разширен с още операции и композиции;още приложения; графичен потребителски интерфейс; интеграция с Fuzzy logictoolbox на MATLAB; разширяване на всички възможности на пакета до възможностза работа и с интуиционистки размити множества.ЗаключениеПолучените резултати могат да се разглеждат като основополагащи за една новаобласт на изследвания – създаване на единна теория, както и предлагане на алгоритмии софтуер за решаване на обратната задача при разнообразие от композиции,касаещи t-норми и t-конорми, a именно: алгебрично произведение, вероятностна сума,max −product, min −probabilistic sum и т.н., които остават открити за цялостноизследване и изграждане на съответния апарат.Научни, научно-приложни и приложниприносиОсновният принос на този дисертационен труд е в разработката на метод, алгоритмии софтуер за решаването на обратна задача както за РЛСУ, така и за РЛСНпри max − min и min − max композиции.В дисертационния труд, в съответствие с поставената цел, са решени посоченитезадачи в размитото релационно смятане и са разработени техни приложения. Резултатитеот творческите изследвания, научните, научно-приложните и приложнитеприноси се обобщават по следния начин.Научни приноси:1. Систематизирани са съществуващите методи и алгоритми в размито релационносмятане при max − min и min − max композиция за решаване на правата ина обратната задачи.2. Предложен е нов метод за решаване на обратната задача при max − min иmin − max композиция. В тази връзка са направени подобрения на съществуващирезултати и са установени нови както следва: получени са нови аналитичниизрази за намиране на екстремалните решения на РЛСУ и РЛСН; предложене нов критерий за установяване съвместимост или несъвместимост на РЛСУ иРЛСН; въведено е понятието позициониращ вектор; дефинирано е доминиранена позициониращи вектори; въведена e обработка на списъци за получаванена минималните (максималните) решения.3. Предложен е нов подход за нормализиране на РЛС, който намалява изчислителнатасложност на проблема.4. Изследвани са пространствената и времева сложност на предложените алгоритми.5. Доказани са 1 теорема и 2 следствия.27

Научно-приложни приноси:1. Предложен е по-кратък алгоритъм за пренареждане на уравненията в систематаи привеждането ´и в нормализиран вид, с който се намалява изчислителнатасложност на проблема.2. Предложена е нова структура данни.3. Предложен е нов алгоритъм за установяване съвместимост или несъвместимостна РЛСУ и РЛСН.4. Предложени са алгоритми за едновременно установяване на съвместимост инамиране на съответното екстремално решение на РЛСУ и РЛСН.5. Предложени са алгоритми за намиране матрицата на поведение, установяванееквивалентност на състояния, редукция и минимизация на РКА.6. Предложени са алгоритми за линейна оптимизация на целева функция приограничения - РЛСУ или РЛСН.7. Предложени са по-кратки алгоритми за установяване на max − min и min − maxлинейна зависимост и независимост; за съвместимост и най-голямо решение наmax − min РЛСУ; за съвместимост и най-малко решение на min − max РЛСУ;за намиране на всички долни решения на max − min РЛСУ; за намиране навсички горни решения на min − max РЛСУ.8. Авторски претенции върху алгоритми: 16 за РЛСУ; 4 за линейна зависимост инезависимост; 3 за матрица на поведение на max − min или min − max РКА; 2за линейна оптимизация при РЛСУ или РЛСН като ограничения.Приложни приноси:Софтуерно е реализиран и внедрен в MATLAB Central пакет за размито релационносмятане, чрез който се решават:• РЛСУ при max − min и min − max композиция.• РЛСН при max − min и min − max композиция.• Оптимизационни задачи при ограничения - РЛСУ при max − min и min − maxкомпозиция или РЛСН при max − min и min − max композиция.• Задачи за поведение, еквивалентност, редукция и минимизация на max − min иmin − max РКА, не са известни никакви софтуерни решения на този проблемдосега в света.• Линейна зависимост и линейна независимост на размити вектори.Представения в Глава 4 пакет, освен решаване на обратната задача при max − minи min − max композиции, дава и софтуерен апарат за решаване на някои задачи отприложения на РЛС. Освен това софтуерният пакет предоставя удобен за използванеAPI, като по този начин решаването на други приложения или разширяванетона основната функционалност на пакета е максимално улеснено.Описаните качества на предложения софтуер го правят едно уникално (към моментана написване на този дисертационен труд) решение за размито релационносмятане, като амбициите са този пакет да бъде разширен с: още операции и композиции;още приложения; графичен потребителски интерфейс; интеграция с Fuzzy logic28

toolbox на MATLAB; разширяване на всички възможности на пакета до възможностза работа и с интуиционистки размити множества.Публикации на автора по дисертацията1. K. Peeva, Z. Zahariev, Software for testing linear dependence in Fuzzy Algebra,Second International Scientific Conference Computer Science, September 2005,Chalkidiki, Greece, part I, pp. 294-299, 2005, ISBN 954 438 526 6.2. K. Peeva, Z. Zahariev, Computing Behavior of Finite Fuzzy Machines - Algorithmand its Application to Reduction and Minimization, Information Sciences (ImpactFactor for 2010: 2.833), vol. 178(2008), issue 21, pp. 4152-4165, 2008, DOI 10.1016/j.ins.2008.07.009.3. K. Peeva, Z. Zahariev, I. Atanasov, Software for optimization of linear objectivefunction with fuzzy relational constraint, Fourth International IEEE Conference onIntelligent Systems, Sept. 2008, Varna, Vol. 3 (2008), pp. 18-14—18-19, ISBN 978-I-4244-1739, наградена с II място за най-добър студентски доклад.4. Z. Zahariev, Solving Max-min Relational Equations. Software and Applications,in Proceedings of 34 rd International Conference “Applications of Mathematics inEngineering and Economics (AMEE’08)”, AIP Conference Proceedings, vol. 1067,G. Venkov, R. Kovatcheva, V. Pasheva (eds.), American Institute of Physics, ISBN978-0-7354-0750-9, 516-523, 2008.5. Z. Zahariev, Software package and API in MATLAB for working with fuzzy algebras,in Proceedings of 35 th International Conference “Applications of Mathematics inEngineering and Economics (AMEE’09)”, AIP Conference Proceedings, vol. 1184,G. Venkov, R. Kovatcheva, V. Pasheva (eds.), American Institute of Physics, ISBN978-0-7354-0750-9, 434-350, 2009.6. Z. Zahariev, Fuzzy reasoning through fuzzy linear systems of equations, “Proceedingsof the Techical University - Sofia”, Volume 60, book 3, 58-66, 2010, ISSN 1311-0829.7. Z. Zahariev, Solving max-min fuzzy linear systems of equations, Part 6 Annual of“Informatics” Section Union of Scientists in Bulgaria Volume 6, 2013, 14 pages.Цитирания1. K. Peeva, Z. Zahariev, Computing Behavior of Finite Fuzzy Machines - Algorithmand its Application to Reduction and Minimization, Information Sciences (ImpactFactor for 2010: 2.833) 178, 4152-4165, 2008.Цитирания в монографии:(а) S. Ji, Molecular mechanisms: From enzymes to evolution in Molecular theoryof the living cell: concepts, molecular mechanisms, and biomedical applications,Excerpts, Springer, New York, 2012.Цитирания в статии:(а) M. Ciric, J. Ignjatovic, I. Jancic, N. Damljanovic, Algorithms forcomputing the greatest simulations and bisimulations between fuzzy automata,CoRR abs/ 1103.5078, 2011.29

Цитирания 30(б) M. Ciric, J. Ignjatovic, I. Jancic, N. Damljanovic, Computation of thegreatest simulations and bisimulations between fuzzy automata, Fuzzy Sets andSystems, Volume 208, 1 December 2012, Pages 22-42, ISSN 0165-0114, doi:10.1016 / j.fss.2012.05.006.(в) M. Ciric, J. Ignjatovic, N. Damljanovic, M. Basic, Bisimulations forfuzzy automata, Fuzzy Sets and Systems, Volume 186, Issue 1, 1 January 2012,Pages 100-139, ISSN 0165-0114, doi: 10.1016 / j.fss.2011.07.003.(г) X. Feng, F. Lau, H. Yu, Behavioral modeling with the new bio-inspiredcoordination generalized molecule model algorithm, Information Sciences,Available online 13 December 2011(д) J. Ignjatovic, M, Ciric, S. Bogdanovic, On the greatest solutions to weaklylinear systems of fuzzy relation inequalities and equations, Fuzzy Sets andSystems, Volume 161, Issue 24, 16 December 2010, Pages 3081-3113, ISSN 0165-0114,(е) J. Ignjatovic, M, Ciric, Weakly linear systems of fuzzy relation inequalitiesand their applications: A brief survey, Filomat, 26(2), 1-35, 2012.(ж) J. Ignjatovic, M, Ciric, V. Simovic, Fuzzy relation equations and subsystemsof fuzzy transition systems, Knowledge-Based Systems, Volume 38, January2013, Pages 48-61, ISSN 0950-7051, doi: 10.1016 / j.knosys.2012.02.008.(з) Jin, J., Li, Q., Li, Y., Algebraic properties of L-fuzzy finite automata,Information Sciences, Volume 234, 10 June 2013, Pages 182-202, ISSN 0020-0255,doi: 10.1016 / j.ins.2013.01.018.(и) Shu, C., Wang, Y., Mo, Z.-W., A new classification of lattice finite automataand their minimizations based on L-fuzzy strings , Advanced Science Letters,Volume 19, Number 9, September 2013 , pp. 2791-2799(9), dpi: 10.1166/asl.2013.5017, ISSN 1936-6612.(к) A. Stamenkovic, M. Ciric, Construction of fuzzy automata from fuzzy regularexpressions, Fuzzy Sets and Systems, Volume 199, 16 July 2012, Pages 1-27,ISSN 0165-0114, http://dx.doi.org/10.1016/j.fss.2012.01.007.(л) S.-T. Ung, W.-M. Shen, A Novel Human Error Probability Assessment UsingFuzzy Modeling, Risk Analysis, 31, 745–757, doi: 10.1111/j.1539-6924.2010.01536.x, 2011.(м) L. Wu, D. Qiu, Automata theory based on complete residuated lattice-valuedlogic: Reduction and minimization, Fuzzy Sets and Systems, Volume 161, Issue12, 16 June 2010, Pages 1635-1656, ISSN 0165-0114, doi: 10.1016/j.fss.2009.12.011.Цитирания в дисертации:(а) N. Damljanovic, Visevrednosne relacije nad mrezama i poluprstenima: Teorijai primene, Nis, 2012 (на Сръбски)2. Z. Zahariev, Software package and API in MATLAB for working with fuzzy algebras,International Conference “Applications of Mathematics in Engineering and Economics(AMEE’09)”, AIP Conference Proceedings, vol. 1184, G. Venkov, R. Kovatcheva, V.

Pasheva (eds.), American Institute of Physics, ISBN 978-0-7354-0750-9, 434-350,2009.Цитирания в монографии:(а) K. Peeva, Fuzzy Relational Equations – from Theory to Software and Applications,Rudolf Seising, Enric Trillas, Claudio Moraga,Settimo Termini (eds.): Chapter36 in book On Fuzziness, A Homage to Lotfi A. Zadeh, (Studies in Fuzzinessand Soft Computing Vol. 216), Berlin, New York, [et al.]: pp. 297-304, Springer2012.Апробация на резултатитеИзследванията, свързани с резултатите в дисертационния труд са проведени врамките на научно-изследователски проекти както следва:1. № 431-нк/2004 г.; Поведение на размити крайни автомати – разработване натеория и на софтуер;2. № 564ни-10/2005 г.; Разработване на модули от приложен софтуер за размитосмятане и приложения;3. № 743-ни-10/2006 г.; Разработване на модули от софтуер за max-product размитосмятане и приложения в модули за обучение;4. № 091НИ081-11/2009 г.; Линейни оптимизационни задачи при размити релационниограничения-теория и софтуер;Основните резултати на настоящия дисертационен труд са докладвани и обсъжданина конференции, както следва:• Second International Scientific Conference Computer Science, September 2005,Chalkidiki, Greece• Fourth International IEEE Conference on Intelligent Systems, Sept. 2008, Varna,Bulgaria. Грамота за втора най-добра студентска презентация.• 35 th International Conference “Applications of Mathematics in Engineering andEconomics (AMEE’09)”, Sozopol, Bulgaria. Грамота за най-добра презентация.Внедряване• http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27046-fuzzy-calculus-corefc2ore.AnnotationPresented PhD thesis is focused on theory, methods and algorithms for fuzzy relationalcalculus problems. It studies two types of fuzzy linear system of equations and four typesof fuzzy linear systems of inequalities. It has four main chapters where: the existingtheory, methods and algorithms are overviewed and the existing problems are revealed(Chapter 1); new methods and algorithms are developed and presented (Chapter 2);applications of the developed algorithms are presented (Chapter 3); software package forsolving all the presented problems and for implementing all the presented applications isdeveloped (Chapter 4).31