Analisi Decisionale

Analisi Decisionale 4MINMAX REGRETSi sceglie la decisione che minimizza la massima perdita diopportunitàLa perdita di opportunità della decisione D i se si avvera lo stato S j è:R i = maxj=1,...,n r ijr ij = max {a hj} − a ijhmassima perdita della decisione D isi sceglie D k : R k = min i{R i }Livello della DomandaModello Basso Medio AltoA 200.000 350.000 600.000B 250.000 350.000 540.000C 300.000 375.000 490.000Tabella delle perdite di opportunità r ijLivello della DomandaModello Basso Medio Alto R iA 100.000 25.000 0 100.000B 50.000 25.000 60.000 60.000 ⇐ R kC 0 0 110.000 110.000Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 6Criterio di HurwiczCompromesso tra criteri di ottimismo e pessimismoSi sceglie la decisione che massimizza una combinazione convessadel massimo e del minimoSi introduce un parametro α ∈ [0, 1]: coefficiente di pessimismoPer ogni decisione D i si calcola il valore:h i (α) = α min{a ij } + (1 − α) max{a ij }jjsi sceglie D k (α) : h k (α) = max{h i (α)}iLivello della DomandaModello Basso Medio Alto h i (0.5) h i (0.8)A 200.000 350.000 600.000 400.000 280.000B 250.000 350.000 540.000 395.000 308.000C 300.000 375.000 490.000 395.000 338.000Si pone il problema della scelta di α• tipicamente si assume un atteggiamento “pessimista”, cioèun α prossimo a 1• si può compiere una analisi di sensitività della alternativaottima al variare di αNota: l’analisi di sensitività può portare ad escludere alcunealternative; ciò accade, nell’esempio, per la decisione B, datoche D k (α) ≠ B per ogni α ∈ [0, 1].Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 7“Minore inadeguatezza” del criterio di HurwiczStato di naturaAzioni S 1 S 2 S 3 M i m i R i h i (0.5)D 1 110 2 2 110 2 103 56D 2 100 100 50 100 50 10 75D 3 101 96 43 101 43 9 72D 4 100 105 45 105 45 10 75D 5 51 51 51 51 51 59 51Il metodo ha comunque difetti:• considera solo i casi “estremi”• potrebbe escludere alternative “stabili” a vantaggiodi alternative più “dispersive”Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 9Valore atteso della perdita di opportunità (regret)Expected Opportunity Loss (EOL)Si sceglie la decisione che minimizza la perdita mediaER i = n ∑j=1r ij p jvalore atteso del regret della D isi sceglie D k : ER k = min i{ER i }Livello della DomandaBasso Medio AltoModello 0.1 0.5 0.4 ER iA 100.000 25.000 0 22.500 ⇐ ER kB 50.000 25.000 60.000 41.500C 0 0 110.000 44.000Si dimostra che EMV e EOL sono criteri equivalentia ∗ j =maxh=1,...,m {a hj}payoff della decisione ottima per lo stato S jP ∗ = n ∑j=1a ∗ jp jcostante dipendente solo dai dati del problemaEOL = min{ER i } = minii= min i= n ∑n ∑⎛j=1⎜n∑⎝j=1r ij p j = min ia ∗ jp j − n ∑j=1n ∑j=1(a ∗ j − a ij )p j⎞⎟a ij p j ⎠a ∗ jp j + min{−EV i }j=1i= P ∗ − max i {EV i } = P ∗ − EMVNell’esempio: P ∗ = 300.000 ∗ 0.1 + 375.000 ∗ 0.5 + 600000 ∗ 0.4 = 457.500Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 10Valore dell’Informazione PerfettaExpected Value of Perfect Information (EVPI)Quanto saremmo disposti a spendere per sapere con certezza lostato di natura futuro?• il costo dell’informazione non deve superare il vantaggioeconomico che ne deriva• senza informazione utilizziamo EMVAttenzione: possiamo conoscere, non scegliere lo stato di natura!Siamo chiaroveggenti (o spie) non maghi (o corruttori)• per noi, ogni stato S j ha probabilità p j di essere quello futuro• se lo stato futuro è S j il nostro payoff è a ∗ j = max h=1,...,m {a hj }P ∗ = n ∑j=1a ∗ jp j : payoff atteso se decidiamo di acquisire l’informazioneperfetta (costante del problema)Dunque per acquisire l’informazione perfetta saremo disposti aspendere al massimo EVPI = P ∗ − EMVNotare che EVPI = EOL: intuitivamente, il valore atteso dellainformazione perfetta coincide con la perdita attesa di opportunitàin assenza di informazione perfettaRevisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 11Sistema corruttivo negli appalti pubblici• il decisore delle offerte (“cartello”) è unico• il decisore manipola gli stati di naturaCosto sociale del sistema corruttivoIn Italia: stimato in 100 miliardi di Euro all’anno (2010)Esempi di costo di opere pubbliche prima e dopo le inchieste delPool Mani Pulite:primadopoPassante ferroviario di Milano 1994 Mld 1450 MldMetropolitana di Milano 350 Mld/Km 150–200 Mld/KmAeroporto Milano Malpensa 4000 Mld 2000 Mldcifre in Lit.La corruzione/concussione è un reato seriale e diffusivo:• seriale perché chi si lascia corrompere diventa ricattabile, edunque corrompibile per sempre“Denuncia la prima volta o mai più!”• diffusivo perché il corrotto è minacciato dal non-corrotto, etende ad espellerlo dal sistema“Se ne scopre di più dove ce n’è meno”(i dati sono tratti dalla conferenza del Dott. Piercamillo Davigo alla Facoltà diIngegneria, Reggio Emilia, 24 settembre 2010)Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 12Utilizzo di Informazioni CampionarieIn pratica, acquisire l’informazione perfetta è impossibile,o comunque troppo costosoSi opta allora per l’acquisizione di informazione “campionaria”statisticamente correlata all’informazione perfettaCome l’informazione perfetta, anche l’informazione campionaria haun suo “valore atteso”, calcolabile a prioriMetodologia1. si sceglie un evento verificabile (“test”) il cui esito dipende dallostato di natura (analisi geologiche, ricerche di mercato,esperimenti in laboratorio, consulenze. . . )2. si assumono come disponibili:• il costo dell’informazione (costo di “esecuzione del test”)• la relazione statistica tra stato di natura e esito del test(una tabella Q di probabilità condizionali)3. si calcola il valore atteso dell’informazione4. se il valore della informazione è superiore al suo costo:(a) si acquisice l’informazione (“esito” del test)(b) sulla base dell’esito si aggiornano le probabilità p j(la nuova informazione cambia le nostre aspettative)(c) si applica il criterio EMVcon le nuove probabilitàRevisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 13Dettagli computazionali: si parte dalla tabella QStati di NaturaEsiti S 1 S 2 .... S nq ij = Pr(E i |S j ):E 1 q 11 q 12 .... q 1nprobabilità che il test abbiaE 2 q 21 q 22 .... q 2nesito E i se lo stato di natura... ... ... .... ... è S jE l q l1 q l2 .... q lnDal Teorema di Bayes, dati due eventi (discreti) x e y:(a) : Pr(y i |x j ) = Pr(y i ∧ x j )Pr(x j )(b) : Pr(y i ) = n ∑dove (y i ∧ x j ) è l’evento congiunto y = y i e x = x jj=1Pr(y i ∧ x j )Da Q e p si possono quindi derivare altre probabilità:(i) per ogni coppia i, j (esito E i e stato S j ) si ottieneq c ij := P r(E i ∧ S j ) := Pr(E i |S j ) × Pr(S j ) := q ij p j(ii) per ogni esito E i , 1 ≤ i ≤ l si ottienep e i := Pr(E i ) := n ∑j=1Pr(E i ∧ S j ) := n ∑(iii) per ogni coppia i, j (esito E i e stato S j ) si ottienePr(S j |E i ) := Pr(E i ∧ S j )Pr(E i ):= qc ijp e iqijc j=1Aggiornamento delle probabilità: per ogni stato S j sisostituisce p j con Pr(S j |θ), dove θ è l’esito del testRevisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 14Esempio: supponiamo che una ricerca di mercato possa fornireindicazioni circa il livello di domanda più probabileOvviamente, la ricerca di mercato non è infallibile; a partire da datistorici su ricerche analoghe possiamo calcolare la tabella QStati di Natura0.1 0.5 0.4Esito Basso Medio AltoBasso 0.6 0.3 0.1Medio 0.2 0.3 0.2Alto 0.2 0.4 0.7q ij = Pr(Esito i |Stato j )Nota: somme di colonna 1A partire da Q e p otteniamo le probabilità congiunte Q c e laprobabilità p e i dell’esito iStati di NaturaEsito Basso Medio Alto p eBasso 0.06 0.15 0.04 0.25Medio 0.02 0.15 0.08 0.25Alto 0.02 0.2 0.28 0.5q c ij = Pr(Esito i ∧ Stato j )Nota: la somma delle probabilitàcongiunte è 1Infine otteniamo le probabilità condizionali Pr(S j |E i )Stati di NaturaEsito Basso Medio AltoBasso 0.24 0.60 0.16Medio 0.08 0.60 0.32Alto 0.04 0.4 0.56Nota: somme di riga 1Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 15Metodo EMVper l’esito θ = BassoLivello della DomandaBasso Medio AltoModello 0.24 0.60 0.16 EV iA 200.000 350.000 600.000 354.000B 250.000 350.000 540.000 356.400C 300.000 375.000 490.000 375.400 ⇐ EMV BassoMetodo EMVper l’esito θ = MedioLivello della DomandaBasso Medio AltoModello 0.08 0.60 0.32 EV iA 200.000 350.000 600.000 418.000 ⇐ EMV MedioB 250.000 350.000 540.000 402.800C 300.000 375.000 490.000 405.800Metodo EMVper l’esito θ = AltoLivello della DomandaBasso Medio AltoModello 0.04 0.40 0.56 EV iA 200.000 350.000 600.000 484.000 ⇐ EMV AltoB 250.000 350.000 540.000 452.400C 300.000 375.000 490.000 436.400Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 16Valore atteso dell’informazione campionaria (EVSI)Quanto saremmo disposti a spendere per l’informazionecampionaria?EV SI: differenza tra il valore atteso della decisione ottima coninformazione campionaria e senzaL’esito del test non è noto a prioriSia EMV i il valore atteso nel caso in cui l’esito del test sia θ = E i :EMV i si calcola usando Pr(S j |E i ) invece di Pr(S j )La probabilità Pr(E i ) che sia θ = E i viene calcolata al passo (ii)Allora il ritorno monetario atteso con l’analisi di mercato è:Nell’esempio:l∑i=1Pr(E i ) × EMV i0.25 · 375.400 + 0.25 · 418.000 + 0.5 · 484.000 = 440.350dunque EVSI = 440.350 − 435.000 = 5.350Efficienza dell’informazione campionariaEV SIEV P I = 5.35022.500 ≈ 0.24Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 17Alberi di decisioneMetodologia che utilizza una rappresentazione grafica delledecisioni e degli stati di natura ❅❅❅nodo quadratopunto in cui si deveeffettuare una decisone✛✘ ✚✙❅❅❅nodo circolarepunto da cui si dipartonopossibili stati di natura• a sinistra c’è la radice che è associata al risultato del calcolo• all’estrema destra ci sono le foglie associate ai payoff• Il calcolo procede da destra a sinistraModelliLivellodomandaPayoff ❅❅❅❅EMV=435.000 ❅❅❅❅Modello AE A =435.000Modello BE B =416.000Modello CE C =413.500✓✏ ✒✑❅ ❅✓✏ ✒✑❅ ❅✓✏✒✑❅ ❅Bassa (0.1)Media (0.5)Alta (0.4)Bassa (0.1)Media (0.5)Alta (0.4)Bassa (0.1)Media (0.5)Alta (0.4)200.000350.000600.000250.000350.000540.000300.000375.000490.000Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 18Costo ricerca2.500EMV=437.850(440.350-2.500) ❡❡❡EMV=437.850✁♠✁ ✁❡❡❡❡❡❡✁✁ ✁✁✁ ✁❆❆❆❆❆❆❆❆❆Ricerca dimercatoNessunaricerca✁✁ ✁✁✁ ✁✁ ✁Basso (0.25)Medio (0.25)Alto (0.50)❆❆❆❆❆❆❆❆ ❅❅❅❅❅ ❅EMV375.400 ❅❅❅❅EMV418.000 ❅❅❅❅❅ ❅EMV484.000 ❅❅❅❅EMV435.000❅ ❅❅ ❅Modello AE A =354.000♠Modello BE B =356.400Modello CE C =375.400Modello AE A =418.000♠Modello BE B =402.800Modello CE C =405.800Modello AE A =484.000♠Modello BE B =452.400Modello CE C =436.400Modello cE A =435.000♠Modello BE B =416.000Modello AE C =413.500 ❅ ♠ ❅ ♠ ❅ ❅ ♠ ❅ ♠ ❅ ❅ ♠ ❅ ♠ ❅ ❅ ♠ ❅ ♠ ❅ Bassa (0.24)Media (0.60)Alta (0.16)Bassa (0.24)Media (0.60)Alta (0.16)Bassa (0.24) 300.000Media (0.60) 375.000Alta (0.16) 490.000Bassa (0.08)Media (0.60)Alta (0.32)Bassa (0.08)Media (0.60)Alta (0.32)Bassa (0.08) 300.000Media (0.60) 375.000Alta (0.32) 490.000Bassa (0.56)Media (0.40)Alta (0.04)Bassa (0.56)Media (0.40)Alta (0.04)Bassa (0.56) 300.000Media (0.40) 375.000Alta (0.04) 490.000Bassa (0.1)Media (0.5)Alta (0.4)Bassa (0.1)Media (0.5)Alta (0.4)Bassa (0.1)Media (0.5)Alta (0.4)200.000350.000600.000250.000350.000540.000200.000350.000600.000250.000350.000540.000200.000350.000600.000250.000350.000540.000200.000350.000600.000250.000350.000540.000300.000375.000490.000Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 19• Software house: maggioranza dei programmi sviluppati in DOSProblema: conviene trasformare i programmi DOS in UNIX ?Probabile evoluzione del mercatoCresce UNIX Stazionario Cresce DOS0.3 0.5 0.2• Costo trasformazione programmi DOS in UNIX: 20MGuadagni attesi con la trasformazione in UNIXCresce UNIX Stazionario Cresce DOSCon trasformazione UNIX 170M 100M 80MSenza trasformazione 70M 100M 150M• Nel caso non si effettui la trasformazione e cresca la domanda diprogrammi DOS si ipotizza di sviluppare nuovi programmi con uninvestimento di 50M;probabilità di successo = 60%; guadagno aggiuntivo = 70M;✟✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟❅❅❅❅❅❅❅❅EMV:101MEMV:117M ❥❅❅❅Trasformazionein UNIX: -20MNessunatrasformazione ❅❅ ❥❆EMV:101M❆❆❆❆❆❆Cresce UNIX (0.3)Stazionario (0.5)Cresce DOS (0.2)Cresce UNIX (0.3)Stazionario (0.5)Cresce DOS(0.2)EMV:150M ❏❏❏ 170M100M80M70M100M ❥❅❅❅Nuovi Prodotti-50MEMV:192MProdotti standardSuccesso(0.6)Fallimento(0.4)220M150M150MRevisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 20Alberi decisionali e EVPISappiamo che il valore dell’informazione perfetta è definito comeEV P I = P ∗ − EMVPer calcolare il valore P ∗ possiamo “invertire l’ordine” dei nodicircolari e quadrati nell’albero decisionale:Domanda Modelli Payoff ✓✏✒✑❅❅❅P ∗ = ❅❅457.500 ❅❅❅Bassa (0.1)a ∗ 1=300.000Media (0.5)a ∗ 2=375.000Alta (0.4)a ∗ 3=600.000 ❅❅ ❅❅❅❅Modello AModello BModello CModello AModello BModello CModello AModello BModello C200.000250.000300.000350.000350.000375.000600.000540.000490.000Nel nuovo albero, la decisione avviene conoscendo lo stato di naturaOsservazione: notare l’analogia con il sottoalbero (visto inprecedenza) in cui si esegue la ricerca di mercato, e la decisioneavviene conoscendo l’informazione campionaria(vedremo ultriori esempi parlando di Diagrammi di Influenza)Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 21Funzioni di UtilitàMisura del valore di un payoff incerto, attribuito soggettivamentedal decisore considerando la propria attitudine al rischioScelta tra due investimenti: BOT a tasso fisso e azioniAndamento del MercatoRialzo Stazionario RibassoProbabilità 0.6 0.2 0.2BOT 1.200 1.200 1.200Azioni 2.500 500 -1.000E BOT = 1.200E Azioni = 2.500 · 0.6 + 500 · 0.2 − 1000 · 0.2 = 1.400Il criterio EMV suggerisce di acquistare azioni, ma sel’investitore non ha buone disponibilità finanziarie (e ilpaese non è a “rischio default”) sceglie i BOTSuponiamo che l’investitore attribuisca ai payoff della tabella leseguenti utilità (normalizzate in [0, 1]):payoff utilità-1.000 0 ⇐ payoff minimo a min500 0.61.200 0.82.500 1 ⇐ payoff massimo a maxRevisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 22Alla tabella dei payoff si sostituisce una tabella di utilità:Andamento del MercatoRialzo Stazionario RibassoProbabilità 0.6 0.2 0.2 E iBOT 0.8 0.8 0.8 0.8Azioni 1.0 0.6 0.0 0.72Applicando il metodo EMV a questa tabella, la scelta cade sui BOTIl grafico dei valori di utilità suggerisce l’andamento di una funzionedi utilità definita nell’intervallo [−1.000, 2.500]1.00✻✈0.80✈0.60✈✈✲0-1000 500 1200 2500• come può essere definita questa funzione?• qual è la relazione tra l’andamento di questa funzione e lapredisposizione al rischio del decisore?Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 23Calcolo della Utilità: LotterieSiano dati i payoff minimo a min e il payoff massimo a maxUna lotteria L(p) corrisponde a “vincere” a max con probabilitàp e a min con probabilità (1 − p); il valore della lotteria L(p) èV L (p) = p · a max + (1 − p) · a minDato un payoff a i ∈ [a min , a max ] la sua utilità si individuarispondendo iterativamente alla domanda:preferisci la lotteria L(p) o quadagnare a i con certezza?per opportuni valori di p, sino a trovare il punto di indifferenza:il valore di p corrispondente è l’utilità di a iEsempio: posto a i = 500dom.: preferisci L(0.5) o a i con certezza? (V L (0.5) = 750)risp.: a i con certezzadom.: preferisci L(0.75) o a i con certezza? (V L (0.75) = 1450)risp.: la lotteria L(0, 75)· · ·dom.: preferisci L(0.6) o a i con certezza? (V L (0.6) = 1100)risp.: è indifferente⇒ l’utilità di a i = 500 è 0.6Chiaramente, l’utilità è normalizzata in [0, 1]; a min e a max hannoutilità 0 e 1, rispettivamenteRevisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 24Andamento delle funzioni di utilitàSia data una funzione di utilità U definita in [a min , a max ]Dato un payoff a i ∈ [a min , a max ] definiamo V (a i ) = V L (U(a i ))il valore atteso di L(U(a i )), la lotteria con probabilità U(a i )Il decisore considera equivalente L(U(a i )) e il valore certo a iSe U(x) ha un andamento concavo, si ha sempre V (a i ) > a i(escluso ovviamente per a i ∈ {a min , a max })1✻U(a i )✈0a iV (a i )Quindi il decisore considera a i equivalente ad una lotteria con valoremaggiore di a i : questo denota avversione al rischio✲Osservazione: più U è “vicina” alla diagonale, minore è ladifferenza tra a i e V (a i )Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico

Analisi Decisionale 25Se U(x) ha un andamento convesso, si ha V (a i ) < a i1✻U(a i )✈0V (a i )Quindi il decisore considera a i equivalente ad una lotteria con valoreminore di a i : questo denota propensione al rischioAnche in questo caso, più U è “vicina” alla diagonale, minore è ladifferenza tra a i e V (a i )a i✲1✻U(a i )Se U coincide con la diagonalesi ha sempre a i = V (a i ): questodenota indifferenza al rischio⇓è equivalente usare U o i payoff!0a i = V (a i )✲Revisione Pretolani 2011c○Mauro Dell’Amico