La fisica delle corde di violino - Kataweb

La fisica delle corde di violinoCAVICCHIOD'INTONAZIONECosa accade quando si suona con l'archetto una corda di violino?I moderni concetti circuitali e un nuovo metodo elettromagneticodi osservazione hanno ridestato un certo interesse su questo temal punto nevralgico del violino o diqualsiasi altro strumento della stessafamiglia, il centro vitale di ogni Iimpulso acustico, che costituisce la vitastessa della musica, è la corda suonatacon l'archetto. La corda — il suo comportamentosotto l'azione delle dita edell'arco, la sua piacevole risposta e iproblemi stessi che il suonatore è chiamatoa risolvere — ha una funzione diprimaria importanza nel definire l'identitàmusicale di questa famiglia di strumenti.Concettualmente, una corda èl'elemento più semplice, nonostante lasua manifattura richieda una meticolosacura; deve essere flessibile, uniformeARCHETTOPONTICELLOPREAMPLIFICATORERESISTORECORDA_L-CONDENSATOR7Il monocordo, un semplice dispositivo sperimentale usato dall'autoreper studiare il moto di una corda sollecitata da un archetto,è costituito da una sola corda conduttrice di elettricità,montata tra due ponti massicci fissati su una base. Il moto dellacorda prodotto da un campo magnetico generato da un magnetinomobile produce un segnale di uscita che può essere82di John C. Schellenge robusta. Nonostante questa semplicitàil suo comportamento sotto l'azione dell'arcopresenta molti interrogativi tuttorainsoluti. La fisica elementare delsuo comportamento può tuttavia esseredi estrema importanza per il suonatore.Tra i molti articoli pubblicati daHermann von Helmholtz, che vannodalla fisiologia, all'anatomia, alla fisica,alle belle arti, ce n'è uno dedicato alcomportamento delle corde di violino(On the Action of the Strings of a Violin)pubblicato negli atti della GlasgowPhilosophical Society nel 1860. Fino aquel momento si sapeva molto poco suciò che accade in pratica quando sisuona una corda di violino. Il procedimentodi Helmholtz costituisce unbuon esempio di come si possa chiarireun problema, a quel tempo apparentementeinsolubile, con un esperimentoben congegnato e con l'ausilio dellamatematica. Oggi la sua apparecchiaturasarebbe chiamata oscilloscopio; perlui si trattava di un « microscopio avibrazioni ». Attraverso siffatto strumentoegli osservò un grano di amidofissato a una corda nera posta in vibrazionemediante l'archetto. Il microscopioera montato su un grosso diapasonin modo da vibrare lentamente parallelamentealla lunghezza della cor-MAGNETEMOBILEAMPLIFICATOREANCORAGGIOCAPOTASTO DELLA CORDAOSCILLOSCOPIOamplificato e visualizzato sullo schermo di un oscilloscopio (siveda lo schema in basso). Con i due interruttori nella posizionesuperiore il sistema visualizza la velocità della corda, mentrecon i due interruttori in basso, il sistema visualizza lo spostamentodella corda. L'archetto può essere mosso a mano, ocomandato da un pendolo o costituito da un arco rotante.da. Quando sia la corda sia il diapasonvenivano posti in moto a frequenzaopportuna, Helmholtz poté osservareuna « figura di Lissajous », un oscillogrammache visualizzava la posizionedel frammento di amido durante il periododi vibrazione del diapason. Esaminandocon lo stesso metodo il motodi altri punti egli ottenne sperimentalmentegli elementi necessari per unadescrizione matematica del moto dellacorda nel suo complesso.Helmholtz scrisse che « durante granparte di ogni vibrazione la corda vienetrascinata dall'arco. Poi, improvvisamente,essa si stacca e rimbalza, quindiviene ricatturata da altre parti dell'arcoe di nuovo trascinata ». Si ha inaltri termini un processo di « adesionee scivolamento » cioè la corda aderisceall'archetto per un certo tempo e poiscivola indietro. Rappresentando graficamentela posizione del frammento diamido in funzione del tempo, egli scopriche qualsiasi fenomeno da lui scopertopoteva essere rappresentato dalinee rette tranne uno. In un periododi vibrazione, indipendentemente dalpunto della corda osservato e dal puntosu cui agisce l'archetto, la curvaera fatta a zig-zag (si veda la figurain questa pagina). I due periodi ditempo della vibrazione stavano semprenello stesso rapporto dei due tratti incui veniva divisa la corda dal puntodi osservazione.Si può imparare qualcosa osservandosemplicemente la corda più bassa diuno strumento mentre viene vigorosamentesuonata con l'arco (si veda lafigura a pagina 84). Apparentemente lacorda si allarga in un nastro cui fannoda profilo da un'estremità all'altradue curve regolari. (In effetti la posizioneattorno alla quale vibra la cordaviene lievemente spostata verso unadelle estremità dalla forza media esercitatadall'arco nella sua direzione dimoto.) Helmholtz scoprì matematicamenteche i profili sono delle parabole;a causa della loro piccola curvatura,esse sono però indistinguibili da archidi cerchio. Sarebbe tuttavia errato supporreche la corda abbia questa formain qualsiasi istante: Helmholtz trovòche la corda, in un istante qualsiasi, hala stessa forma che avrebbe se venissespostata lateralmente dal dito in qualchepunto dell'arco di cerchio; essa hauna forma rettilinea bruscamente piegatain un punto. Il punto angoloso sisposta da un bordo all'altro del profiloapparente una sola volta in ogni vibrazione;per la corda «a vuoto » la di unviolino, per esempio, ciò si verifica 440volte in un secondo. Se Helmholtz fossestato in grado di osservare la corda conuno stroboscopio, il profilo sarebbescomparso ed egli avrebbe visto la cordacome una linea retta bruscamentepiegata. Quando l'arco si sposta dallo« spingere » verso il « tirare », il motosi trasforma da antiorario in orario.La velocità laterale della corda inun punto qualsiasi ha due valori chesi alternano, di diverso modulo e disegno opposto. Il risultato è che unatipica curva di spostamento a zig-zagpresenta una corrispondente curva divelocità di forma rettangolare. Il rapportotra le due velocità che si alternanocoincide con quello dei due trattiin cui viene divisa la corda dal puntodi osservazione.Le corde sollecitate dall'archetto sonocaratterizzate da due semplici aspettifisici. Il primo è che l'attrito « radente» è minore dell'attrito « statico »e che il passaggio dall'uno all'altro èquasi discontinuamente brusco. Il secondoè che una corda flessibile in tensionepuò vibrare in modi diversi, cioètutta insieme o dividendosi in parti diuguale lunghezza, divise da punti chenon vibrano e che si chiamano «nodi». Ne consegue che la durata di unasingola vibrazione nel primo modo, oTEMPOTEMPOmodo fondamentale, coincide quasi esattamentecon la durata di due vibrazioninel secondo modo, di tre nel terzo, ecosì via. Senza perturbazioni esterne,quindi, una corda è, per sua stessa natura,capace di sostenere un'onda «periodica», cioè una serie ripetuta di vibrazionidello stesso tipo, la cui formad'onda è quella caratteristica del processo« adesione-scivolamento ». Sullacorda possono coesistere una moltitudinedi armoniche a seconda delle caratteristichedell'attrito.La discontinuità oscillatoria di Helmholtzè l'orologio che determina esattamentegli istanti di cattura e di rilasciodella corda da parte dell'arco. Vi è unachiara spiegazione in base alla quale lacorda viene vista come una molla sospintalateralmente in modo periodicofino al limite massimo dell'attrito statico.La molla allora scatta indietro finchéviene nuovamente catturata. Questopunto di vista non può però spiegareil motivo per cui la frequenza di ripetizionesi mantiene costante nell'ampiointervallo delle forze, o «pressioni»,applicate dalla mano all'archetto. Laspiegazione corretta deve essere data inLo spostamento di una corda sollecitata con l'archetto dalla sua posizione media vienerappresentato in funzione del tempo nella prima delle tre curve di questa figura. Lecurve caratteristiche a zig-zag sono state ottenute suonando la corda nei pressi di unaestremità e osservandola al centro (a), nei pressi del ponte (b) e nei pressi del capotasto(c). In tutti i casi i due periodi di tempo in cui si spezza la vibrazione stanno nellostesso rapporto dei due tratti in cui viene divisa la corda dal punto di osservazione. Lacurva rettangolare relativa alla velocità della corda (d) corrisponde alla curva (c).83

2termini dinamici: una siffatta spiegazioneviene suggerita dalla constatazioneche l'intervallo di tempo n:tcessarioperché la perturbazione percorradue volte la lunghezza della corda flessibileè costante. La periodicità vienechiaramente messa in evidenza colpendocon un bastone un lungo filo dabiancheria, teso, in prossimità di unsuo estremo. Si vede chiaramente unadiscontinuità muoversi verso l'estremitàpiú lontana sulla quale viene riflessa.Al suo ritorno si sente attraverso il bastone(sempre appoggiato al filo) unimpulso molto simile alla forza di attritomomentanea agente sulla corda.Un semplice esperimento conferma lavalidità di questa interpretazione delcomportamento di una corda suonatacon l'archetto (si veda la figura nellapagina a fronte).corda sono elettricamente conduttrici.Se viene posto vicino alla corda un piccolomagnete, la presenza di un conduttoremobile in un campo magneticocostituisce un sistema a induzioneelettromagnetica, il cui segnale di uscitapuò essere visualizzato semplicementeinserendo la corda nel circuitodi entrata di un opportuno amplificatorecollegato a un oscilloscopio. Laforza elettromotrice è proporzionalealla velocità della corda. La corda puòessere montata sullo strumento in esameo su un monocordo, che è un semplicedispositivo costituito da due pontipesanti su una base fissa muniti diun sistema per tendere la corda e di unsostegno per il magnete (si veda la figuraa pagina 82). Nel mio esperimentofurono usati due metodi di sollecitazionecon l'archetto oltre a quello manuale;un arco rotante progettato daF.A. Saunders nelle sue ricerche sulcomportamento dei violini e delle cordee un normale arco comandato da unpendolo da 50 libbre.Un circuito elettrico collegato al monocordo(o allo strumento) permette divisualizzare la velocità o lo spostamentodella corda sotto forma di oscillogrammi.Il primo oscillogramma nellafigura in basso della pagina seguentemostra, per esempio, la velocità in corrispondenzadell'arco in una corda moltoflessibile. Nel periodo lungo la velocitàsta al di sopra della linea di zeroche corrisponde alla velocità dell'arco(se si trascurano le lievi oscillazionisecondarie). Nel breve periodo di scivolamentovi è un'alta velocità negativaquando la corda scatta all'indietroper aderire poi nuovamente all'arco.In questo esperimento l'arco si trovavicino al ponticello e la forma dellacurva è simile a quella prevista dallacostruzione di Helmholtz. Lo zig-zagdel secondo oscillogramma mostra lastessa vibrazione in funzione dello spostamentoanziché della velocità.La semplicità della strumentazionenon è il solo vantaggio nel visualizzarela velocità anziché lo spostamento.In questo modo si possono evidenziarechiaramente dettagli ad alta frequenzaa prima vista inimmaginabili.Quando il circuito è realizzato inmodo da indicare lo spostamento inprossimità del ponticello, esso indica anchela forza vibrazionale trasversaleesercitata dalla corda. Il « suono dellacorda » da solo, depurato dagli effettialteranti della cassa dello strumento,può essere prodotto mettendo un ma-La forma di una corda sollecitata con l'archetto si apre in un nastro cui fanno da profiloda un'estremità all'altra due curve regolari paraboliche (linee in colore). Comescopri Hermann von Helmholtz, la forma effettiva della corda è tuttavia in qualsiasiistante quella di una retta bruscamente piegata in un punto (linea in nero). Il puntoangoloso percorre il profilo curvilineo una sola volta in ogni vibrazione. Il suo sensodi rotazione in questa particolare serie di diagrammi corrisponde a un moto dell'arcoverso l'alto ; invertendo il senso di moto dell'arco si inverte il senso di rotazionedel punto angoloso. Questo moto caratteristico è un caso di onda stazionaria.Helmholtz riteneva che la velocitàdi una corda durante lo scatto indietrofosse costante. Mezzo secolo piùtardi C.V. Raman scopri che nella maggiorparte dei casi questo è vero soloapprossimativamente. La scoperta diRaman ebbe luogo durante un ingegnosostudio del comportamento meccanicodel violino relativo sia agli esperimentisia alla teoria. Il suo punto di partenzaper quanto riguarda la corda suonatacon l'archetto era di descrivere il motoin funzione delle onde progressive di velocitàtrasversale che inducono le ondestazionarie del sistema di Helmholtz.La stessa onda può essere descritta infunzione del suo spostamento lateraleo della sua velocità laterale. Uno deivantaggi introdotti dal considerare lavelocità è costituito dal fatto che questeonde possono essere rappresentatecome linee rette.La forma dell'onda Raman nei casiche interessano la musica (Raman netrattò molti altri tipi che non la riguardano)è ancora a zig-zag, ma differiscedalle curve di spostamento citatesopra nel senso che, mentre gli « zig »sono lenti, gli « zag » sono istantanei(si veda la figura a pagina 86 in alto).Quando una tale onda viene riflessadall'estremità fissa della corda, essaappare esattamente come prima conl'eccezione che la sua direzione di propagazioneè opposta. Quando la vibrazioneavviene nel modo fondamentale,la lunghezza della corda è pari alla metàdella distanza tra gli zag.Negli ultimi anni, stimolato dai concetticircuitali e da un metodo elettromagneticodi osservazione del moto diuna corda, si è risvegliato un certo interesseper la fisica delle corde suonatecon l'archetto sia negli Stati Uniti chein Europa. Più della metà delle cordecomunemente usate negli strumenti aARCHETTO TRASCINATOI i l i i tPONTICELLO-1 „,,C:31:1::.,H;HhHii!Hill!LIARCHETTO TRASCINATOL'esperimento dell'« archetto trascinato », realizzato durante lericerche dell'autore, conferma parzialmente il quadro dinamicodi Idelmholtz sul comportamento di una corda sollecitata da unarco. Un arco leggero, sospeso per il suo estremo più pesantemediante un lungo filo, si appoggia su una delle corde in prossimitàdel ponticello, con lo strumento disposto orizzontalmente.Un secondo arco fa vibrare decisamente la corda. In questo01'1'71'1'1I'10111111':;""."."---------ARCHETTO MOTOREcaso l'archetto sospeso si muove (dopo un breve periodo di scivolamento)nella stessa direzione dell'archetto motore. La direzionenella quale si muove l'archetto sospeso indica la direzionedi moto della corda durante l'intervallo più lungo diogni vibrazione. Quando l'archetto sospeso viene sistemato vicinoall'estremità opposta della corda (capotasto), l'archetto trascinatosi muove in direzione opposta a quella dell'archetto motore.84 85

I-Oo-IW>oWC.)l=ZC)CL.-..IDISTANZA >Le onde di Raman furono introdotte da C. V. Raman per descrivere il moto di unacorda suonata con l'archetto. La forma di una siffatta onda progressiva di velocità trasversaledifferisce dalla corrispondente onda stazionaria di Helmholtz relativa allo spostamentodella corda nel senso che gli « zig » sono lenti, mentre gli « zag » sono istantanei.Quando si compongono le onde di Raman di verso opposto (in (1lto), l'onda risultante(in basso) mostra che le due velocità esistenti alternativamente in qualsiasi punto dellacorda dipendono dalla posizione della discontinuità tra « scivolamento » e « adesione ».Il moto di una corda molto flessibile sull'arco è rappresentato in questi due oscillogrammi,i quali mostrano la velocità della corda (in alto), e lo spostamento della corda (inbasso) per la stessa vibrazione. L'arco in questo caso era disposto a una distanza dalponticello pari a circa un ventesimo della lunghezza totale della corda. In questo esperimentola forma delle curve è simile a quella prevista dalla costruzione di Helmholtz.oI-COQI-oCLQognete per ciascuna delle corde in prossimitàdel ponticello. L'uscita dai quattromagneti in serie attraversa l'integratoree viene quindi amplificata e registrata;questa disposizione somma leforze esercitate da tutte le corde. Lariproduzione del suono registrato forniscequindi l'effetto delle sole corde.(La registrazione non è necessaria sesi usa un violino muto che non irradialcun suono.)Il risultato in definitiva rassomigliaa uno strumento a corde suonate conl'archetto, ma di classe inferiore. Se ilsistema trasduce fedelmente la forzaesercitata sul ponticello in pressione sonorairradiata, lo spettro sonoro risultantecon una data velocità dell'arcovarierà con la frequenza in modo inversamenteproporzionale, nel sensoche l'effetto più intenso si ha in corrispondenzaalla nota più bassa.el suonare con l'archetto uno strumentoa corde, esistono dei limiti al-Nla velocità dell'arco, alla sua distanza dalponticello e alla forza perpendicolare applicata;questi limiti non devono esseresuperati in una generica situazione musicale.Per un suonatore esperto si trattasolitamente di scegliere quasi senzarendersene conto tra comuni schemidi azione, ma nei casi più critici egliè probabilmente ben consapevole deilimiti impostigli. Per fortuna questiparametri meccanici possono variareampiamente: la distanza tra arco eponte, per esempio, può variare da unvalore minimo a cinque volte tale valore;la velocità e la forza possono arrivarefino a 100 volte il loro valore minimo.Data una coppia qualsiasi di questiparametri, per poter ottenere unanota accettabile il terzo deve cadereall'interno di un intervallo che dipendedalle costanti fisiche della corda edella cassa dello strumento. Per notesostenute questi intervalli sono ampi,anche se ovviamente non sono egualmentedesiderabili tutte le zone di undato intervallo. Per esempio, date posizionee velocità, la più alta forzaammissibile può essere comunemente10 volte il valore minimo. La prima domandaè: quali sono i processi che determinanol'esistenza di questi limiti?Per poter spiegare i limiti della forzaesercitata dall'arco è utile tener presenteche la forza di attrito nel puntodi contatto tra arco e corda varia neltempo. Sebbene non sia al momentoattuale possibile visualizzare questa forzacon un oscilloscopio, è possibile presentareun quadro qualitativo semplificatodella base fisica che riguarda l'argomento.Per far ciò si suppone: 1)che si possano applicare le leggi elementaridell'attrito statico e dinamico;2) che il ponticello si comporti comeun'alta « resistenza » meccanica (analogaalla resistenza di un circuito elettrico);3) che siano noti la massa, latensione e il moto della corda sull'arco.Assimilando un'onda completaal percorso di un mobile su un cerchiosi possono sostituire ai tempi gli archida O a 360 gradi e successivamente perla seconda oscillazione da 360, 720 gradie cosí via.Supponendo che la forza agente sullacorda abbia sempre la direzione delmoto dell'arco, i punti di massima forzadell'arco si hanno nei momenti corrispondentia zero, 360, 720 gradi e cosívia; i punti di minimo cadranno quindia 180, 450, 900 gradi e cosí via (si vedala figura a destra). L'oscillazione ciclicadella forza tra questi due livelli è ciò chesi richiede per mettere in vibrazione lostrumento. Nel piccolo intervallo attornoa 180 gradi si ha scivolamento.Nelle transizioni da adesione a scivolamentovi è un istante in cui si esercitala massima forza d'attrito richiestadalla forza d'arco. Le ricerche hannomostrato che in realtà l'« attrito statico»non è del tutto statico: la velocità,anche se piccola, è finita e l'attritoin pratica cambia continuamentecon la velocità nei pressi della velocitànulla con uno stretto massimo corrispondenteall'attrito statico. Molto probabilmentesi ha la stessa curva nel passaggiodallo scivolamento all'adesione.Il risultato sono le curve dette a «orecchiedi coniglio » tipiche di tali forzedi attrito. Tali curve differiscono sensibilmentenei dettagli nel passare da unanota all'altra a causa della complessitàdell'azione della cassa.Si consideri la situazione in cui laforza d'arco ha un valore tipicamenteintermedio. Dal valore a zero gradi inpoi, con la corda aderente all'arco, laforza cala verso il minimo, che è determinatodall'attrito dinamico. Poi,nel momento in cui l'adesione sembradel tutto sicura, interviene la discontinuitàe supera l'attrito statico. La discontinuitàdeve solo fornire la differenzatra l'attrito statico e quello dinamico;essa è in grado di dare uncontributo maggiore di quello qui richiesto,forse molto maggiore. Tuttavia,al crescere della forza d'arco, siraggiunge il momento in cui la discontinuitàfallisce in questa prova di intensitàe la vibrazione diventa unaoscillazione irregolare. In tale istantesi è superato il massimo valore ammissibileper la forza d'arco.Quando la forza d'arco diminuiscefino a un minimo si ha un diverso tipodi insuccesso. In questo caso le «orecchie» della curva della forza di attritocadono allo stesso livello della forza0 0 1800 3600« Le orecchie di coniglio » caratterizzano la forma delle curve che rappresentano laforza di attrito esercitata da un arco per mettere in vibrazione una corda. Un'orecchiasi forma sulla curva della forza d'attrito quando la discontinuità arriva dal capotasto,supera l'attrito statico e comincia lo scivolamento; l'altra orecchia si forma quando ladiscontinuità ritorna dal ponticello e comincia l'adesione. La curva superiore rappresentala forza d'attrito quando la pressione dell'arco ha un caratteristico valore a metà sua -da tra i limiti superiore e inferiore consentiti; la curva centrale si applica al caso dellimite inferiore. Per chiarezza sono state omesse le piccolissime oscillazioni secondariedei lembi laterali di entrambe le curve (a sinistra e a destra). La curva in basso è la curvadi velocità della corda corrispondente alla curva della forza d'attrito riportata in alto.86 87

Un nuovo zig-zag comincia a formarsi nella curva oscillografica dello spostamento di unacorda quando la forza dell'archetto è lasciata cadere al di sotto del minimo valore. Nelcaso che questa condizione instabile venga lasciata libera di svilupparsi, la nota fondamentalescompare per essere sostituita ben presto dalla armonica dell'ottava superiore.massima al valore zero gradi, e conla piú piccola diminuzione addizionalel'attrito statico (come indicatodalle « orecchie ») diventa insufficientea tenere la corda vicino al livelloa zero gradi. Il risultato è una curvadi spostamento della corda instabilenella quale comincia a formarsi unnuovo zig-zag (si veda la figura in altoin questa pagina). Se si lascia crescerequesto nuovo zig-zag la nota fondamentaleverrà sostituita dalla nota diottava; in altre parole non si riesce aottenere la minima forza d'arco.Nel meccanismo del suonare è rilevanteil fatto che la massima forza10,001POSIZIONE RELATIVA DELL'ARCHETTO0,01 0,02 0,04 0,06 0,1 0,2,MASSIMA FORZA DELL'ARCHETTO-Ṿ......SUL PONTICELLOBRILLANTE-......MINIMA FORZA DELL'ARCHETTOd'arco, che dipende principalmente dallacorda e dai coefficienti di attrito, èinversamente proporzionale alla primapotenza della distanza tra l'arcoe il ponticello, mentre la minima forzad'arco, che dipende anche dalla cassadello strumento, è (almeno approssimativamente)inversamente proporzionaleal quadrato di tale distanza. Legrandezze necessarie per il calcolo diquesti limiti sono note sufficientementeper spiegare come la corda reagiscaalle forze d'arco. Per note alte con unadata velocità d'arco si possono visualizzaresu un diagramma logaritmico gliandamenti rettilinei della massima eRAUCONORMALEMODI SUPERIORISUL TASTO0,7 1,4 26 42 7 14DISTANZA TRA PONTICELLO E ARCHETTO (CENTIMETRI)La regione normale nella quale si suona uno strumento musicale a corde sollecitate daarchetto viene indicata in questo grafico per note tenute con una velocità d'arco costante;sono riportati gli andamenti logaritmicamente rettilinei della massima e minimaforza d'arco in funzione della distanza tra l'arco e il ponticello espressa come frazionedella lunghezza totale della corda. Come si vede dal grafico, la massima e la minimaforza d'arco tendono a diventare uguali (in alto a sinistra) quando l'arco viene messoin un punto molto vicino al ponticello, mentre sono differenti quando l'arco si allontanada esso (in basso a destra). Lo spazio compreso tra questi due limiti, indicato incolore, rende conto dell'ampia tolleranza delle forze d'arco consentite. Sul tasto significa« arco sulla tastiera »; sul ponticello significa « arco vicino al ponticello ». Il secondogruppo di coordinate (scala in basso; scala a destra) suggerisce le condizioninormali per una tipica corda la di violoncello suonata alla velocità di 20 cm/s._ 10minima forza d'arco in funzione delladistanza dell'arco dal ponticello espressain centimetri come frazione dellalunghezza totale della corda (si veda lafigura in basso in questa pagina). Il risultatopiù importante è che la massimae la minima forza d'arco sono ugualiquando l'arco viene posto in un certopunto vicinissimo al ponticello, mentresono differenti quando si allontanada tale posizione. È l'esistenza di questospazio tra i limiti che fornisce allaforza d'arco l'ampia tolleranza che rendepossibile suonare il violino.Le forze verso sinistra tra queste rettesono praticamente troppo alte; ilmodo normale di suonare viene confinatoall'area verso destra. Molto lontanodal ponticello il volume del suonoè minimo, il contenuto delle armonichesuperiori è minimo e il timbro presentaquella dolcezza che i compositori cercanoscrivendo sul tasto, oppure « arcosulla tastiera ». Al di là della massimaforza d'arco il risultato non èmusicale, mentre, appena al di sottodel minimo, si perde la piena nota fondamentale,producendo quella che ètalvolta chiamata nota di superficie.Più l'arco è vicino al ponticello, minorediventa il rapporto tra la forza d'arcomassima e quella minima e più fermadeve essere la mano del suonatore. Ilsuonatore esperto apprezza questa posizioneche può creare note di alta qualità;il principiante trova prudente suonarepiù vicino alla tastiera. Ancor più vicinoal ponticello la forza d'arco crescein modo proibitivo e la pienezza dellanota fondamentale scompare fino a ridursia poco più di un corteo di armonichealte: questo è il suono irreale cheil compositore indica con le parole sulponticello. Nella regione che dà suoninormali il contenuto relativo di armonicheaumenta — la nota diventa piùbrillante — sia mentre l'arco si spostaverso il ponticello sia mentre la forzad'arco aumenta verso il massimo.Un siffatto diagramma deve essereconsiderato qualitativo, in special modola curva della forza minima, chevaria grandemente da nota a nota perla complessità della risposta della cassaarmonica dello strumento. Sebbenela schematizzazione di Helmholtz siaabbastanza vicina alla realtà dei fattida fornire una utile base per molti calcolidi prima approssimazione comequelli sopra descritti, essa non è totalmentecredibile sotto altri aspetti. Incontrasto con quanto essa predice, ilcontenuto delle armoniche aumentacon la forza d'arco, modificandosi cosiil timbro e l'intensità del suono. Se l'intensitàdel suono dipendesse solo dallaradice quadratica media della forza vibrazionaleesercitata sul ponticello, l'effettonon sarebbe molto vistoso, maquando le armoniche vengono emessecon maggiore intensità della nota fondamentaleo vengono percepite dall'orecchiocon maggiore sensibilità, l'effettoassume una certa importanza. Resta ilfatto che i migliori mezzi che ha ilsuonatore per controllare il volume sonola velocità e la posizione dell'arco.La conclusione che la pressione sonorasia direttamente proporzionale alla velocitàdell'arco e inversamente proporzionalealla distanza arco-ponticellonon è lungi dall'essere vera.Le note suonate con l'arco si possonoprodurre in modi diversi, ma forsenella maggior parte dei casi l'arco sospingela corda lateralmente fin quandoil suo spostamento non può più esseresostenuto dall'attrito statico. Lascomparsa dell'attrito, come la cessazionedello strappo, instaura due discontinuitàdi Helmholtz viaggianti insenso opposto, una sola delle quali,quella verso il ponticello, può diventaresostenuta. Fin quando la velocità dell'arcoha il predominio sulla forza d'arco,tuttavia, la condizione è descritta come« rauca » e ci possono essere moltefalse partenze prima che si raggiungal'equilibrio. L'abilità all'inizio è di riuscirea ottenere l'equilibrio di un tempocosí breve o a un livello sonoro cosíbasso da evitare un effetto sgradevole.Un attacco silenzioso si può realizzarefacendo in modo che l'arco già in motofaccia un « atterraggio morbido »sulla corda, entrando in tal modo nellaregione di suono normale attraverso laregione denominata « modi superiori ».Almeno in teoria, le forze d'arco e lavelocità possono essere equilibrate sindall'inizio.Nella precedente trattazione dellaforza d'attrito tra l'arco e la corda èstato trascurato per semplicità un interessantefenomeno, cioè il ruolo delle« orecchie » della curva della forzadi attrito nel creare tra l'arco e le estremitàdella corda delle riflessioni sonorealcune delle quali possono persistereper molti periodi di vibrazione. Questieffetti vengono ignorati nella trattazioneclassica del comportamento dell'arco,ma sono importanti negli oscillogrammidi velocità della corda. Siconsideri una curva che rappresenta ilmoto della corda sotto l'azione dell'arco,quando durante il lungo intervallodi adesione ci si potrebbe aspettareche la corda segua la velocità costantedell'arco (si veda la figura in questapagina). È infatti vero che non si hascivolamento, ma, ciononostante, lacorda può muoversi rotolando sull'arcocon i limiti dovuti alla resistenzadella corda alla torsione. L'increspaturanel rotolamento implica una corrispondenteincrespatura nella forzaesercitata sulla corda.Il termine « nota del lupo » viene comunementeusato per indicare un suonosgradevole che compare in modocospicuo in corrispondenza a una certafrequenza negli strumenti a corde suonatecon l'archetto. Spesso la sua origineè oscura. Esistono molte varietà dinote del lupo, ma la più dannosa dellaspecie ha il suo habitat nel violoncello(e talvolta nel violino o nella viola) unaottava e qualche semitono al di sopradella nota più bassa. L'origine di questanota è chiara: la cassa di qualsiasistrumento ha una moltitudine di risonanzee la nota del lupo (se esiste)si forma in corrispondenza alla più intensadi esse. Perché una corda suonatacon l'arco si comporti nel modopiù opportuno le sue estremità devonoessere fissate su un supporto la cuirigidità sia proporzionata alla massadella corda. Suonando una delle cordepiù pesanti a una frequenza coincidentecon quella di risonanza della cassasi favorisce perciò il disturbo, chesi manifesta in modi differenti, il piùcaratteristico dei quali è la produzionedi due note, entrambe vibrazioni forzate,abbastanza vicine da generare unostridente battimento. Poiché le due notesono poste a cavalcioni del piccodi risonanza, esse richiedono una forzad'arco minore rispetto a una solanota alla frequenza di risonanza (si vedala figura in alto nella pagina seguente).Nelle rigide corde del piano, costituiteda spessi fili di acciaio, le frequenzedegli armonici superiori non sono esattamentemultipli interi della frequenzadel suono fondamentale, ma sono lievementepiù acute. Ciò non costituisceuno svantaggio: il lieve clangore chequesto fatto dà al suono della cordacolpita col martello è molto apprezzato.Quale effetto produce la rigiditàsu una corda suonata con l'arco? Chiaramentesarà diverso da quello del piano.Il meccanismo dell'archetto produceuna successione di vibrazioni quasiidentiche. Dal punto di vista matematicoè un modo diverso per dire che lavibrazione è costituita da componentiarmoniche le cui frequenze sono multipliinteri esatti della frequenza piùbassa.Vi può davvero essere un effetto sullacorda suonata con l'arco. Anche seviene limitata l'anarmonicità, si restringeil possibile campo di vibrazione. Ci siaspetta un deterioramento della qualitàdel suono per la riduzione delle armonichesuperiori, per la difficoltà di intonazionee per la necessità di forze d'arcoabnormi. Prima del 1700, quando divennerodisponibili le corde arrotolate,tutte le corde di violino erano fatte diminugia, ma la corda di minugia so/ (lapiù bassa) era insoddisfacente e il motivonon è difficile da scoprire. Nel suonarecon l'archetto la frequenza fondamentaleè vicina a quella del più basso mododi vibrazione naturale; nella cordasol, però, una frequenza sette voltemaggiore di quella cade a metà stradatra il sesto e il settimo modo vibrazionalee si trova quindi completamentesenza risonanza. Indipendentementedalla forza d'arco, la settima armonicadeve essere trascurabile. Questa difficoltànella produzione delle armonichepuò essere illustrata da una curva chemostra la velocità in corrispondenzaIl rotolamento della corda sotto l'azione dell'arco, durante un lungo intervallo di adesione,produce caratteristiche « increspature » nella curva di velocità della corda. Perricavare questo oscillogramma la corda la di un violoncello venne sollecitata con unaforza d'arco pari a 4,5 volte quella minima. Il periodo immediatamente successivoalla cattura della corda da parte dell'arco (la parte di curva subito a destra di ogniimpulso principale) mostra principalmente il decadimento dell'impulso formato allacattura quando si riflette nel tratto corto della corda. Il periodo precedente al rilasciomostra le riflessioni ritardate nel tratto lungo, dall'ultimo rilascio e dai precedenti.88 89