x 2 > x + 2

Altri esercizi sulle funzioni (Valentina Casarino)1. Risolvere graficamente le seguenti disequazioni:√4 − x2 > x + 2; x 2 ≥ |x − 1|;√1 − x2 < x.2. Data la funzione f(x) = x 3 − 1, disegnare i grafici dif(x), |f(x)|, f(|x|), −f(x), 2f(x), f(x + 1), f(2x), 3|f(x)| − 1.3. Si consideri la funzione f : (0, 3) −→ R definita da:⎧⎪⎨f(x) =⎪⎩x 2 se 0 < x < 12 se 1 ≤ x ≤ 232 (x − 3)2 se 2 < x < 3.Determinare l’immagine di f, f ((1/2, 5/2]), f −1 ([1, 3/2]) e f −1 (2).4. Sia data la funzione⎧⎪⎨6 − 3x se x > 2f(x) =⎪⎩ 6se 0 < x ≤ 1.xDeterminare l’immagine di f. Studiare l’iniettività di f e scrivere, se possibile, dominio, immagineed espressione della funzione inversa f −1 .5. Data la funzione⎧ √⎨ x − 1 se x ≥ 1f(x) =⎩x + c se x < 1,studiare l’iniettività di f al variare di c ∈ R. Quando esiste, scrivere dominio, immagine edespressione della funzione inversa f −1 .6. Date le funzioni f(x) = 1 − x 2 e g(x) = √ x, determinare dominio e immagine delle funzionicomposte g ◦ f e f ◦ g e scriverne le espressioni.7. Siano f : [1, 2] −→ [−1, 1], f(x) = 2x 2 − 4x + 1, e g : R −→ R definita da:⎧x + 2⎪⎨se x < −1g(x) = −x se −1 ≤ x ≤ 1⎪⎩x − 2 se x > 1.Determinare dominio, immagine ed espressioni di g ◦ f.

Valentina Casarino - FunzioniAltri esercizi sulle funzioni - Soluzioni1. (−2, 0); x ≤ −1−√ 52, x ≥ −1+√ 52;√22 < x ≤ 1.3. Im f = (0, 3 2 ) ∪ {2}; f ((1/2, 5/2]) = ( 1 4 , 3 2 ) ∪ {2}; f −1 ([1, 3/2]) = (2, 3 −f −1 ({2}) = [1, 2].4. f : (0, 1] ∪ (2, +∞) → (−∞, 0) ∪ [6, +∞) iniettiva;f −1 : (−∞, 0) ∪ [6, +∞) → (0, 1] ∪ (2, +∞);⎧⎪⎨f −1 (x) =⎪⎩6xse x ≥ 6− 1 x + 2 se x < 0.3√23 ];5. f iniettiva se c ≤ −1 e suriettiva se c ≥ −1.Se c ≤ −1, allora f : R → (−∞, 1 + c) ∪ [0, +∞),f −1 : (−∞, 1 + c) ∪ [0, +∞) → R e⎧⎨ 1 + x 2 se x ≥ 0f −1 (x) =⎩x − c se x < 1 + c.6. g ◦ f : [−1, 1] → [0, 1], (g ◦ f)(x) = √ 1 − x 2 ;f ◦ g : [0, +∞) → (−∞, 0], (f ◦ g)(x) = 1 − x, x ≥ 0.7. (g ◦ f)(x) = −(2x 2 − 4x + 1).