Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza

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46 CAPITOLO 6. GLI ESPERIMENTI DI FOTOCORRELAZIONEPossiamo immaginare il volume V che diffonde suddiviso in tante piccoleregioni ciascuna di volume molto più piccolo della lunghezza d’onda dellaluce incidente al cubo. La regione n-esima produrrà un campo di diffusioneE (n)scioèed il campo complessivo sarà dato dalla sovrapposizione dei vari E (n)s ,E s = ∑ nE (n)s (6.3)Se le particelle che diffondono luce, contenute in ciascuna ragione, si muovonoindipendentemente le une dalle altre il campo E s è il risultato della sommadi tante variabili casuali indipendenti E s (1) ,E s (2) , .... Quindi anche E ssarà una variabile casuale ed avrà distribuzione Gaussiana per il teoremadel limite centrale. I momenti della distribuzione Gaussiana E s sono determinatiuna volta noti il primo ed il secondo momento che sono rispettivamente2 I 1 (0) = 〈Es ∗(0)E s(0)〉 = 〈|E s (0)| 2 〉 ed I 1 (t) =〈E ∗ s (0)E s (t)〉. Ilquarto momento della distribuzione ècosì determinatoI 2 (t) =|I 1 (0)| 2 + |I 1 (t)| 2 (6.4)L’assunzione importante per ricavare questo risultato è che il volume chediffonde possa essere suddiviso in tante porzioni statisticamente indipendenti.In alcuni casi ciò può non essere valido. Per esempio, nelle vicinanze delpunto critico, i sistemi hanno lunghezze di correlazione molto grandi; intal caso bisogna fare attenzione a usare la (6.4). In particolare occorre cheil volume che diffonde sia abbastanza grande da contenere molti volumi dicorrelazione per giustificare l’uso del teorema del limite centrale.Se la I 1 (t) è una somma di esponenziali (come di frequente)I 1 (t) = ∑ ja j e −t/τ j(6.5)avremo che|I 1 (0)| 2 = ∑ j∑a j a i = ∑i jia j a ieche|I 1 (t)| 2 = ∑ ja j e −t/τ ∑ja i e −t/τ i= ∑ijia j a i e −(t/τ j )−(t/τ i )quindi la (6.4) divieneI 2 (t) = ∑ jia j a i [1 + e −(t/τ j )−(t/τ i ) ]. (6.6)Si noti che un processo a decadimento esponenziale multiplo introduce numerositermini misti nella funzione di correlazione omodina, ciascuno contempo di decadimento τ j τ i /(τ j + τ i ).2 La I 1(t) è detta anche funzione di correlazione eterodina esarà discussa nel seguito.
6.2. FOTOCORRELAZIONE ETERODINA 476.2 Fotocorrelazione eterodinaIn tale tecnica una piccola frazione della luce laser non diffusa è mischiata alrivelatore con la luce diffusa. Allora l’uscita del rivelatore viene analizzatacon un correlatore. Se con E L indichiamo il campo della radiazione del laser,allora il campo elettrico che arriva al rivelatore è la sovrapposizione di E L edel campo diffuso E s . Quindi la funzione di correlazione saà〈i(0)i(t)〉 ∝〈|E L (0) + E s (0)| 2 + |E L (t)+E s (t)| 2 〉 (6.7)Con dei semplici accogimenti sperimentali possiamo fare in modo chel’ampiezza del campo del laser sia molto più grande dell’ampiezza del campodiffuso|E L (t)| ≫|E s (t)|Inoltre possiamo fare le seguenti approssimazioni1. Le fluttuazioni del campo laser sono trascurabili2. Il campo laser e il campo diffuso sono statisticamente indipendenticosicché, ad esempio, 〈I L I s 〉 = 〈I L 〉〈I s 〉In questo modo la (6.7) può essere ridotta a〈i(0)i(t)〉 ∼ = I L 2 +2I L Re[I 1 (t)] (6.8)dove I L = 〈|E L | 2 〉 ed Re[I 1 (t)] è la parte reale di I 1 (t). Come già accennatola I 1 (t) èlafunzione di correlazione eterodina definita comeI 1 (t) =〈E s ∗ (0)E s (t)〉Si noti che la tecnica eterodina non introduce termini extra nella funzionetempocorrelazione del campo diffuso, a differenza dello funzione dicorrelazione omodina di un processo a decadimento esponenziale multiplo(6.6).
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138 APPENDICE E. ACCOPPIAMENTO ROTO
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