Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza

5.1. RISULTATI DELLA TEORIA DELL’ELETTROMAGNETISMO 39E s (R, t) = E 04πRε 0e i(k f R−ω i t) {n f · [k f × (k f × (δε(q,t) · n f ))]} (5.7)che può essere ridotta 1 aE s (R, t) = −k f 2 E 0e i(k f R−ω i t) δε if (q,t) (5.8)4πRε 0avendo definito ε if (q,t)=n i · δε(q,t) · n f che è la componente della fluttuazionedella costante dielettrica lungo le polarizzazioni iniziale e finale. Lafunzione di correlazione dipendente dal tempo 2 del campo (5.8) può allorascriversi come〈E s ∗ (R, 0)E s (R, t)〉 = k f 4 |E 0 | 216π 2 R 2 ε 02 〈δε if ∗ (q, 0)δε if (q,t)〉e −iω it(5.9)E’utile ora introdurre la densistà spettrale o spettro di potenza del campoelettrico E, definita come la trasformata di Fourier della funzione diautocorrelazioneI(ω) = 1 ∫ +∞dt e −iωt 〈E ∗ (0)E(t)〉 (5.10)2π −∞Quindi, usando la (5.9), per il campo diffuso avremoI if (q,ω f ,R)= 1 k 4 f |E 0 | 2 ∫ +∞2π 16π 2 R 2 dt 〈δε ∗ε 2if (q, 0)δε if (q,t)〉e i(ω f −ω i )t0 −∞(5.11)Notiamo che nella (5.11)1. I if ∝ k 4 f ∝ λ−42. I if ∝ R −23. I if dipende da ω i edaω f solo attraverso la loro differenza ω f −ω i =∆ωLa proporzionalità aλ −4 spiega perché il cielo è blu: le lunghezze d’onda piùpiccole (come il blu) subiscono molto di più la diffusione. La proporzionalitàa R −2 è la semplice attenuazione dell’onda sferica. Si ha inoltre un cambiamentodi frequenza ∆ω solo se la δε(q,t) varia col tempo, infatti se essa nondipendesse dal tempo l’integrale della (5.11) si ridurrebbe a ∫ +∞−∞ dt ei(ω f −ω i )tche è diverso da zero solo se ω f = ω i .1 Usiamo A × (B × C) =B(A · C) − C(A · B)2 Si noti che la funzione di autocorrelazione appropriata per un’osservabile A a valoricomplessi, come il campo elettrico, è.〈A ∗ 1(0)A(τ)〉 = limT →∞ T∫ T0A ∗ (t)A(t + τ)dt