Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza

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34 CAPITOLO 4. DIFFUSIONE DELLA LUCE E CORRELAZIONE1〈A〉 ≈ limN→∞ N〈A(0)A(τ)〉 ≈ limN→∞1NN∑A(j∆t) (4.5)j=1N∑A(j∆t)A((j + n)∆t) (4.6)j=1Si noti che alcuni termini nella sommatoria (4.6) possono essere negativied andranno a cancellare termini positivi. Considerando invece 〈A 2 (0)〉 =〈A(0)A(0)〉 si ha che tutti i termini nella (4.6) sono positivi o nulli quindiavremo〈A 2 1N∑1N∑(0)〉 ≈ lim A(j∆t)A(j∆t) = lim A 2 (j∆t) (4.7)N→∞ NN→∞ Nj=1j=1〈A 2 (0)〉 ≥ 〈A(0)A(t)〉 (4.8)Quindi la funzione di correlazione decade dal suo valore iniziale 〈A 2 (0)〉che deve essere il massimo. Inoltre ci aspettiamo che, per τ molto granderispetto ai tempi tipici delle fluttuazioni, la A(t)elaA(t+τ) siano totalmentescorrelate quindilim 〈A(0)A(τ)〉 = 〈A(0)〉〈A(τ)〉 = τ→∞ 〈A〉2 (4.9)Allora la funzione di correlazione all’aumentare del tempo decade dal suovalore massimo 〈A 2 〉 al valore 〈A〉 2 (come esempio si consideri la Figura 4.4).In molti casi pratici la funzione di correlazione decade come un esponenzialesingolo della forma〈A(0)A(τ)〉 = 〈A〉 2 +[〈A 2 〉−〈A〉 2 ]exp(− τ )(4.10)τ rdove τ r è detto tempo di rilassamento o tempo di correlazione dell’osservabileA (Figura 4.4.).4.2 Funzioni di correlazione mediate sull’ensembleLe funzioni di correlazione (dipendenti dal tempo) che illustreremo nel seguitosono misurate effettivamente attraverso una media sul tempo, tuttavia(nella maggior parte dei calcoli teorici) esse vengono calcolate con una mediadi ensemble. In base al teorema ergodico 1 possiamo affermare che lamedia sul tempo (4.3) sia identica alla media sullo spazio delle fasi (mediadi ensemble) definita come1 La dimostrazione dell’ergodicità di un sistema (necassaria per l’applicazione del teorema)può essere effettuata solo per alcuni casi molto semplici, tuttavia le predizioni dellateoria degli ensable sono talmente consitenti con gli esperimenti che possiamo assumerelacome un principio.
4.2. FUNZIONI DI CORRELAZIONE MEDIATE SULL’ENSEMBLE 35Figura 4.4: La funzione di correlazione dellosservabile A nel caso di decadimentoesponenziale singolo.∫〈A〉 =dΓp(Γ)A(Γ)dove Γ = (r 1 , ..., r N , p 1 , ..., p N ) rappresenta un punto nello spazio delle fasiche definisce perfettamente il sistema assegnando ad ognuna delle N particelleimpulso e posizione 2 e p(Γ)dΓ rappresenta la probabilità (infinitesima)di trovare il sistema nell’intorno dello stato Γ. p(Γ) è la funzione di distribuzione(di equilibrio) dell’ensemble specifico. Ad esempio per l’ensamblecanonico si ha (si veda anche il Par. 2.1)p(Γ) = 1 Q e−βH(Γ)Vogliamo sottolineare che ciascun membro dell’ensemble (identficato univocamenteda un punto nello spazio delle fasi) rappresenta uno stato distintodel sistema che si evolve secondo le equazioni canoniche di Hamilton⎧⎪⎨ṙ i = ∂H∂p i⎪⎩ṗ i = − ∂H∂r idove i =1, ..., 3N. Le precedenti equazioni descrivono una traiettoria nellospazio delle fasi (avente origine dal punto Γ 0 )Γ t =(r 1 (t), ..., r N (t), p 1 (t), ..., p N (t))2 Nel caso più generale in cui le particelle abbiano ulteriori gradi di libertà (comeadesemio degli angli di orientazione θ e φ) lospaziodellefasisarà costruito tenendo contoanche di essi.
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138 APPENDICE E. ACCOPPIAMENTO ROTO
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