Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza
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4.1. FLUTTUAZIONI E FUNZIONI DI CORRELAZIONE 33∫ T +t0Ā(t 0 ,T)= 1 A(t)dt. (4.1)T t 0<strong>La</strong> me<strong>di</strong>a ha significato solo se il tempo T su cui è fatta è grande rispettofluttuazioni <strong>di</strong> A. Idealmente A andrebbe me<strong>di</strong>ato su un tempo infinitocome segue∫1 T +t0Ā(t 0 ,T) = lim A(t)dt (4.2)T →∞ T t 0Nella meccanica statistica si assume che tale me<strong>di</strong>a sia in<strong>di</strong>pendente da t 0 ,cioè si assume che A sia una proprietà stazionaria, cioè della forma∫1 T〈A〉 = lim A(t)dt (4.3)T →∞ T 0Figura 4.3: L’osservabile A che fluttua nel tempo, l’asse dei tempi è stato sud<strong>di</strong>viso inintervalli <strong>di</strong>screti ∆t.<strong>La</strong> A(t) somiglia ad un segnale <strong>di</strong> rumore (Figura 4.3) e sarà <strong>di</strong>versaa<strong>di</strong>stanti del tempo <strong>di</strong>versi A(t) ≠ A(t + τ). Ovviamente se τ è molto piccolorispetto ai tempi tipici delle fluttuazioni le due A(t) edA(t + τ) <strong>di</strong>fferiranno<strong>di</strong> poco (sono correlate), ma per τ grande esse potranno essere molto <strong>di</strong>verse(si perde la correlazione). Definiamo quin<strong>di</strong> la funzione <strong>di</strong> autocorrelazionedell’osservabile A come∫1 T〈A(0)A(τ)〉 = lim A(t)A(t + τ)dt (4.4)T →∞ T 0Dovendo calcolare la me<strong>di</strong>a (4.4) a passi <strong>di</strong>screti (per un tempo finito), adesempio in un esperimento, considereremo lasse del tempo <strong>di</strong>viso in intervalli∆t ed in<strong>di</strong>chiamo t = j∆t, τ = n∆t e T = N∆t (sinotichet+τ =(j +n)∆t). Dalla definizione <strong>di</strong> integrale possiamo approssimare la (4.3) e la (4.4)come