Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza

4.1. FLUTTUAZIONI E FUNZIONI DI CORRELAZIONE 33∫ T +t0Ā(t 0 ,T)= 1 A(t)dt. (4.1)T t 0La media ha significato solo se il tempo T su cui è fatta è grande rispettofluttuazioni di A. Idealmente A andrebbe mediato su un tempo infinitocome segue∫1 T +t0Ā(t 0 ,T) = lim A(t)dt (4.2)T →∞ T t 0Nella meccanica statistica si assume che tale media sia indipendente da t 0 ,cioè si assume che A sia una proprietà stazionaria, cioè della forma∫1 T〈A〉 = lim A(t)dt (4.3)T →∞ T 0Figura 4.3: L’osservabile A che fluttua nel tempo, l’asse dei tempi è stato suddiviso inintervalli discreti ∆t.La A(t) somiglia ad un segnale di rumore (Figura 4.3) e sarà diversaadistanti del tempo diversi A(t) ≠ A(t + τ). Ovviamente se τ è molto piccolorispetto ai tempi tipici delle fluttuazioni le due A(t) edA(t + τ) differirannodi poco (sono correlate), ma per τ grande esse potranno essere molto diverse(si perde la correlazione). Definiamo quindi la funzione di autocorrelazionedell’osservabile A come∫1 T〈A(0)A(τ)〉 = lim A(t)A(t + τ)dt (4.4)T →∞ T 0Dovendo calcolare la media (4.4) a passi discreti (per un tempo finito), adesempio in un esperimento, considereremo lasse del tempo diviso in intervalli∆t ed indichiamo t = j∆t, τ = n∆t e T = N∆t (sinotichet+τ =(j +n)∆t). Dalla definizione di integrale possiamo approssimare la (4.3) e la (4.4)come