Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza

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22 CAPITOLO 3. SISTEMI FUORI DALL’EQUILIBRIOSecondo l’ipotesi (c), nel limite di t e t w che tendono all’infinito, potremoriscrivere la precedente equazione comeχ A (t, t w )= 1k B T∫ 1C AA (t,t w)du X(u) = 1k B T S (C(t, t w)) (3.1)dove abbiamo effettuato il cambio di variabili u = C AA (t, t ′ ) ed abbiamousato il fatto che il correlatore è normalizzato C AA (t, t) =1. Ricordiamoinoltre che, in base all’ipotesi (a), per tempi brevi la funzione S(C) deveridursi semplicemente aS (C(t, t w )) = 1 − C(t, t w )Possiamo concludere affermando che la relazione di fluttuazione-dissipazioneper un sistema fuori dall’equilibrio è descritta dalla funzione S(C) checomparenella (3.1). In particolare essa contiene informazioni sulla generalizzazionedel TFD. I diversi sistemi studiati in letteratura, essenzialmenteattraverso simulazioni numeriche, possono essere raggruppati in tre principalicategorie a seconda della forma che assume la funzione S(C) comevedremo nel prossimo Paragrafo.3.3 Classificazione dei modelliI vari sistemi fuori dall’equilibrio mostrano un differente comportameno nellageneralizzazione del TFD. In particolare la forma che assume la relazionedi fluttuazione-dissipazione può essere legata alla funzione di distribuzionedelle sovrapposizioni odeglioverlap P (q).Per comprendere questo legame consideriamo la funzione di correlazionenel limite t, t w →∞. Come abbiamo detto la violazione X diviene unafunzione della sola C AAlim X(t, t w)=X (C(t, t w )) = X(q)t,t w→∞Si può dimostrare infatti 2 che il valore X(q) è direttamente legato allafunzione di distribuzione P (q) dalla relazioneX(q) =∫ q0dq ′ P (q ′ )La P (q) rappresenta la probabilità di trovare due copie (o repliche) delsistema, lasciate evolvere in maniera indipendente dall’istante t w a t, conuna sovrapposizione q. LaformaassuntadallaP (q) è legata alla tipologiadi rottura di simmetria delle repliche che si verifica nel sistema posto fuoridall’equilibrio. Non entreremo nel dettaglio descrivendo il significato o leproprietà della funzione P (q) nei vari modelli, giacché essi sono ampiamenteapprofonditi in letteratura [6]. Vogliamo sottolineare tuttavia il fatto che aduna determinata forma della P (q) corrispondono diverse forme della funzioneS(C) (3.1), infattti si ha2 Si veda ad esempio la ref. [5].
3.3. CLASSIFICAZIONE DEI MODELLI 23S(C) =∫ 1Cdu∫ u0dq ′ P (q ′ )Un classificazione dei vari modelli può essere effettuata direttamenteconoscendo le caratteristiche della funzione P (q) [7]. Nonostante ciò, dalpunto di vista computazionale e sperimentale, risulta di maggiore utilitàcomprendere la forma della funzione S(C) determinata da una particolareP (q). In tal modo è possibile confrontare direttamente la S(C) conundiagramma che riporti la suscettività in funzione del correlatore. In basealla modalità della rottura delle repliche simmetriche che si ha per il sistemafuori dall’equilibrio possiamo distingure tre principali categorie di modelli,ciascuno con una forma caratteristica della funzione S(C):(a) I sistemi la cui fase di raffreddamento è ben rappresentata da un unicostato. La funzione P (q) per questi modelli ha la forma di una delta diDirac (Fig. 3.2(1))P (q) =δ(q − q 0 )dove q 0 è un valore costante che nel caso dei sistemi ferromagneticicoincide con la magnetizzazione spontanea a temperatura T b . In talimodelli non si ha alcuna rottura di simmetria delle repliche e lo statoche il sistema raggiunge al limite dell’invecchiamento può esserespecificato attarverso il solo parametro q 0 . Di questa categoria fannoparte i sistemi di Ising a siti diluiti, quelli con campo casuale [8] ed ingenerale i sistemi con accrescimento dei domini [9]. Il grafico di χ infunzione di C fuori dall’equilibrio per questi modelli ha l’andamentomostrato in Figura 3.2(2), la S(C) è in pratica una retta orizzontalenella regione C2 risolti in campo medio, i sistemi binari di sfere sofficie quelli di Lennard-Jones. Il grafico χ vs C al di fuori dell’equilibrioperquesticasisarà dato da due rette (Fig. 3.3(2)).(c) L’ultima categoria raggruppa tutti i modelli con rottura infinita dellerepliche. Essi sono caratterizzati da una funzione P (q) diversa da zeroin tutto l’intervallo q ∈ [0,q 0 ] che presenta comunque una delta inq = q 0 (Fig. 3.4(1)). Di questo gruppo fanno parte il modello diSherrington-Kirkpatrick e quello di Edwards-Anderson. La forma delTFD fuori dall’equilibrio è mostrata in Figura 3.4(2).E’ bene sottolineare comunque che in ognuno dei casi elencati nella zona incui C>q 0 (che corrisponde ai tempi (t − t w )/t w < 1) il sistema è in uno
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138 APPENDICE E. ACCOPPIAMENTO ROTO
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