Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza
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22 CAPITOLO 3. SISTEMI FUORI DALL’EQUILIBRIOSecondo l’ipotesi (c), nel limite <strong>di</strong> t e t w che tendono all’infinito, potremoriscrivere la precedente equazione comeχ A (t, t w )= 1k B T∫ 1C AA (t,t w)du X(u) = 1k B T S (C(t, t w)) (3.1)dove abbiamo effettuato il cambio <strong>di</strong> variabili u = C AA (t, t ′ ) ed abbiamousato il fatto che il correlatore è normalizzato C AA (t, t) =1. Ricor<strong>di</strong>amoinoltre che, in base all’ipotesi (a), per tempi brevi la funzione S(C) deveridursi semplicemente aS (C(t, t w )) = 1 − C(t, t w )Possiamo concludere affermando che la relazione <strong>di</strong> <strong>fluttuazione</strong>-<strong>di</strong>ssipazioneper un sistema fuori dall’equilibrio è descritta dalla funzione S(C) checomparenella (3.1). In particolare essa contiene informazioni sulla generalizzazionedel TFD. I <strong>di</strong>versi sistemi stu<strong>di</strong>ati in letteratura, essenzialmenteattraverso simulazioni numeriche, possono essere raggruppati in tre principalicategorie a seconda della forma che assume la funzione S(C) comevedremo nel prossimo Paragrafo.3.3 Classificazione dei modelliI vari sistemi fuori dall’equilibrio mostrano un <strong>di</strong>fferente comportameno nellageneralizzazione del TFD. In particolare la forma che assume la relazione<strong>di</strong> <strong>fluttuazione</strong>-<strong>di</strong>ssipazione può essere legata alla funzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzionedelle sovrapposizioni odeglioverlap P (q).Per comprendere questo legame consideriamo la funzione <strong>di</strong> correlazionenel limite t, t w →∞. Come abbiamo detto la violazione X <strong>di</strong>viene unafunzione della sola C AAlim X(t, t w)=X (C(t, t w )) = X(q)t,t w→∞Si può <strong>di</strong>mostrare infatti 2 che il valore X(q) è <strong>di</strong>rettamente legato allafunzione <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione P (q) dalla relazioneX(q) =∫ q0dq ′ P (q ′ )<strong>La</strong> P (q) rappresenta la probabilità <strong>di</strong> trovare due copie (o repliche) delsistema, lasciate evolvere in maniera in<strong>di</strong>pendente dall’istante t w a t, conuna sovrapposizione q. <strong>La</strong>formaassuntadallaP (q) è legata alla tipologia<strong>di</strong> rottura <strong>di</strong> simmetria delle repliche che si verifica nel sistema posto fuoridall’equilibrio. Non entreremo nel dettaglio descrivendo il significato o leproprietà della funzione P (q) nei vari modelli, giacché essi sono ampiamenteapprofon<strong>di</strong>ti in letteratura [6]. Vogliamo sottolineare tuttavia il fatto che aduna determinata forma della P (q) corrispondono <strong>di</strong>verse forme della funzioneS(C) (3.1), infattti si ha2 Si veda ad esempio la ref. [5].