Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza

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20 CAPITOLO 3. SISTEMI FUORI DALL’EQUILIBRIO(a)T a> T bT bfC AA(t,t 0) (T a) (T b)log(t-t 0)(b)fC AA(t,t w)t w= 0 t w (T b)log(t-t w)Figura 3.1: (a) Funzione di correlazione per un sistema che mostra una dinamica veloceed una lenta, a due diffrerenti temperature T b
3.2. ESTENSIONE DEL TEOREMA FUORI DALL’EQUILIBRIO 21nel tempo.Risulta spontaneo domandarsi cosa succede alla risposta del sistema sottopostoad un tale processo di invecchiamento. In particolare ci chiediamo sela risposta può essere ancora dedotta dalla funzione di correlazione attraversouna relazione tipo TFD. Come vedremo nel prossimo Paragrafo può essereproposta un generalizzazione dell’equazione di fluttuazione-dissipazione, tuttaviai vari modelli (sistemi di spin, liquidi con potenzaile di interazione ecc.)mostreranno una diversa forma del TFD.3.2 Estensione del teorema fuori dall’equilibrioRicordiamo che il TFD per un sistema all’equilibrio può essere espressoattraverso la relazione (2.31)R A (t, t ′ )= 1k B T∂∂t ′ C AA(t, t ′ )Se il sistema è all’equilibrio le funzioni di risposta R(t, t ′ ) e la funzione dicorrelazione C(t, t ′ ) non dipendono dall’istante t ′ in cui iniziamo a misurarle,cioè esse godono di invarianza per traslazione temporale (TTI) per cuiR(t, t ′ )=R(t − t ′ )eC(t, t ′ )=C(t − t ′ ).Per i sistemi fuori dall’equilibrio termodinamico le funzioni di risposta ela funzione di correlazione non godranno più della TTI. Secondo lo scenarioproposto da Kurchan e Cugliandolo [4] avremo tuttavia che:(a) Per tempi brevi, cioè (t − t ′ )/t ′ ≪ 1, il sistema è in uno stato di quasiequilibrio.In questa scala di tempi vale il TFD espresso dall’equazione(2.31).(b) Quando si ha (t − t ′ )/t ′ ∼ 1ilTFDè modificato dal fattore moltiplicativoX(t, t ′ )comesegueR A (t, t ′ )= X(t, t′ )k B T∂∂t ′ C AA(t, t ′ )(c) La funzione X(t, t ′ )pert e t ′ che tendono all’infinito è una funzione deltempo solo attraverso la funzione di correlazione Clim X(t,t,t ′ →∞ t′ )=X ( C AA (t, t ′ ) )La X(C) qui introdotta può anche essere messa in relazione con la temperaturaefficace. Lo scostamento della funzione X dal valore unitario quantificala violazione del TFD.Nelle simulazioni, come anche negli esperimenti, è conveniente considerarela risposta integrata χ a partire dall’istante 1 t w in cui accendiamo ilcampo esternoχ A (t, t w )=∫ tdt ′ X(t, t′ )t wk B T∂∂t ′ C AA(t, t ′ )1 t w è detto anche tempo di attesa.
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138 APPENDICE E. ACCOPPIAMENTO ROTO
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