Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza

16 CAPITOLO 2. TEORIA DELLA RISPOSTA LINEARE∫ t ∫ ∫〈δB(t)〉 = −F 0 dt ′′ dq N dr N {A, p 0 } B(t ′′ )Scivendo esplicitamente le parentesi di Poisson avremo{A, p 0 } ==3N∑i=13N∑i=10( ∂A ∂p 0− ∂p )0 ∂A∂q i ∂p i ∂q i ∂p i(∂A ∂e −βH 0− ∂e−βH 0∂q i ∂p i ∂q i= −βe −βH 03N∑i=1)∂A∂p i( ∂A ∂H 0− ∂H )0 ∂A∂q i ∂p i ∂q i ∂p i= −βp 0 {A, H 0 } (2.19)Per ottenere la (2.19) abbiamo usato la definizione della funzione di distribuzioneall’equilibrio (2.2).Possiamo usare ora la (2.6) per scrivereCosì la (2.19) diverrà{A, H 0 } = −Ȧ{A, p 0 } = βp 0 ȦGrazie a questa equazione potremo riscrvivere la (2.16) come〈δB(t)〉 = −F 0 β∫ t0∫ t= −F 0 β∫= −F 0 β0∫ ∫dt ′′ dq N dr N Ȧp 0 B(t ′′ )∫ ∫dt ′′ dq N dr N p 0 A Ḃ(t′′ )∫dq N dr N p 0 A [B(t) − B(0)]= F 0 β [〈A(0) B(0)〉 0 −〈A(0) B(t)〉 0 ] (2.20)L’equazione (2.20) permette di scrivere la funzione di risposta in terminidella funzione di correlazione delle osservabili A e B per il sistemaall’equilibrio. Indicando la funzione di correlazione in maniera compattaconavremo infattiC AB (t) =〈A(0) B(t)〉 0ψ AB (t) =β [C AB (0) − C AB (t)]La trattazione che porta alle equazioni analoghe per lo studio del rilassamentoè identica a quella appena riportata per l’eccitazione. Senza ripeterela dimostrazione affermiamo allora che la variazione della media di B puòessere scritta come