Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza

14 CAPITOLO 2. TEORIA DELLA RISPOSTA LINEAREδp(t) ==∫ t= −−∞∫ t−∞∫ tdt ′ e iL 0(t ′ −t) (−i L ext p 0 )dt ′ e iL 0(t ′ −t) {H ext,p0 }−∞dt ′ e iL 0(t ′ −t) F (t ′ ) {A, p 0 } (2.12)dove abbiamo usato la definizione (2.9) di L ext eladefinizionediH ext datanella (2.4).L’equazione (2.12) permette di trovare la variazione del valor medio diun’osservabile in presenza del campo esterno per ogni sollecitazione a cuipossiamo sottoporre il sistema. Nel prossimo Paragrafo vedremo come èpossibile trovare queste variazioni medie nel caso di un esperimento di eccitazione;inoltre, in base a tale risultato, saremo in grado di esprimere la variazionedell’osservabile dinamica anche nei casi di rilassamento e suscettività.Se studiamo l’eccitazione possiamo utilizzare la (2.1) ponendo t 0 =0senzaperdere generalità, così la (2.12) assumerà laforma∫ tδp(t) = − dt ′ e iL 0(t ′ −t) F 0 Θ(t ′ ) {A, p 0 }−∞∫ t= −F 0 dt ′ e iL 0(t ′ −t) {A, p 0 } (2.13)02.3 Variazione della media per l’eccitazioneConsideriamo una generica osservabile B(q N , p N ) che, in assenza di forzeesterne, abbia un valor medio stazionario dato da∫ ∫〈B〉 0 = dq N dr N p 0 B(q N , p N )Quando andiamo ad eccitare il sistema con un forza esterna a gradino il valormedio di tale osservabile subirà una variazione lineare nella perturbazionepari a∫〈δB(t)〉 = 〈B(t)〉−〈B〉 0 =dq N ∫dr N δp(t) B(q N , p N ) (2.14)Utilizzando la (2.13) nella (2.14) avremo∫ t ∫〈δB(t)〉 = −F 0 dt ′0∫ t ∫= −F 0 dt ′0∫ t ∫= −F 0 dt ′0dq N ∫dq N ∫dq N ∫( )dr N e iL 0(t ′ −t) {A, p 0 } Bdr N {A, p 0 }()e −iL 0(t ′ −t) Bdr N {A, p 0 } B(t − t ′ ) (2.15)