Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza

12 CAPITOLO 2. TEORIA DELLA RISPOSTA LINEARE1. Il sistema possiede un’Hamiltoniana di equilibrio H 0 (q N , p N )inassenzadi campo esterno2. La funzione di distribuzione di probabilità del sistema all’equilibrio èdata dap 0 = 1 Q e−βH 0(2.2)dove β = 1k B T .3. La funzione di partizione è definita come∫ ∫1Q N (V,T) =h 3N dq N dp N e −βH 0(2.3)N!nell’ensemble canonico. Qui h èlacostantediPlanck.Secondo l’assunzione (2) del Par.2.1 all’accensione della forza esternaF (t) si deve avere un contributo di energia F (t) A(q N , p N )checomparirànell’Hamiltoniana totale del sistema come 2H(t) =H 0 − F (t) A(q N , p N )=H 0 + H ext (t) (2.4)dove abbiamo defnito H ext (t) =−F (t) A(q N , p N ). A causa dell’accensionedel campo esterno la funzione di distribuzione (2.2) verrà modificata comeseguep(t) =e −βH(t) = e −β[H 0+H ext(t)]Se il contributo di energia portato dal campo esterno nel sistema è sufficentementepiccolo potremo approssimare la precedenete equazione scrivendop(t) ≃ e −βH 0[1 + βH ext (t)] = p 0 + δp(t) (2.5)dove abbiamo definito δp(t) =e −βH 0βH ext (t).Il sistema sottosposto allo stimolo esterno può essere sempre descrittodalle equazioni canoniche di Hamilton 3 . Tali equazioni descivono l’evoluzionedi tutte le 3N coordinate ed i 3N impulsi generalizzati delle particelle delsistema e possono essere tradotte in un’equazione per l’evoluzione di unagenerica osservabile O(q N , p N )∂ O∂t = −i LO(qN , p N )={H, O} (2.6)dove L è l’operatore Liouvilliano definito come segue 4LO(r N , p N )=i {H, O}2 Si usa convenzionalemente un segno meno per il contributo F (t) A poichè ilcampoesterno induce in genere uno stato di energia inferiore per il sistema; si pensi ad esempioad un campo elettrico E che agisce su un insieme di particelle con momento di dipolopermanente d, il contributo all’energia del sistema sarà allora U = −d · E.3 Si veda anche il Par.4.2.4 Qui(le parentesi graffe indicano le parentesi di Poisson: {H,O} =∂H)∂O∂q i ∂p i− ∂O ∂H∂q i ∂p i.∑ 3Ni=1