Relazione di fluttuazione-dissipazione generalizzata ... - La Sapienza
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10 CAPITOLO 2. TEORIA DELLA RISPOSTA LINEAREqualunque forma funzionale della F (t). Tuttavia, per meglio comprendere ilsignificato fisico <strong>di</strong> tale teoria, è bene considerare quattro forme fondamentaliper la F (t) che permettono <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are ciascuna un <strong>di</strong>fferente tipo <strong>di</strong> rispostadel sistema:(a) Stu<strong>di</strong>o dell’eccitazione Ad un certo istante <strong>di</strong> tempo t 0 la forza esterna<strong>di</strong> intensità F 0 viene accesa e perdura per un tempo infinito. <strong>La</strong> F (t)potrà essere scritta comeF (t) =F 0 Θ(t − t 0 ) (2.1)dove Θ(t−t 0 )è la funzione a gra<strong>di</strong>no <strong>di</strong> Heaviside. In questa situazionesi stu<strong>di</strong>a appunto come il sistema si porta verso un nuovo stato <strong>di</strong>equilibrio (Figura 2.1(a)).(b) Stu<strong>di</strong>o del rilassamento Il campo sterno tenuto acceso per un tempoinfinito viene spento in un certo istante t 0 . Si prende quin<strong>di</strong> in esameil sistema che torna all’equilibrio (Figura 2.1(b)).(c) Stu<strong>di</strong>o della suscettività Ad un certo istante t 0 viene attivato un campoesterno oscillante della formaF (t) =F 0 Θ(t − t 0 )cos(ω(t − t 0 ))In questo modo stu<strong>di</strong>amo la funzione suscetività del sistema che definiremonel seguito (Figura 2.1(c)).(d) Stu<strong>di</strong>o della risposta all’impulso istantaneo In questo caso la forzaesternahalaforma<strong>di</strong>undelta<strong>di</strong>DiracF (t) = F 0τ δ(t − t 0)In questo modo si esamina la reazione del sistema ad una sollecitazioneistantanea.Noi stu<strong>di</strong>eremo nel dettaglio l’esperimento <strong>di</strong> eccitazione, tuttavia sele con<strong>di</strong>zioni specificate all’inizio sono sod<strong>di</strong>sfatte esiste una relazione tra i<strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong> risposta appena elencati come vedremo tra breve. In aggiunta,considerando un sistema che si trova inizialmente in uno stato <strong>di</strong> equilibrio,potrà essere calcolata la variazione della me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> qualsiasi osservabile aseguito dell’azione dello stimolo esterno.2.2 Risposta lineare all’equilibrioMostreremo ora come possa essere calcolata la variazione del valor me<strong>di</strong>o <strong>di</strong>un’osservabile mo<strong>di</strong>ficata dal campo <strong>di</strong> forze esterno per un sistema all’equilibrio.Per fare questo dovremo trovare la variazione della <strong>di</strong>tribuzione<strong>di</strong> probabilità δp(t) indotta dalla forza esterna.Elenchiamo dapprima le proprietà meccanico-statistiche del sistema all’equilibrio: