О Ð½ÐµÐºÐ¾Ñ‚Ð¾Ñ€Ñ‹Ñ ÑÐ²Ð¾Ð¹ÑÑ‚Ð²Ð°Ñ Ð¾Ñ€Ñ‚Ð¾Ð³Ð¾Ð½Ð°Ð»ÑŒÐ½Ñ‹Ñ ÑÐ¸ÑÑ‚ÐµÐ¼ ÑÑ Ð¾Ð´Ð¸Ð¼Ð¾ÑÑ‚Ð¸

E. M. Никишиным [7J для всякого числа р, 1^/? L° (0, 1) такой, что для любого множестваЕ с ЕС [0, 1], |х£>0sup f\(G(a)ydx V ' P 00 .Тем самым теорема А при 1^р£°(0, l) — линейный ограниченный оператор, тоизвестно (см. [14, 13]), что теорему А можно усилить, а именно справедливаТеорема Б. Пусть р^2 и G:Z ->L 0 (0, l) — линейный ограниченныйоператор, тогда для любого е^>0 найдутся множество Е е CZ [0, 1] с \хЕ в^>]> 1 — eu постоянная С в такие, что\\G(a)l 4Eû^C t \\ab p .Теорему Б можно получить последовательным применением теоремы А и теоремыА. Гротендика [4], согласно которой для любого линейного ограниченногооператора G:Z JO -^L 1 (0, 1) (р^2) справедливо равенство G(a) —= Н (a)f 0 (x), где H :l p ->L 2 (0, 1)—ограниченный оператор, а функция / 0 (х)не зависит от а.Из теоремы Б следует, что примеры, построенные Е. М. Никишинымпри 1 ^ р l00 (q — целое число). Определим систему функций{/?(*)}.?2, ...,N — yjN:Я(Фг ; Л 1 \£ — 1ХТ'А OTMWQira 1(1 I , /V - 72 I 1ТП "TrVJtfXTR ТТПТ/Г T L Iна отрезке [0, 1—N~' !2 ], положив при х£\—»т—> "лг)> * ==^>О при 1

Хорошо известно (см., например, [5]), что система {/J(х)} удовлетворяет следующемунеравенству:Sc,/J(*)(N

и поэтому при х Ç А С > 0 при 1 < к < logf /V (12)(2- fc , г-^1]—Аи, следовательно,/ 1 V /2 / 10g2^ ^J (g* (x)f dx\ > Ig J Gtf (*)) 2 ^ \> С log 2 /V.Г» / \ 9.—^ /Докажем еще одно свойство системы функций {gj(x)}.Лемма 1. Для любых чисел N — 2 2q , y^>0 и любойa ~{ a j}j=iме Р аM*G[0> 1]:«Г в («)= SU P(12')последовательности2»^ (*>>*

Из оценки (14) следует, что12^№« с 24г=1 J=lпоэтому, просуммировав неравенства (15) по всем i(l^i^N — \JN), получимV>fx-z£l) { ^ш ёа ( х ) >У\ < ~г 2 а -что вместе с (13) доказывает лемму 1.Построим теперь ОНС {2>10 — целое) и при каждом кiV|.2W*)'

Так как 2 Л^2< С оо (см. (16)) и по предположениюк—100/s k+i2 2 «2 0 определитьряд вида (18) такой, чтоv2п. sup 2а п?п( Х ) Ar = оо. (21)я=1£ \l^r10 найдем такой конечный набор непэресэкающихеяотрезков {Ii)^ с двоично-рациональными концами, чторя с и/, и ^(1Ц-^-)>2^|-1=1При /с=1, 2, ... и v —1, 2, . . ., (log 2 7V fc ) 2Ясно, что мераопределим множество/ — м ( m ~~ i I — m ~ 1 I * 1 f22ïЛегко видеть, что при v = l, 2, . . ., [ 1 I 2 log 2 лтг]!*/*, = 2"\ (23)&-»соИспользуя эту оценку, неравенство (12) и определение функций % г (х) (см.(17)), несложно получить, чтоШ Jsup ( 2 -4?,(*))^>С(Я)>0,v = l, 2, ....[Valogam].Складывая последние неравэнзтва па v(ls^v^ [ х / 2 log 2 m]), получаем, что** SSUp2 ~^/Г *» (:r) da: ^**»^*ïhn" 2 S sup У i^*)U*>C(tf)log a m. (24)Так как число m в неравенстве (24) можно взять как угодно большим, тоиз (24) следует, чтоИт \ sup S -— 9 ( x \\dx=œ.Используя последнее равенство, не составляет труда определить числа {aj^так, чтобы выполнялось соотношение (21). Теорема 3 доказана.74

Отметим в заключение одно нзравэнзтво, которым мы воспользуемся в § 2.Из оценки (И), равенства (17) и определения множеств / fciV следует,что при v = l, 2, . . ., (log 2 N k ) 2\ 2 y,W dx^\og?N k 2 c\. (25)J k,v§ 2. Докажем сначала теорему 1, сформулированную в начале работы.Отметим, что приводимое доказательство имеет много общего с доказательствомтеоремы 1 из работы автора [5]. Нам потребуется ряд лемм.Лемма 2 (см., например, [15, с. 36]). Пусть множества Е к с E k Œ [0, 1],Jc=l f 2, . . ., независимы иТогда, если обозначить2ря*= оо.Jc=lМтЕ к = П U Е к , то р. ИшЕ к = 1.к->со п=1 к=п &->соЛемма 3 (см. [1, с 347]). Существуют абсолютные постоянные 0

Определим при каждом TV ^ 10 ортонормированную матрицу A N = {a . { } 4 N . =тследующим образом:a Ji'-l_(#_l)-i при i = J N (у)N \ / N \ V-1Ц4г(29)2ф'(2"' "•У=1 ^ • = 1У=1 >=1где постоянные С , С^, 7V зависят только от числа у, аüf(*) = i Пр Ц х б(^-,^), l

то (см. (29))1N—2\fN—ly=2\/iV+l>J=l* \V 2ViV •^2'* >x \V 2 * V/ av=rl / v=l /Следовательно, из оценки (30) вытекает, что при N ^> N yIМ(х)2 «,№)У=1N,dx^C\ 2 a}) log 2 7V. (31)-у /y (#)} (^ — абсолютная постоянная) ортонормированиина отрезке [0, 1] (см. (7)), то можно воспользоваться известной леммойМеньшова—Радемахера (см. [2, с. 188]) и получить, чтоX й1—ЛГ-7г \ V*(Р /М(х) \2 \ / * y/ 2Применяя теперь J лемму [S *,/?(*)] 4 к функции **) < C/ (2 i 4J log 2 7V. (32)N /з -î, УМ{х)2 «,/?(*)У=1получим благодаря оценкам (31) и (32) утверждение леммы 5.Пусть С и Су — постоянные из леммы 5, к=1, 2, . . ., 1 cpA 2 «î •. n=s,+lИз леммы 5, определения функций {g%(х)}^, {г 2 C^/ fc>v .и посто­Отметим, что так как функции cp w (х), s k

Перейдем к построению искомой систэхмы (ф„(#)}- Прежде всего продолжимсистему {

является системой сходимости. Поэтому для доказательства теоремы 1 достаточнопоказать, что любой ряд2 c.t.W» 2 cl = œ,w=l п=1расходится на множестве положительной меры.Фиксируем ряд вида (38) и положим при &=1, 2, ...(38)Qk+iYU:= 2- Й ' а ъч я =С Л +11№ + !)' я=0А+1По неравенству Коши $ к ^ d k . Пусть абсолютная постоянная С 0 = С 1 С 1^(1/20) Угде C v С 2 —постоянные из леммы 3.Разобьем все натуральные числа к^\ на две группы. В первую группуS 1 отнесем те числа к, для которыхОстальные числа к отнесем к группе S 2 .Покажем прежде всего, что еслито ряд (38) не сходится по мере на отрезке [1, 2J.C 0 hо,Л»оо, Jc6S l(40)В самом деле, из свойств матрицы AN^I И равенства (37) вытекает, чтоQk+i [ Qk+2 c^s) ~w+w\ 2 с »)»*i*)-p(*)n=Q k +l \* к-Г > \n=Q k +l /< съ(tf* + l)'e fc+iгде при #£[1, 2], P(x)= 2 Vn ( x ) ~ полином по системе Радемахера, аП=8 к +1и (х) = г Пх (х). г щ (х) . . .. . г яC 2 . (42)Так как при &£ 5 Х C Q $ k^ d k , то из оценок (41) и (42) при достаточно большихк (А £ i^j) имеемц *G[1, 2]:S с„^„(х)n=Q k +i> ср*рс.Из последнего неравенства непосредственно вытекает расходимость ряда (38)при условии (40). Поэтому нам достаточно теперь доказать расходимость ряда(38) при условии *lim ß A = 0. (43)79

Для данного ряда вида (38) возможны два случая:1) 2ß|=oo, 2) 2ßl

В силу оценки (25) и того, что Jim ß Ä = 0 (см. (43)), имеем2 \\± k (x)\dx+[J /bЯкПоэтому для любого у^>0 мерак Ê^I» k->coS «?„=P m+S/ (*) Ar < С 2 (log 2 /У,)" 1 < œ.lim

Из оценок (56), (54), (51) и равенства (49) имеем2 с А( ж) >* >о.lim {ж: sup+œ, k es[[Qk

Так как 2 ßl-d °°> т0*б».(IM >Далее (см. (57), (60))При этом в силу (58)*Ar+i/}(*) = • 2 (2 TAW+ W AWA s » 1 5 АЯ-1В силу (36) при я£[1, 2] и тг=1, 2, ...2 т! >т2 о):•I -где Р, (х) — полином по системе Радемахера с22 «%^С 1 }>С 2Из оценок (63) и (64) следует (см. (62)), что\х{^^ 3 I *** 2 '^D.C,

Для доказательства теоремы 2 нам потребуется следующее вспомогательноеутверждение.Лемма 6. Пусть {f k {x)} k=1 — ортонормированный набор функций наотрезке [О, 1]. Определим набор функций {ty k (x)}%L 19 положив при k = Ni-\- /(0

и, кроме того, этот выоор можно 4 произвести так, чтобы1/г \2 оо( sup 2¥*(«) jdx^C^al (66)J1

m s+1 —m 8?к ( Х ) = К+1 — m s)~ l/2 2 B|i.+ у) < (С exp (- W 2 ))" у > 0.II. Из утверждения I и теоремы 3 нашей работы [17] легко вытекает,что для любого п^>1 существует матрица G = (g*,.} £ 0 й такая, что86

а) /(G) стг.I >си _1 /гЛИТЕРАТУРА1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М., «Мир», 1965.2. Качмаж С, Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М., Физматгйз, 1958.3. Ульянов П. Л. Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и орто"тональных рядов. — «Усп. матем. наук», 1964, 19, № 1, 3—69.4. Crothendieck A. Resume de la théorie métrique des produits tensoriels topologuques. —«Bol. soc. mat. Sao Paulo», 1956, 8, N 1—2, 1—79.5. Кашин В. С. Об одной полной ортонормированной системе. — «Матем. сб.», 1976,99, № 3, 356—365.6. Олевский А. М. Об одной ортонормальной системе. — «Матем. сб.», 1966, 71, № 3,297-336.7. Никишин Е. М. Резонансные теоремы и функциональные ряды. Докт. дис, М., 19718. Никишин Е. М. Автореф. докт. дис.—«Матем. заметки», 1971, 10, № 5, 583—595.9. Олевский А. М. Ряды Фурье непрерывных функций по полным ортонормальным системам.— «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1966, 30, № 2, 387—432.10. Marcinkiewicz J. Sur la convergence des series orthogonales. — «Studia math.», 1936,6, 39—45.11. Кашин Б. С. Об ортогональных системах сходимости. — «ДАН СССР», 1976, 228,№ 2, 285-286.12. Komlos /.Every sequence converging to 0 weakly in L 2 contains an inconditional convergencesequence. — «Arkiv mat.», 1974, 12, N 1, 41—49.13. Никишин E. M. О системах сходимости по мере для Z 2 . — «Матем. заметки», 1973,13, № 3, 337—340.14. Маугеу В. Sur une application de la théorie des operateurs p-sommants. — «C. r. Acad.sei. Paris», 1972, 274, N 17, 1304-1307.15. Ламперти Дж. Вероятность. M., «Наука», 1973.16. Billard P. Sur la convergence presque partout des series, de Fourier — Walsh des fonctionsde l'espace L 2 (0, 1). — «Studia math.», 1966—1967, 28, 363—388.17. Кашин Б. С. Порядки поперечников некоторых классов гладких функций. — «Усп.матем. наук», 1977, 32, № 1, 191 — 192.