Dispensa N.3 - Dipartimento di Economia e Statistica

k =Caclolo delle autocorrelazioni !L"equivalente empirico delle autocorrelazioni è!n"t= k+1( y t ! µ y ) y t! k ! µ ynn"( y t ! µ y ) 2t=1n( )=n"t= k+1( y t ! µ y ) y t! k ! µ yn"( y t ! µ y ) 2t=1( )Nell"ipotesi che " k =0 per ogni k>Q la varianza di r k è!Var r k$%Q( ) ! 1 &n 1+ 2 # " k 2k=!'Dove µ y è la mediacampionaria dellaserie storica Y.!per k =1,2,…,orientativamente!(Q=10+[$n]Se l"approccio seguito nella scomposizione è stato rigoroso edefficace , allora le autocorrelazioni NON dovrebbero essere troppodiverse da zero.!!Ricostruzione della serie storica !Si moltiplica il trend per i coefficienti distagionalità e di ciclicità!R t= ˆ T tˆ C tˆ S tIl Trend assorbe il movimento di lungo periodo, non ripetitivo,continuo e senza sbalzi, almeno nell"arco di tempo considerato.!I coefficienti ciclicità esprimono oscillazioni periodiche pluriennalidovute a cause congiunturali. !La stagionalità rappresenta i movimenti legati a ricorrenze infrannualisistematiche ancorché irregolari che si esauriscono nell"anno.!Esempio !Gaussianità !Passengers300 400 500Monthly Air traffic at Toulouse Blagnac AirportPassengersEstimates1995 2000 2005ResidualsACF-0.10 0.00 0.10-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4Monthly Air traffic at Toulouse Blagnac Airport1995 2000 2005PACF-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.45 10 15 20 255 10 15 20 25LagLagMolta della teoria inferenziale delleserie storiche poggia sull'ipotesiche i residui siano gaussiani.Ci si aspetta in pratica che se sicostruisse l'istogramma dei residuiesso assumerebbe la tipica formacampanulare delle distribuzionigaussiane.Nelle applicazioni della vita reale lagaussianità è rara come l'unicornoe quindi le indicazioni che lapresuppongono debbono sempreessere valutate con sanoscetticismo!Inadeguatezza nella determinazione del ciclo-trend e, in misura minore,nella stagionalità

Verifica !Esempio !Consideriamo due indicazioni della gaussianità dei residuiBowman_Shenton (1975)Quoziente logaritmico di variabilitàPer residui gaussiani dovrebbero entrambi tendere a zero!#Log " &e% ( +1$ IQ e 'U.S. dollars200 400 600 800 1000 1200UK gas consumption1960 1965 1970 1975 1980 1985E’ rimasta qualche componenteinespressa.U.S. dollarsEstimates0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5UK gas consumption-4 -2 0 2eApproccio classico e residui!La serie ricostruita non ha componente erratica o almeno non la includeesplicitamente.!Una stima approssimata degli errori si ottiene dalle differenze!e ˆ t= R tY tT"1 = ˆ ˆtC ˆtS t"1Y tIl successo del metodo di scomposizione si può misurare con il valorpcon cui NON si rifiuta l"ipotesi di erraticità e, in misura minore,l"ipotesi di gaussianità nei vari test proposti.!!Rispetto alla erraticità occorre considerare che, tanto i coefficienti distagionalità quanto quelli di ciclicità, provengono da medie mobili chepotrebbero aver indotto un effetto Slustky-Yule.!La presenza di strutture nei residui quindi non è necessariamentedovuta a scelte sbagliate nella estrazione delle varie componenti.!

Esempio!Esempio!Le diagnostiche in questo casoevidenziano un esito inadeguato.!Le revisioni possono riguardare ilTrend, la Stagionalità ed il Ciclo.!Arrivare ad un buon risultato puòrichiedere diversi passaggi.!La ricostruzione è accettabile, ma è avvenuta conoscendo già quelloche era successo. Le previsioni sono un’altra cosa.!L"approccio classico sembra ignorareinformazioni significative sia rispetto alciclo-trend che rispetto alla stagionalità!

Previsioni nell"approccio classico !La estrapolazione delle componenti avviene con la traslazionetemporale delle formule!ˆ Y t +k= T t +kC t +kS t +k; k =1,2,...,!Allungare il trend è semplice: si valuta il modello analitico per le nuoveascisse. Se non si allunga troppo il risultato è in genere attendibile!La stagionalità fissa o variabile si estende replicando i coefficienti puridell"ultimo anno. !Anche la ciclicità si estende ipotizzando gli effetti del nuovo annosimili a quelli del vecchio.!!S t+k = S t+k"12 ; k =1,2,...,La previsione con l’approccio classico, nella versione da noi descritta, non puòprevedere l’intervento di eventi che modificano sostanzialmente ilcomportamento della serie.!Questi possono accadere anche nel brevissimo periodo!Misure di adattamento!La estrapolazione delle componenti avviene con la traslazionetemporale delle formule!Root Mean Squared Prediction Error!RMSE =#$k=1( Y ˆ2t +k"Y t +k) /Y t +k#Mean Absolute Prediction Error! !MAPE =#$k=1( Y ˆt +k"Y t +k) /Y t +k#I cambiamenti bruschi possono essere inclusi nel processo se sonogià avvenuti in passato.!L’approccio classico non è esatto, ma può essere utile!Theil's U =#$k=1Y ˆ !( t +k"Y t +k ) 2#$ Y ˆ( t +k ) 2+ Y t +kk=1Il calcolo si basa sull"idea del !“leaving-one-year out”: un annoè accantonato per valutarel"accuratezza della previsione.!( ) 2 L"indice TU varia tra zero ed uno!

http://camcomrer-test.redturtle.it/studi-ricerche/banchedati/bd/lavoro/amsocial/cig/cigordin/Cig_mensile.xls/view!ESEMPIO!Le funzioni periodiche!Una funzione si dice periodica se i suoi valori si ripetono esattamente aintervalli regolari.!!f ( t) = f ( t + kr) " t, k = 0,±1,±2,…Il minimo tra gli “r” che soddisfa tale condizione è il periodo dellafunzione e questa è detta funzione periodica di periodo “r”!Le funzioni periodiche più comuni sono il seno e coseno trigonometrici.!asen( wt), bsen( wt)con periodo:!!r = 2" wa e b sono dei coefficientiQuesta impostazione dell"approccio classico renderà più esplicite le!componenti periodiche quali la ciclicità e la stagionalità.!!Ripasso !Il seno di un angolo x (in gradi o radianti) èdefinito a partire dalla circonferenzagoniometrica, ovvero dalla circonferenzadi raggio unitario nel piano cartesiano.!Presa la semiretta uscente dall'origine cheforma un angolo x con l'asse delle ascisse,il seno dell'angolo è il valore dellacoordinata y del punto di intersezione trala semiretta e la circonferenza (in figura, èla lunghezza del segmento DC).!Ripasso/2 !Si definisce il coseno considerando unacirconferenza di raggio unitario ed unasemiretta uscente dall'origine che formaun angolo x con l'asse delle ascisse.!Il coseno dell'angolo x è definito come ilvalore della coordinata x del punto diintersezione tra la semiretta e lacirconferenza (lunghezza del segmentoOC).!Per angoli tra 0 e " / 2, il cosenodi un angolo è il seno dell'angolocomplementare, cioè!

Scomposizione in serie di Fourier/2!Scomposizione in serie di Fourier/3!Ogni armonica è un"ondasinusoidale che completa il suociclo in “c/i” periodi.!Le alte frequenze esprimonovariazioni di breve periodo(stagionalità, settimane, giorni).!L"ampiezza è lo scarto massimo (costante) di oscillazione rispetto all"asse!La fase è l"ascissa del primo punto di massimo.!Il periodo esprime la durata dell"oscillazione (curva tra due picchi)!Le basse frequenze componenticicliche con cadenze sempreminori (man mano che si riducela frequenza.!La frequenza (reciproco del periodo) si interpreta come il numero dioscillazioni nell"unità di tempo. !ALTA FREQUENZA=MOLTE OSCILLAZIONI!Stagionalità e funzioni trigonometriche!La componente stagionale può essere espressa da una combinazionelineare di “armoniche”:!Stagionalità e funzioni trigonometriche/2!La durata più breve in cui si può parlare di “ciclo” è 2 (da un dato a quellosuccessivo). Il massimo numero di armoniche stagionali è dato da!mS t = ! a i sen f i t + " ii =1( )“i” è l’indice della armonica!" s$ se s è parim = # 2s ! 1$ ; se s è dispari% 2S t = coefficiente di stagionalitàs = stagionalità (mesi ! s = 12)f i = 2"i frequenza della armonicas# i = fase della armonicas i= numero di periodi in cui si completa la stagionalitàm = numero massimo di armoniche in S tIl coefficiente di stagionalità èla somma delle armoniche.!Questo è una tecnica di stagionalità variabile dato che il coefficiente variaper l"anno e per il periodo!Infatti, in caso di “s” pari, la m-esima armonica completerebbe il suo ciclo !in un numero di periodi uguale a:!sm = s s= 22D"altra parte non è necessario usare tutte le armoniche dato che le prime!due o tre sono già in grado di esprimere complesse strutture ondulatorie.!Le ultime armoniche sono poco oscillatorie e quindi poco utili.!

Cambio Euro/Dollaro Can.!http://uif.bancaditalia.it/UICFEWebroot/cambiSSMForm.jsp?lingua=it!