Dispensa N.3 - Dipartimento di Economia e Statistica
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k =Caclolo delle autocorrelazioni !L"equivalente empirico delle autocorrelazioni è!n"t= k+1( y t ! µ y ) y t! k ! µ ynn"( y t ! µ y ) 2t=1n( )=n"t= k+1( y t ! µ y ) y t! k ! µ yn"( y t ! µ y ) 2t=1( )Nell"ipotesi che " k =0 per ogni k>Q la varianza <strong>di</strong> r k è!Var r k$%Q( ) ! 1 &n 1+ 2 # " k 2k=!'Dove µ y è la me<strong>di</strong>acampionaria dellaserie storica Y.!per k =1,2,…,orientativamente!(Q=10+[$n]Se l"approccio seguito nella scomposizione è stato rigoroso edefficace , allora le autocorrelazioni NON dovrebbero essere troppo<strong>di</strong>verse da zero.!!Ricostruzione della serie storica !Si moltiplica il trend per i coefficienti <strong>di</strong>stagionalità e <strong>di</strong> ciclicità!R t= ˆ T tˆ C tˆ S tIl Trend assorbe il movimento <strong>di</strong> lungo periodo, non ripetitivo,continuo e senza sbalzi, almeno nell"arco <strong>di</strong> tempo considerato.!I coefficienti ciclicità esprimono oscillazioni perio<strong>di</strong>che pluriennalidovute a cause congiunturali. !La stagionalità rappresenta i movimenti legati a ricorrenze infrannualisistematiche ancorché irregolari che si esauriscono nell"anno.!Esempio !Gaussianità !Passengers300 400 500Monthly Air traffic at Toulouse Blagnac AirportPassengersEstimates1995 2000 2005ResidualsACF-0.10 0.00 0.10-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4Monthly Air traffic at Toulouse Blagnac Airport1995 2000 2005PACF-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.45 10 15 20 255 10 15 20 25LagLagMolta della teoria inferenziale delleserie storiche poggia sull'ipotesiche i residui siano gaussiani.Ci si aspetta in pratica che se sicostruisse l'istogramma dei residuiesso assumerebbe la tipica formacampanulare delle <strong>di</strong>stribuzionigaussiane.Nelle applicazioni della vita reale lagaussianità è rara come l'unicornoe quin<strong>di</strong> le in<strong>di</strong>cazioni che lapresuppongono debbono sempreessere valutate con sanoscetticismo!Inadeguatezza nella determinazione del ciclo-trend e, in misura minore,nella stagionalità
Verifica !Esempio !Consideriamo due in<strong>di</strong>cazioni della gaussianità dei residuiBowman_Shenton (1975)Quoziente logaritmico <strong>di</strong> variabilitàPer residui gaussiani dovrebbero entrambi tendere a zero!#Log " &e% ( +1$ IQ e 'U.S. dollars200 400 600 800 1000 1200UK gas consumption1960 1965 1970 1975 1980 1985E’ rimasta qualche componenteinespressa.U.S. dollarsEstimates0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5UK gas consumption-4 -2 0 2eApproccio classico e residui!La serie ricostruita non ha componente erratica o almeno non la includeesplicitamente.!Una stima approssimata degli errori si ottiene dalle <strong>di</strong>fferenze!e ˆ t= R tY tT"1 = ˆ ˆtC ˆtS t"1Y tIl successo del metodo <strong>di</strong> scomposizione si può misurare con il valorpcon cui NON si rifiuta l"ipotesi <strong>di</strong> erraticità e, in misura minore,l"ipotesi <strong>di</strong> gaussianità nei vari test proposti.!!Rispetto alla erraticità occorre considerare che, tanto i coefficienti <strong>di</strong>stagionalità quanto quelli <strong>di</strong> ciclicità, provengono da me<strong>di</strong>e mobili chepotrebbero aver indotto un effetto Slustky-Yule.!La presenza <strong>di</strong> strutture nei residui quin<strong>di</strong> non è necessariamentedovuta a scelte sbagliate nella estrazione delle varie componenti.!
Esempio!Esempio!Le <strong>di</strong>agnostiche in questo casoevidenziano un esito inadeguato.!Le revisioni possono riguardare ilTrend, la Stagionalità ed il Ciclo.!Arrivare ad un buon risultato puòrichiedere <strong>di</strong>versi passaggi.!La ricostruzione è accettabile, ma è avvenuta conoscendo già quelloche era successo. Le previsioni sono un’altra cosa.!L"approccio classico sembra ignorareinformazioni significative sia rispetto alciclo-trend che rispetto alla stagionalità!
Previsioni nell"approccio classico !La estrapolazione delle componenti avviene con la traslazionetemporale delle formule!ˆ Y t +k= T t +kC t +kS t +k; k =1,2,...,!Allungare il trend è semplice: si valuta il modello analitico per le nuoveascisse. Se non si allunga troppo il risultato è in genere atten<strong>di</strong>bile!La stagionalità fissa o variabile si estende replicando i coefficienti puridell"ultimo anno. !Anche la ciclicità si estende ipotizzando gli effetti del nuovo annosimili a quelli del vecchio.!!S t+k = S t+k"12 ; k =1,2,...,La previsione con l’approccio classico, nella versione da noi descritta, non puòprevedere l’intervento <strong>di</strong> eventi che mo<strong>di</strong>ficano sostanzialmente ilcomportamento della serie.!Questi possono accadere anche nel brevissimo periodo!Misure <strong>di</strong> adattamento!La estrapolazione delle componenti avviene con la traslazionetemporale delle formule!Root Mean Squared Pre<strong>di</strong>ction Error!RMSE =#$k=1( Y ˆ2t +k"Y t +k) /Y t +k#Mean Absolute Pre<strong>di</strong>ction Error! !MAPE =#$k=1( Y ˆt +k"Y t +k) /Y t +k#I cambiamenti bruschi possono essere inclusi nel processo se sonogià avvenuti in passato.!L’approccio classico non è esatto, ma può essere utile!Theil's U =#$k=1Y ˆ !( t +k"Y t +k ) 2#$ Y ˆ( t +k ) 2+ Y t +kk=1Il calcolo si basa sull"idea del !“leaving-one-year out”: un annoè accantonato per valutarel"accuratezza della previsione.!( ) 2 L"in<strong>di</strong>ce TU varia tra zero ed uno!
http://camcomrer-test.redturtle.it/stu<strong>di</strong>-ricerche/banchedati/bd/lavoro/amsocial/cig/cigor<strong>di</strong>n/Cig_mensile.xls/view!ESEMPIO!Le funzioni perio<strong>di</strong>che!Una funzione si <strong>di</strong>ce perio<strong>di</strong>ca se i suoi valori si ripetono esattamente aintervalli regolari.!!f ( t) = f ( t + kr) " t, k = 0,±1,±2,…Il minimo tra gli “r” che sod<strong>di</strong>sfa tale con<strong>di</strong>zione è il periodo dellafunzione e questa è detta funzione perio<strong>di</strong>ca <strong>di</strong> periodo “r”!Le funzioni perio<strong>di</strong>che più comuni sono il seno e coseno trigonometrici.!asen( wt), bsen( wt)con periodo:!!r = 2" wa e b sono dei coefficientiQuesta impostazione dell"approccio classico renderà più esplicite le!componenti perio<strong>di</strong>che quali la ciclicità e la stagionalità.!!Ripasso !Il seno <strong>di</strong> un angolo x (in gra<strong>di</strong> o ra<strong>di</strong>anti) èdefinito a partire dalla circonferenzagoniometrica, ovvero dalla circonferenza<strong>di</strong> raggio unitario nel piano cartesiano.!Presa la semiretta uscente dall'origine cheforma un angolo x con l'asse delle ascisse,il seno dell'angolo è il valore dellacoor<strong>di</strong>nata y del punto <strong>di</strong> intersezione trala semiretta e la circonferenza (in figura, èla lunghezza del segmento DC).!Ripasso/2 !Si definisce il coseno considerando unacirconferenza <strong>di</strong> raggio unitario ed unasemiretta uscente dall'origine che formaun angolo x con l'asse delle ascisse.!Il coseno dell'angolo x è definito come ilvalore della coor<strong>di</strong>nata x del punto <strong>di</strong>intersezione tra la semiretta e lacirconferenza (lunghezza del segmentoOC).!Per angoli tra 0 e " / 2, il coseno<strong>di</strong> un angolo è il seno dell'angolocomplementare, cioè!
Scomposizione in serie <strong>di</strong> Fourier/2!Scomposizione in serie <strong>di</strong> Fourier/3!Ogni armonica è un"ondasinusoidale che completa il suociclo in “c/i” perio<strong>di</strong>.!Le alte frequenze esprimonovariazioni <strong>di</strong> breve periodo(stagionalità, settimane, giorni).!L"ampiezza è lo scarto massimo (costante) <strong>di</strong> oscillazione rispetto all"asse!La fase è l"ascissa del primo punto <strong>di</strong> massimo.!Il periodo esprime la durata dell"oscillazione (curva tra due picchi)!Le basse frequenze componenticicliche con cadenze sempreminori (man mano che si riducela frequenza.!La frequenza (reciproco del periodo) si interpreta come il numero <strong>di</strong>oscillazioni nell"unità <strong>di</strong> tempo. !ALTA FREQUENZA=MOLTE OSCILLAZIONI!Stagionalità e funzioni trigonometriche!La componente stagionale può essere espressa da una combinazionelineare <strong>di</strong> “armoniche”:!Stagionalità e funzioni trigonometriche/2!La durata più breve in cui si può parlare <strong>di</strong> “ciclo” è 2 (da un dato a quellosuccessivo). Il massimo numero <strong>di</strong> armoniche stagionali è dato da!mS t = ! a i sen f i t + " ii =1( )“i” è l’in<strong>di</strong>ce della armonica!" s$ se s è parim = # 2s ! 1$ ; se s è <strong>di</strong>spari% 2S t = coefficiente <strong>di</strong> stagionalitàs = stagionalità (mesi ! s = 12)f i = 2"i frequenza della armonicas# i = fase della armonicas i= numero <strong>di</strong> perio<strong>di</strong> in cui si completa la stagionalitàm = numero massimo <strong>di</strong> armoniche in S tIl coefficiente <strong>di</strong> stagionalità èla somma delle armoniche.!Questo è una tecnica <strong>di</strong> stagionalità variabile dato che il coefficiente variaper l"anno e per il periodo!Infatti, in caso <strong>di</strong> “s” pari, la m-esima armonica completerebbe il suo ciclo !in un numero <strong>di</strong> perio<strong>di</strong> uguale a:!sm = s s= 22D"altra parte non è necessario usare tutte le armoniche dato che le prime!due o tre sono già in grado <strong>di</strong> esprimere complesse strutture ondulatorie.!Le ultime armoniche sono poco oscillatorie e quin<strong>di</strong> poco utili.!
Cambio Euro/Dollaro Can.!http://uif.banca<strong>di</strong>talia.it/UICFEWebroot/cambiSSMForm.jsp?lingua=it!