Spostamento virtuale

Rappresentazione analitica dello spostamento virtuale.Se ho delle coordinate generali xk (k= 1,m) le posizioni dei punti sono date daPi = Pi (x1, ..... , xm , t) se il vincolo è mobile.Sono date da Pi = Pi (x1, ..... , xm) se i vincoli sono fissi._Per avere lo spostamento virtuale devo fissare il tempo ad un istante t e ho:m δPiδPi = ∑ ⎯⎯⎯⎯ δxk1k δxkLe coordinate possono essere legate tra loro da vincoli. Se le relazioni tra le coordinatesono finite (cioè non contengono derivate) i vincoli si dicono olonomi. In caso diversoanolonomi. Nel caso di vincolo olonomo si possono introdurre coordinate libere qk in unnumero n=m-r, dove r è il numero delle relazioni di vincolo. Le coordinate libere sono tantequanti i gradi di libertà del sistema. I vincoli finiti sono espressi da relazioni algebriche.Facciamo un esempio semplice:Punto vincolato a una circonferenza fissaRyxϑPRelazione di vincolox² + y² = R²Differenziando abbiamox δx + y δy = 0______Inoltre y = ± √ R² - x²Abbiamo un solo grado di libertà. Eʼ più comodo ricorrere allʼunica coordinata libera ϑ.x = R cos ϑ, y = R sen ϑ, P(t) = x i + y jSe si hanno tante coordinate libere, allora nel caso generale di vincoli mobili abbiamoPi = Pi (q₁ , ........ , qn ⎮t )Per avere lo spostamento virtuale fissiamo t e abbiamo:nδPiδPi = ∑ ⎯⎯⎯⎯ δqk1 k δqkLe δqk sono indipendenti tra di loro. La velocità virtuale è data da:nδPi δPi δqkv iʼ = ⎯⎯⎯⎯ = ∑ ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯δt 1 k δqk δtLa velocità effettiva è data da:ndPi ∂Piv i = ⎯⎯⎯⎯ = ∑ ⎯⎯⎯⎯• ∂Pqk + ⎯⎯⎯⎯dt 1 k ∂qk ∂t4