Spostamento virtuale

Spostamento virtualeDato un sistema comunque vincolato, si dice spostamento virtuale (e si indica con δP) unospostamento infinitesimo conforme ai vincoli fissati allʼistante t.In statica i vincoli sono fissi; in dinamica possono essere mobili. Il vincolo si dice mobilequando la posizione dei punti dipende non solo dalle coordinate, ma anche dal tempo.Per calcolare lo spostamento virtuale dobbiamo fissare il vincolo a un certo istante.Dato δP, se -δP è possibile (virtuale), lo spostamento virtuale si dice reversibile;se -δP è impossibile (non virtuale), δP si dice irreversibile.ESEMPI1) Punto vincolato a linea fissaδPQuesto spostamento virtuale (tangente alla linea), è reversibile.Non esiste un solo spostamento virtuale, tutti gli spostamentiinfinitesimi tangenti alla linea sono virtuali.2) Punto vincolato a una superficie fissaConsideriamo per semplicità un piano fisso.δPNδPPδPTIl punto è vincolato a stare sulla superficie o a staccarsi nel semispazio superiore. Non puòpassare nel semispazio inferiore.δPT è reversibile.δPN è irreversibile.δP che contiene una componente normale è irreversibile.1

3) Punto vincolato a linea mobilePdPδPPt+dttPer calcolare lo spostamento virtuale occorre fissare lalinea al tempo t. Lo spostamento virtuale δP è tangente.Lo spostamento effettivo del punto durante il movimento,risente del trascinamento della linea, per cui ha anche unacomponente normale. Lo indichiamo con dP.Se i vincoli sono fissi tra gli infiniti spostamenti virtualiesiste quello effettivo. Se i vincoli sono mobili lospostamento effettivo non è virtuale.Si definisce velocità virtuale v ʼ la grandezza:v ʼ =δP⎯⎯ dove δt è un tempo campione, che si assume uguale per tutti i punti delδt# # sistema.Chiariamo con esempi la differenza tra velocità virtuale ed effettiva.ESEMPIO 1: anellino vincolato a unʼasta che gira attorno alla cerniera fissa O.# # Usiamo coordinate polari.i θρϑPi ρ• •v = ρ iρ + ρ ϑ iθvelocità effettivaPer avere la velocità virtuale fisso ϑ.δP = δρ i ρδρv ʼ = ⎯⎯δti ρ2

ESEMPIO 2Punto vincolato a una circonferenza di raggio variabile nel tempo R = R(t).jiR(t)P# P(t) = R(t) cos ϑ i + R(t) sen ϑ j{# x(t) = R(t) cos ϑ# y(t) = R(t) sen ϑR(t+dt)# x••{= Rʼ(t) cos ϑ - R(t) sen ϑ ϑ••# y = Rʼ(t) sen ϑ + R(t) cos ϑ ϑ• •v = x i + y j__δP = - R( t ) sen ϑ δ ϑ i + R( t ) cos ϑ δ ϑ jδP __δϑv ʼ = ⎯⎯ = (- R( t ) sen ϑ i + R( t ) cos ϑ j ) ⎯⎯δtδt_Abbiamo fissato il raggio ad un istante t e così abbiamo calcolato spostamento virtuale evelocità virtuale v ʼ.3

Rappresentazione analitica dello spostamento virtuale.Se ho delle coordinate generali xk (k= 1,m) le posizioni dei punti sono date daPi = Pi (x1, ..... , xm , t) se il vincolo è mobile.Sono date da Pi = Pi (x1, ..... , xm) se i vincoli sono fissi._Per avere lo spostamento virtuale devo fissare il tempo ad un istante t e ho:m δPiδPi = ∑ ⎯⎯⎯⎯ δxk1k δxkLe coordinate possono essere legate tra loro da vincoli. Se le relazioni tra le coordinatesono finite (cioè non contengono derivate) i vincoli si dicono olonomi. In caso diversoanolonomi. Nel caso di vincolo olonomo si possono introdurre coordinate libere qk in unnumero n=m-r, dove r è il numero delle relazioni di vincolo. Le coordinate libere sono tantequanti i gradi di libertà del sistema. I vincoli finiti sono espressi da relazioni algebriche.Facciamo un esempio semplice:Punto vincolato a una circonferenza fissaRyxϑPRelazione di vincolox² + y² = R²Differenziando abbiamox δx + y δy = 0______Inoltre y = ± √ R² - x²Abbiamo un solo grado di libertà. Eʼ più comodo ricorrere allʼunica coordinata libera ϑ.x = R cos ϑ, y = R sen ϑ, P(t) = x i + y jSe si hanno tante coordinate libere, allora nel caso generale di vincoli mobili abbiamoPi = Pi (q₁ , ........ , qn ⎮t )Per avere lo spostamento virtuale fissiamo t e abbiamo:nδPiδPi = ∑ ⎯⎯⎯⎯ δqk1 k δqkLe δqk sono indipendenti tra di loro. La velocità virtuale è data da:nδPi δPi δqkv iʼ = ⎯⎯⎯⎯ = ∑ ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯δt 1 k δqk δtLa velocità effettiva è data da:ndPi ∂Piv i = ⎯⎯⎯⎯ = ∑ ⎯⎯⎯⎯• ∂Pqk + ⎯⎯⎯⎯dt 1 k ∂qk ∂t4

Lo spostamento effettivo è dato da:n∂Pi ∂PdPi = vi dt = ∑ ⎯⎯⎯⎯ dqk + ⎯⎯⎯⎯ dt1 k ∂qk ∂tDINAMICA DEI SISTEMIConsideriamo un sistema di N punti materiali P₁ , P₂ , ....... , PN , comunque vincolati.1) Nel calcolo del movimento si trattano i punti come liberi, pur di aggiungere alle forzeattive le reazioni vincolari esercitate dai vincoli.2) Se un sistema è soggetto a vincoli ideali, la potenza delle reazioni vincolari, per ogniatto di moto virtuale, non è mai negativa. Se lʼatto di moto è reversibile, la potenza dellereazioni vincolari è nulla.Questi sono due postulatiESEMPI1) Punto vincolato a linea liscia (fissa o mobile)Si considera la linea fissata a quellʼistante, per cui la velocità virtuale v ʼ è tangente allalinea.Φv ʼΦ (reazione vincolare) è normale alla linea per cuiΦ • v ʼ = 0P2) Consideriamo un esempio di vincolo liscio unilatero: un punto che non può muoversiesternamente a una sfera liscia.1- Se il punto è interno, Φ = 0 e quindi la potenza virtuale π ʼ è nulla.2- Se il punto si trova sulla superficie, Φ è normale ad essa e rivolta verso lʼinterno.Allora si hanno due casi:a) v ʼ tangente alla sfera (v ʼ reversibile) e allora Φ • v ʼ = 0b) v ʼ rivolto verso lʼinterno della sfera (v ʼ irreversibile) e allora Φ • v ʼ > 0v ʼP(a)PΦΦP(b)5

RELAZIONE ED EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICASe sul punto P idi massa m ied accelerazione a i, agiscono F i, risultante delle forze attive,e Φ i, risultante delle reazioni vincolari, abbiamo:mi ai = Fi + ΦiFi - mi ai = - Φi(Fi - mi ai) • vi ʼ = - ∑ Φi • vi ʼPer il postulato 2, per vincoli ideali, abbiamo# # ∑ N N#1 i (Fi - mi ai) • vi ʼ ≤ 0# (1) perché ∑ Φi • vi ʼ ≥ 01 iQuesta (1) si dice Relazione simbolica della Dinamica.Se lʼatto di moto è reversibile, essendoNn1 i∑ Φi • vi ʼ = 01 i δPiabbiamoN∑1 i (Fi - mi ai) • vi ʼ = 0# (2)La (2) si dice Equazione simbolica della Dinamica.In termini di spostamento virtuale, scriviamo, poiché vi ʼ = ⎯⎯⎯⎯ ,δtN∑(Fi - mi ai) • δPi ≤ 0#1 i(1ʼ)N∑(Fi - mi ai) • δPi = 0#(2ʼ)1 i NNel caso della statica a i= 0 ed abbiamo:# # ## # δ*L = ∑i Fi • δPi ≤ 0 (3)1δ*L si dice lavoro virtuale.La (3) si chiama relazione simbolica della dinamica ed esprime il Principio dei lavorivirtuali.Condizione necessaria e sufficiente per lʼequilibrio di un sistema soggetto a vincoli ideali, èche il lavoro delle forze attive, per ogni spostamento virtuale, non sia mai positivo.6

ESEMPIOkxAxϑGypFBLʼasta AB è omogenea di peso P e lunghezza l, la forza orizzontale F è costante.Per la molla# #{Fx = - k x# # # δxa = δxPer il pesoll# Fy = P yg = ⎯⎯ sen ϑ δyg = ⎯⎯ cos ϑ δϑ22Per la forza F#{Fx = F xB = x + l cos ϑ# δxB = δx - l sen ϑ δϑPer il sistema δ*L è dato daδ*L = - k x δx + P ⎯⎯lcos ϑ δϑ + F (δx - l sen ϑ δϑ) = 02lδ*L = (- k x + F) δx + (P ⎯⎯ cos ϑ - F l sen ϑ) δϑ = 02#{Qx = - k x + F = 0l# Qϑ = P ⎯⎯ cos ϑ - Fl sen ϑ = 02da cui si deduceFP# x = ⎯⎯ ; tg ϑ = ⎯⎯k2 Fl8

TEOREMA DI STAZIONARIETAʼ DEL POTENZIALENel caso che le forze attive siano conservative, esiste il potenziale U = U(q k) e abbiamo:δ*L = δUnn∂Uδ*L = ∑k Qk δqk = δU = ∑k ⎯⎯⎯⎯ δqk11 ∂qk∂Uda cui Qk = ⎯⎯⎯⎯# # # (k = 1,2,..... ,n)∂qk∂Uin equilibrio# ⎯⎯⎯⎯ = 0# # (k = 1,2,..... ,n)∂qkδU = 0, cioè U è stazionario nella posizione di equilibrio. Il teorema si formula così:Le configurazioni di equilibrio di un sistema olonomo sono quelle che annullano le derivateparziali del potenziale rispetto a tutte le coordinate libere.Esse coincidono quindi con i punti di stazionarietà del potenziale.Nel caso dellʼesempio precedente, il potenziale è dato da:#l l# U = - ⎯⎯ k x² + P ⎯⎯ sen ϑ + F (x + l cos ϑ)2 2da cui{∂U# ⎯⎯⎯⎯ = - k x + F = 0∂x∂U l# ⎯⎯⎯⎯ = P ⎯⎯ cos ϑ - F l sen ϑ = 0∂ϑ 2Fx = ⎯⎯ ;kptg ϑ = ⎯⎯⎯⎯2F9

Posizioni di equilibrio in un caso conservativo:ESEMPIO GRAFICOIn q * 1 abbiamo un massimo, in q* 2 un minimo, in q* 3un punto di flesso a tangenteorizzontale.Lʼequilibrio può essere stabile o instabile, discuteremo questo punto in seguito.10