Contorno delle radici - Docente.unicas.it
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<strong>Contorno</strong> <strong>delle</strong> <strong>radici</strong>(Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco)Il procedimento per la costruzione del luogo <strong>delle</strong> <strong>radici</strong> si può applicareanche quando si varia qualche altro parametro della funzione di trasferimentodel sistema, come ad esempio la costante di tempo di un polo reale o diuno zero reale, o qualunque altro parametro di cui uno o più coefficientidell’equazione caratteristica siano funzioni lineari.Il luogo dei punti descr<strong>it</strong>to nel piano complesso dalle <strong>radici</strong> dell’equazionecaratteristica al variare del parametro prende il nome di contorno <strong>delle</strong> <strong>radici</strong>.Si consideri dapprima il caso relativo alla variazione di un polo di cicloaperto; in questo caso la funzione di trasferimento d’anello aperto si scrivee a ciclo chiusoF (s) = ˜F (s)11 + τ p sL’equazione caratteristica èW (s) =F (s)1 + F (s) .cioè1 + F (s) = 1 + ˜F (s)11 + τ p s = 0da cui1 + τ p s + ˜F (s) = 01 + τ p s1 + ˜F (s)= 0. (1)Per valutare gli effetti della variazione di un polo di ciclo aperto si devequindi tracciare il luogo <strong>delle</strong> <strong>radici</strong> diτ p s1 + ˜F (s) .Al variare della costante di tempo τ p da 0 a ∞, le <strong>radici</strong> dell’equazione (1)descrivono il contorno <strong>delle</strong> <strong>radici</strong>. Il contorno parte, per τ p = 0, dalle <strong>radici</strong>
<strong>Contorno</strong> <strong>delle</strong> <strong>radici</strong>. Prof. Giuseppe Fusco 2dell’equazione 1 + ˜F (s) = 0, cioè dai poli di ciclo chiuso quando τ p = 0, cioèprescindendo dal polo che si è posto in evidenza. Il contorno <strong>delle</strong> <strong>radici</strong> s<strong>it</strong>raccia facendo uso <strong>delle</strong> stesse regole utilizzate per la costruzione del luogo<strong>delle</strong> <strong>radici</strong>.È importante notare che nel caso del contorno <strong>delle</strong> <strong>radici</strong> può risultarem > n. Ciò non incide sulle regole di costruzione, che restano identiche aquelle del luogo, ad eccezione del verso di percorrenza dei rami asintotici, chein tal caso vanno dall’infin<strong>it</strong>o al fin<strong>it</strong>o.La presenza di un ramo dall’infin<strong>it</strong>o al fin<strong>it</strong>o si riscontra sempre nel casodel contorno relativo alla variazione di un polo. Infatti per τ p = 0 l’ordine delsistema diminuisce di un’un<strong>it</strong>à, il che significa che si ha un polo in meno. Talepolo verrà ripristinato, per τ p > 0, mediante un ramo del luogo provenientedall’infin<strong>it</strong>o.Nel caso di variazioni di uno zero di ciclo aperto la funzione di trasferimentod’anello aperto si scrivee a ciclo chiusoF (s) = ˜F (s) (1 + τ z s)W (s) =˜F (s) (1 + τ z s)1 + ˜F (s) (1 + τ z s) .In questo caso l’equazione caratteristica èda cui1 + ˜F (s) + τ z s ˜F (s) = 01 + τ z s ˜F (s)1 + ˜F (s) = 0.Per valutare gli effetti della variazione di uno zero di ciclo aperto si devequindi tracciare il luogo <strong>delle</strong> <strong>radici</strong> diτ z s ˜F (s)1 + ˜F (s) .Il contorno <strong>delle</strong> <strong>radici</strong> si ottiene al variare del parametro τ z da 0 a ∞;anche in questo caso esso parte dai poli del sistema in retroazione in cui sisia posto τ z = 0, cioè in cui si sia escluso lo zero di cui si studia l’effetto.
<strong>Contorno</strong> <strong>delle</strong> <strong>radici</strong>. Prof. Giuseppe Fusco 3Il contorno <strong>delle</strong> <strong>radici</strong> viene di regola appoggiato al luogo <strong>delle</strong> <strong>radici</strong>.In altre parole, fissato un valore opportuno per la costante k ′ , si traccia ilcontorno al variare di τ p (rispettivamente τ z ) da 0 a ∞. Talvolta, per avere unquadro completo dell’influenza di k ′ e τ p (rispettivamente k ′ e τ z ), si traccianopiù contorni, ciascuno per un diverso valore di k ′ , ottenendo una famiglia dicurve a due parametri.