Contorno delle radici - Docente.unicas.it

Contorno delle radici(Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco)Il procedimento per la costruzione del luogo delle radici si può applicareanche quando si varia qualche altro parametro della funzione di trasferimentodel sistema, come ad esempio la costante di tempo di un polo reale o diuno zero reale, o qualunque altro parametro di cui uno o più coefficientidell’equazione caratteristica siano funzioni lineari.Il luogo dei punti descritto nel piano complesso dalle radici dell’equazionecaratteristica al variare del parametro prende il nome di contorno delle radici.Si consideri dapprima il caso relativo alla variazione di un polo di cicloaperto; in questo caso la funzione di trasferimento d’anello aperto si scrivee a ciclo chiusoF (s) = ˜F (s)11 + τ p sL’equazione caratteristica èW (s) =F (s)1 + F (s) .cioè1 + F (s) = 1 + ˜F (s)11 + τ p s = 0da cui1 + τ p s + ˜F (s) = 01 + τ p s1 + ˜F (s)= 0. (1)Per valutare gli effetti della variazione di un polo di ciclo aperto si devequindi tracciare il luogo delle radici diτ p s1 + ˜F (s) .Al variare della costante di tempo τ p da 0 a ∞, le radici dell’equazione (1)descrivono il contorno delle radici. Il contorno parte, per τ p = 0, dalle radici

Contorno delle radici. Prof. Giuseppe Fusco 2dell’equazione 1 + ˜F (s) = 0, cioè dai poli di ciclo chiuso quando τ p = 0, cioèprescindendo dal polo che si è posto in evidenza. Il contorno delle radici sitraccia facendo uso delle stesse regole utilizzate per la costruzione del luogodelle radici.È importante notare che nel caso del contorno delle radici può risultarem > n. Ciò non incide sulle regole di costruzione, che restano identiche aquelle del luogo, ad eccezione del verso di percorrenza dei rami asintotici, chein tal caso vanno dall’infinito al finito.La presenza di un ramo dall’infinito al finito si riscontra sempre nel casodel contorno relativo alla variazione di un polo. Infatti per τ p = 0 l’ordine delsistema diminuisce di un’unità, il che significa che si ha un polo in meno. Talepolo verrà ripristinato, per τ p > 0, mediante un ramo del luogo provenientedall’infinito.Nel caso di variazioni di uno zero di ciclo aperto la funzione di trasferimentod’anello aperto si scrivee a ciclo chiusoF (s) = ˜F (s) (1 + τ z s)W (s) =˜F (s) (1 + τ z s)1 + ˜F (s) (1 + τ z s) .In questo caso l’equazione caratteristica èda cui1 + ˜F (s) + τ z s ˜F (s) = 01 + τ z s ˜F (s)1 + ˜F (s) = 0.Per valutare gli effetti della variazione di uno zero di ciclo aperto si devequindi tracciare il luogo delle radici diτ z s ˜F (s)1 + ˜F (s) .Il contorno delle radici si ottiene al variare del parametro τ z da 0 a ∞;anche in questo caso esso parte dai poli del sistema in retroazione in cui sisia posto τ z = 0, cioè in cui si sia escluso lo zero di cui si studia l’effetto.

Contorno delle radici. Prof. Giuseppe Fusco 3Il contorno delle radici viene di regola appoggiato al luogo delle radici.In altre parole, fissato un valore opportuno per la costante k ′ , si traccia ilcontorno al variare di τ p (rispettivamente τ z ) da 0 a ∞. Talvolta, per avere unquadro completo dell’influenza di k ′ e τ p (rispettivamente k ′ e τ z ), si traccianopiù contorni, ciascuno per un diverso valore di k ′ , ottenendo una famiglia dicurve a due parametri.