polinomi di Bernstein e curve di Beziér

Introduzione alle curve di BézierAlessandra SestiniApril 19, 20131 Polinomi di BernsteinIntroduciamo la base polinomiale di Bernstein in quanto essa è lo standardutilizzato nel CAGD per la rappresentazione di curve parametriche polinomiali.I polinomi di Bernstein di grado n sono n + 1 e sono definiti come segue 1 ,( ) nBi n (t) := t i (1 − t) n−i , i = 0, . . . , n, (1)i( ) n n!dove indica il coefficiente binomialei. i! (n−i)!Tali polinomi costituiscono una base per lo spazio Π n dei polinomi digrado ≤ n. Infatti, mediante lo sviluppo del binomio di Newton di (1 − t) n−i ,si ricava facilmente la seguente formula,( nBi n (t) =i) n−i ∑j=0( n − ij)(−1) n−i−j t n−j , i = 0, . . . , n.Quindi, usando una notazione matriciale, è possibile esprimere i polinomi diBernstein in termini della base canonica 1, t, . . . , t n come segue,⎛ ⎞ ⎛ ⎞B0 n (t)⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ . ⎠ = A ⎝1. ⎠ , (2)Bn(t)n t n1 Si osserva che, per comodità di notazione nel seguito si considerano definiti e pariidenticamente a 0 anche Bi n(t), i < 0 e Bn i (t), i > n.1

10.90.80.70.60.50.40.30.20.100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Figure 1: Grafico in [0 , 1] dei 4 polinomi di Bernstein cubici.dove A è una matrice di dimensione (n + 1) × (n + 1) ( che)risulta triangolarensuperiore 2 e con elementi diagonali non nulli, A i,i = . Ogni polinomioip ∈ Π n può quindi essere rappresentato in modo univoco per mezzo dei suoicoefficienti c i , i = 0, . . . , n in tale base che vengono detti coefficienti di Bézier,p(t) =n∑c i Bi n (t). (3)i=0I polinomi di Bernstein godono di proprietà importanti che rendono attraenteil loro impiego sia dal punto di vista del controllo geometrico siada quello della affidabilità del calcolo in aritmetica finita. Elenchiamo nelseguito tali proprietàP1, partizione dell’ unità,n∑Bi n (t) ≡ 1;i=02 Si osservi che la matrice A (cambiamento di base dai monomi ai polinomi di Bernstein)non è nonnegativa e che invece è possibile dimostrare che lo è la sua inversa (sempretriangolare superiore), vedi Esercizio 1.2

P2, non negatività in [0 , 1],B n i (t) ≥ 0, t ∈ [0 , 1], i = 0, . . . , n, ∀n ∈ IN,P3, cardinalità in 0 e 1,B n i (0) =B n i (1) =⎧⎨⎩⎧⎨⎩1 se i = 0,0 altrimenti,1 se i = n,0 altrimenti.i = 0, . . . , ni = 0, . . . , nP4, unimodalità in [0 , 1],Bi n (t) ha un unico punto stazionario in (0 , 1) che è i npunto di massimo.ed esso è unP5, recursività,B n i (t) ≡ (1 − t)B n−1i(t) + tB n−1 (t), i = 0, . . . , n.Osserviamo che P2, P3 e P4 discendono immediatamente dalla definizione(1). La dimostrazione della identità riportate in P1 e P5 può essere fattafacilmente per induzione su n ed è lasciata per esercizio. Esaminiamo quiinvece le implicazioni che ha questo primo gruppo di proprietà sul legame fraogni p ∈ Π n e i suoi coefficienti di Bézier.P1 intanto implica che, se p 2 (t) = ap 1 (t) + b, a, b ∈ IR, p 1 (t) = ∑ ni=0 c i Bi n (t),alloran∑p 2 (t) = (ac i + b) Bi n (t).i=0P1 e P2 implicano che, ∀t ∈ [0 , 1] p(t) è una combinazione convessa dei suoicoefficienti di Bézier, c 0 , . . . , c n . Ne consegue chep(t) ∈ CH{c 0 , . . . , c n } = [ mini=0,...,n c i , maxi=0,...,n c i], ∀t ∈ [0 , 1]. (4)P3 implica che i coefficienti di Bézier di indici estremi vengono riprodottiesattamente da p(t) agli estremi dell’intervallo [0 , 1], cioéi−1p(0) = c 0 , p(1) = c n . (5)3

P4 implica la pseudolocalità dei coefficienti di Bézier. Infatti, osserviamo chese il coefficiente c i in (3) viene modificato, c i → ˜c i = c i +δc i , il corrispondentenuovo polinomio ˜p(t) cambia in tutti i punti dell’intervallo [0 , 1] in quanto˜p(t) = p(t) + δc i Bi n (t). Tuttavia in i si ha il massimo della variazione din|˜p(t) − p(t)| e quindi si parla di pseudolocalità.Esercizio 1. Si dimostrino le seguenti identità,( ) kn∑ jt j ≡ ) Bk n (t) , j = 0, . . . , n .k=j( nj(suggermento: si moltiplichi t j per 1 = [t + (1 − t)] n−j svisuppando questofattore con il binomio di Newton). Si osservi che tali identità implicano lanonnegatività dell’inversa della matrice A introdotta all’inizio del paragrafo.Un’altra importante proprieta dimostrata nel seguente paragrafo è costituitadal fatto che si può provare che i polinomi di Bernstein formanoun sistema di funzioni strettamente totalmente positivo su (0 , 1). Essa avràun’ importante implicazione, che consiste nella possibilità di maggiorare ilnumero di variazioni di segno di un polinomio in (0 , 1). Vedremo poi inSezione 3 la successiva conseguenza geometrica per le curve di Beziér.1.1 Condizionamento della valutazione di un polinomioConsiderando il condizionamento del problema della valutazione di un polinomioP ∈ Π n in un punto, siamo interessati a stimarne la variazione| ˜P (t) − P (t)| per t fissato in un certo intervallo [a , b] (assoluta in quantopotrebbe anche essere P (t) = 0) che è prodotta da perturbazioni sui suoicoefficienti in una base di Π n fissata. Siano quindi φ 0 , · · · , φ n , (n + 1) polinomidi grado minore o uguale a n che costituiscono una base di Π n . PostoΦ := (φ 0 , · · · , φ n ) T , un generico altro polinomio P ∈ Π n si può allora univocamenterappresentare in tale base,P (t) = c T Φ(t) ,dove c := (c 0 , . . . , c n ) T è il vettore le cui componenti sono i coefficienti delpolinomio nella base scelta. Se ora si perturbano questi coefficienti,˜c i = c i (1 + ɛ i ) , i = 0, . . . , n ,4

se si suppone che ɛ :: max n i=0 |ɛ i | , posto ˜P (t) = ˜c T Φ(t), con ˜c := (˜c 0 , . . . , ˜c n ) T ,si ha| ˜P (t) − P (t)| ≤ ɛ K Φ (P, t) ,dove si è postoK Φ (P, t) :=n∑|c i | |φ i (t)|i=0che è quindi il numero di condizionamento del problema. Osserviamo quindiche, fissato il polinomio P e il punto di valutazione t, a parità di massimaperturbazione relativa ɛ sui suoi coefficienti in basi diverse di Π n , la perturbazionesul valore P (t) in generale varia al variare della base. Notiamoanche che se la base utilizzata risulta non negativa in [a , b], allora si haK Φ (P, t) = ∑ ni=0 |c i| φ i (t) , che in forma più compatta si scriveK Φ (P, t) = |c| T Φ(t) , (6)dove |c| := (|c 0 |, . . . , |c n |) T . Sorge quindi spontaneo confrontare da questopunto di vista la base dei monomi che è quella usualmente utilizzata con labase di Bernstein. La seguente proposizione ci sarà utile a tale scopo.Proposizione 1. Siano φ 0 , . . . , φ n e ψ 0 , . . . , ψ n due basi di Π n entrambenonnegative in [a , b]. Se la matrice F del cambiamento di base da Φ aΨ := (ψ 0 , . . . , ψ n ) T , ossia la matrice tale che ∀t risulta Ψ(t) = F Φ(t), ènonnegativa, allora per ogni polinomio P di Π n e per ogni t ∈ [a , b] si ha cheK Φ (P, t) ≤ K Ψ (P, t) .Dimostrazione : Dato P ∈ Π n , sia P (t) = c T Φ(t) = a T Ψ(t). Usando ilcambiamento di base si ottiene facilmente chec = F T a .Usando la disuguaglianza triangolare, per la nonnegatività di F si ha allorache |c i | ≤ ∑ nj=0 F i,j |a j | , ∀i = 0, . . . , n che in forma vettoriale si può scrivere|c| ≤ F T |a| .Quindi dalla definizione di numero di condizionamento in (6) valida per basinonnegative si ottiene cheK Φ (P, t) = |c| T Φ(t) ≤ |a| T F Φ(t) = |a| T Ψ(t) = K Ψ (P, t) ,5

che dimostra l’asserto.Ora abbiamo visto all’inizio del paragrafo che la matrice del cambiamentodi base da polinomi di Bernstein a monomi risulta nonegativa (vedi nota).Quindi, lavorando in [0 , 1] dove entrambe le basi sono non negative si deduceche il numero di condizionamento K relativo alla base di Bernstein risultaminore di quello relativo alla base dei monomi. Nel caso di un intervallo[a , b] qualsiasi stesso confronto si può fare fra la baseM i (x) :=(x − a)i(b − a) i , i = 0, . . . , n ,e la base di Bernstein generalizzata,( )Bi n 1 n(x) :=(x − a) i (b − x) n−i , i = 0, . . . , n ,(b − a) n iche sono entrambe nonnegative in [a , b].2 Sistemi di funzioni totalmente positiviPrima di definire un sistema di funzioni totalmente positivo su un certointervallo I ⊂ IR abbiamo bisogno di alcune definizioni e di qualche risultatopreliminare nell’ambito dell’algebra lineare.Definizione 1. Siano k ed n due interi con k ≤ n. Indicheremo con Q k,n ilseguente insieme di multiindici a k componenti,Q k,n := {α = (α 1 , . . . , α k ) T ∈ IN k | 1 ≤ α 1 < · · · < α k ≤ n} .Un multiindice α ∈ Q k,n può essere quindi pensato come una strutturautile a stalilire come estrarre k righe (colonne) da una matrice avente in tutton righe (colonne). Proseguendo in questo utilizzo, data quindi una matriceA ∈ IR n×m e α ∈ Q k,n , β ∈ Q k,m (dove k ≤ min{n , m}), indicheremo conA[α|β] la sottomarice quadrata k × k definita come segue,⎛⎞a α1 ,β 1, · · · , a α1 ,β k⎜⎟A[α|β] := ⎝ . . . ⎠ .a αk ,β 1, · · · , a αk ,β k6

1. Composizione con funzione crescente. Se (u 0 , · · · , u n ) è un sistemadi funzioni T P su I e f è una funzione crescente definita su unaltro intervallo J di IR e a valori in I, allora anche (v 0 , · · · , v n ) è unsistema di funzioni T P su J, dove v i := u i ◦ f, i = 0, . . . , n.2. Prodotto con funzione positiva. Se (u 0 , · · · , u n ) è un sistema difunzioni T P su I e f : I → IR è tale che f(t) > 0∀t ∈ I, alloraanche (v 0 , · · · , v n ) è un sistema di funzioni T P su I, dove v i (t) :=u i (t)f(t), i = 0, . . . , n.3. Prodotto con matrice T P. Se (u 0 , · · · , u n ) è un sistema di funzioniT P su I e A ∈ IR (n+1)×(n+1) è una matrice T P, allora anche(v 0 , · · · , v n ) è un sistema di funzioni T P su I, dove (v 0 (t), · · · , v n (t)) T =A(u 0 (t), · · · , u n (t)) T .Esercizio 2. Dimostrare le proprietà 1,2 e 3 per un sistema di funzioni T Psu I.Definizione 10. Data una funzione f : I → IR, la seguente quantità S − (f)dicesi numero di variazioni di f su I,S − (f) := sup m∈IN sup{S − ((f(x 0 ), · · · , f(x m )) , x 0 < · · · < x m , x i ∈ I}Il seguente teorema permette di maggiorare S − (f) quando f è combinazionelineare di un sistema di funzioni T P su I.Teorema 3. Sia (u 0 , · · · , u n ) un sistema di funzioni T P su I e sia f unaloro combinazione lineare,f(t) = u(t) T a ,dove a ∈ IR n+1 e dove si è posto u(t) := (u 0 (t), · · · , u n (t)) T . AlloraS − (f) ≤ S − (a) .Dimostrazione : Sia m ∈ IN e siano x 0 < · · · < x m , m + 1 punti distinti maarbitrari appartenenti ad I. Posto f = (f(x 0 ), · · · , f(x m )) T , per definizionesi ha che( )u0 · · · uf = Mna .x 0 · · · x m9

Ora per ipotesi sappiamo che M è T P e quindi S − (f) ≤ S − (a) . Per l’arbitrarietàdelle ascisse scelte in I e di m, segue la tesi.Il seguente corollario del precedente teorema ne costituisce un’importanteconseguenza geometrica,Corollario 1. Sia (u 0 , · · · , u n ) un sistema di funzioni T P su I che formanoanche una partizione dell’unità. Ogni curva parametrica piana X(t) definitamediante il poligono di controllo associato a (n + 1) punti di controllo assegnatiQ i , i − 0, . . . , n,n∑X(t) := Q i u i (t) , t ∈ I ,i=0interseca una qualsiasi retta r del piano un numero di volte minore o ugualeal numero di intersezioni fra r e il poligono stesso.La dimostrazione è lasciata per esercizio.Data la notevole portata del teorema e del corollario precedente, in graficasiamo particolarmente interessati a lavorare con basi di spazi di funzioniprefissati che formino un sistema T P. Riferendoci per il momento allo spaziodei polinomi Π n , facciamo prima vedere che la base dei monomi 1, t, · · · , t nforma un sistema ST P in (0 , +∞) e poi che la base di Bernstein forma unsistema ST P in (0 , 1).Teorema 4. La base dei monomi 1, t, · · · , t n di Π n forma un sistema ST Psu (0 , +∞) .Dimostrazione : Dobbiamo dimostrare che, se 0 < t 0 < · · · , t m , la matriceM che colloca la base dei monomi in queste ascisse risulta ST P, dove⎛⎞1 · · · t n 0⎜⎟M = ⎝ . . . ⎠ .1 · · · t n mPer il lemma di Fekete sappiamo che ciò è vero se sono positivi tutti i determinantidi sottomatrici quadrate di M (r+1)×(r+1), r ≤ n ottenute estraendoda M r + 1 righe e colonne successive e quindi del tipo della seguente M r ,⎛⎞t k i · · · t r+ki⎜M r := ⎝ . . .t k i+r · · · t r+ki+r10⎟⎠ .

Ma essendo M r = D r V r con D r = diag(t k i , · · · , t k i+r) e con V r matrice diVandermonde relativa alle ascisse t i , . . . , t i+r , risultadet(M r ) = det(D r ) det(V r ) .La tesi consegue osservando che det(D r ) > 0 essendo t i > 0 e anche det(V r ) >0, essendo det(V r ) = ∏(t j − t k ) .j>k≥iTeorema 5. La base dei polinomi di Bernstein B n i (t), i = 0, . . . , n di Π nforma un sistema ST P su (0 , 1).Dimostrazione : Dobbiamo dimostrare che, se 0 < t 0 < · · · < t m < 1, lamatrice M che colloca i polinomi di Bernstein in queste ascisse risulta ST P.Ma ricordando la definizione dei polinomi di Bernstein, si può fattorizzareM in M = D 1 G D 2 , conD 1 =⎛diag((1 − t 0 ) n , ·⎞· · , (1 − t m ) n ) ,τ0 0 · · · τ0n⎜⎟G = ⎝ . . . ⎠ ,τm 0 (· · ·)τmn ( )n nD 2 = diag( , · · · , ) ,0 ndove nella definizione di G si è posto τ i := t i /(1 − t i ) . Di conseguenza, ildeterminante di una qualsiasi sottomatrice quadrata M[α, β], k × k di Msarà dato dal prodotto fra k elementi diagonali di D 1 , k elementi diagonalidi D 2 e il determinante della sottomatrice G[α, β] di G. Essendo D i , i = 1, 2entrambe diagonali a elementi diagonali positivi e G ST P in (0 , +∞), segueche tale determinante è positivo.3 Curve di BeziérUna curva di Beziér di grado n è una curva parametrica polinomiale definitacome seguen∑X(t) = Q i Bi n (t) , t ∈ [0 , 1] , (8)i=011

dove i Q i , i = 0, . . . , n formano un set assegnato di punti ordinati. Tali puntisi dicono punti di controllo e si assegnano dando le loro coordinate cartesianein un sistema di riferimento prefissato nel piano (se siamo interessati a definireuna curva di Beziér piana) o nello spazio. La spezzata che li congiungedicesi poligono di controllo. Dalle proprietà dei polinomi di Bernstein è facilederivare le seguenti proprietà della curva di Beziér definita in (8) ,PG1, invarianza per trasformazioni affiniSe T : E d → E d è una trasformazione affine (ossia tale che T (P) =AP + b con A e b rispettivamente matrice e vettore che definiscono latrasformazione affine), alloraT (X(t)) =n∑T (Q i ) Bi n (t) , t ∈ [0 , 1] .i=0PG2, convex hull∀t ∈ [0 , 1] , si ha cheX(t) ∈ CH(Q 0 , · · · , Q n ) ,dove CH(Q 0 , · · · , Q n ) denota la convex hull dei punti di controllo, ossial’unione di tutte le loro possibili combinazioni convesse.PG3, end–point interpolationPG4, controllo pseudo–localeX(0) = Q 0 , X(1) = Q n .Se per un certo j risulta ˜Q j = Q j + ∆q e, ˜Qi = Q i , per i ≠ j, detta˜X(t) la curva di Beziér relativa ai punti di controllo ˜Q i , i = 0, . . . , n,risulta˜X(t) − X(t) = B n j (t) ∆q ,ossia la curva risulta modificata ∀t ∈ (0 , 1) e lo spostamento in ogni t èparallelo allo spostamento fatto sul punto di controllo e ha la lunghezzamassima in t = j/n.12

PG5, variation–diminishingSe X(t) è una curva di Beziér piana, il numero di intersezioni che essaha con una qualsiasi retta del piano è minore o uguale al numero diintersezioni che tale retta ha con il suo poligono di controllo.Inoltre è possibile dimostrare che la derivata X ′ (t) pu ò essere scritta comesegue∑n−1X ′ (t) = n (Q i+1 − Q i ) B n−1i (t) , (9)i=0dalla quale discende che in particolare (tangenza agli estremi al poligonodi controllo)X ′ (0) = n (Q 1 − Q 0 ) , X ′ (1) = n (Q n − Q n−1 ) .Inoltre dalla proprietà recursiva dei polinomi di Bernstein discende lalegittimità dell’uso del seguente algoritmo detto Algortmo di de Casteljau,per la valutazione di una curva di Beziér in un punto t,dove,X(t) = b n 0(t) ,b 0 i (t) = Q i , i = 0, . . . , n ,b r i (t) = (1 − t)b r−1i (t) + tb r−1i+1 (t) , i = 0, . . . , n − r, r = 1, . . . , n .Osservazione 2. Osserviamo che è sempre possibile elevare di grado unacurva di Beziér, ossia scriverla in termini di polinomi di Bernstein di gradomaggiore. In particolare, moltiplicando X(t) come scritta in (8) per 1 =[(1 − t) + t] e manipolando algebricamente quanto si ottiene si dimostra chesi può utilizzare il seguente algoritmo di degree elevation,∑n+1X(t) = c i B n+1i (t) ,i=0dovec i =in + 1 Q i−1 + n + 1 − i Q i , i = 0, . . . , n + 1 ,n + 1dove si assume per comodità Q −1 = Q n+1 = 0. Si osservi che in generale lel’operazione inversa di degree reduction non è invece fattibile (almeno esattamente).13

Esercizio 3. Si individui un modo costruttivo per stabilire quale è il gradoeffettivo di una curva di Beziér associata a un dato poligono di controllo.Oltre che poter essere elevata di grado, una curva di Beziér può esseresuddivisa (algoritmo di suddivisione), ossia, scelto τ ∈ (0 , 1) è possibilerappresentare le due restrizioni X L (ξ) = X(ξ), ξ ∈ [0 , τ] e X R (ξ) = X(ξ), ξ ∈[τ , 1] della curva definita in (8) in forma di BeziérX L (ξ) =n∑Q L i Bi n ( ξ τ ) , XR (ξ) =i=0n∑i=0Q R i B n i ( ξ − τ1 − τ ) ,doveQ L i = b i 0(τ) , Q R i = b n−ii (τ) , i = 0, . . . , n ,dove si è utilizzata la notazione dell’algoritmo di de Casteljau. Tale fattopuò essere dimostrato formalmente osservando che si può scrivereb r i (t) = [(1 − t)I + tE] r Q i ,dove il simbolo I denota l’operatore identità e il simbolo E l’operatore dishift.3.1 Continuità classica e geometrica fra curve di BeziérConsideriamo due curve parametriche C(ξ), ξ ∈ [a , b] e D(η), η ∈ [c , d]differenziabili fino all’ordine m e che si connettono in un punto P ossia talicheC(b) = D(c) = P.Definizione 11. Diremo che le curve C e D si connettono con continuitàclassica C k , k ≤ m, in P se risultad j Cd j ξ (b) = dj D(c) , j = 0, . . . , k .d j ηIn pratica stiamo considerando quindi η = ξ e semplicemente vediamo lafunzione D(η) come un prolungamento di C(ξ). Parlando di curve parametrichequesto però non è necessario in quanto siamo interessati a studiare ilraccordo in P fra le due immagini di C e D (ossia fra le due vere e propriecurve). Introduciamo allora il concetto di continuit à geometrica G k ,14

Definizione 12. Diremo che le curve C e D si connettono con continuitàgeometrica G k , k ≤ m, in P se esiste una riparametrizzazione ammissimile(ossia strettamente monotona) w = w(η) : [c , d] → [e , f] per D, tale ched j Cd j ξ (b) = dj D(e) , j = 0, . . . , k .d j wIn particolare abbiamo focalizzato l’attenzione su G 1 e G 2 , osservandoche G 1 significa chedere che esista uno scalare ω 1 > 0 tale chedCdξ (b) = ω 1dD(b) , (10)dηla qual cosa corrisponde alla continuità del versore tangente alla curva inP. Inoltre abbiamo osservato che G 2 corrisponde a chiedere oltre a (10) cheesista un secondo scalare ω 2 tale ched 2 Cd 2 ξ (b) = d 2 Dω2 1d 2 η (b) + ω 2dD(b) ., (11)dηla qual cosa corrisponde a richiedere la continuità del versore tangente allacurva, del Frenet frame e della curvatura in P.Vediamo quindi come si formulano in termini di restrizioni sui poligonidi controllo le condizioni di raccordo C k e G k , k = 1, 2 quando le curvecoinvolte sono curve di Beziér (che senza perdita di generalità si possonoconsiderare dello stesso grado), dove si assume quindi [a , b] = [c , d] = [0 , 1]e C(ξ) = ∑ ni=0 c iB n i (ξ), D(η) = ∑ ni=0 d iB n i (η), con c n = d 0 = P.Per quanto riguarda i raccordi C 1 e G 1 , utilizzando (9), si ottiene rispettivamenteche deve essere∆b n−1 = ∆c 0 , (12)per C 1 e∆b n−1 = ω 1 ∆c 0 , (13)per G 1 , dove ∆ indica l’operatore differenza e ω 1 un qualsiasi scalare positivo.Analogamente il raccordo fra le due curve di Beziér sarà C 2 se, oltre a valere(12), varrà anche la seguente equazione,∆ 2 b n−2 = ∆ 2 c 0 , (14)e sarà G 2 se, oltre a valere (13), varrà anche la seguente equazione,∆ 2 b n−2 = ω 2 1 ∆ 2 c 0 + ω 2n − 1 ∆c 0 , (15)dove ω 2 indica un qualsiasi altro scalare.15

References[1] G. Farin (2002), Curves and Surfaces for CAGD: a practical guide,Kaufmann series in computer graphics and geometric modelling, SanFrancisco M. Kaufmann Publishers.[2] R. T. Farouki and T. N. T. Goodman (1996), On the optimal stabilityof the Bernstein basis, Mathematics of Computation 65, 1553–1566.[3] T.N.T. Goodman (1996), Total positivity and the shape of curves,Total positivity and its applications, M. Gasca and C. Micchelli eds.,Dordrecht: Kluwer, 157–186.[4] J. Hoscheck and D. Lasser (1993), Fundamental of Computer aidedGeometric Design, Wellesley, Mass. Peters.16