Numeri complessi e formula di Eulero

I numeri complessi e la funzione e ixS.SartiDecember 17, 20091 Questioni generali sui numeri complessiUn numero complesso z = x + iy (i = √ −1) ha proprietà simili a quelle diun binomio le cui componenti devono rimanere separate. La somma di duenumeri complessi z 1 e z 2 vale infattiz 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 )(una analoga formula vale per la sottrazione fra due numeri complessi) mentreil prodotto valez 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 ) + i 2 (y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 )= [(x 1 x 2 ) − (y 1 y 2 )] + i[(x 1 y 2 + x 2 y 1 )]dove si è usato il fatto che essendo i = √ −1 ⇒ i 2 = −1.Il modo migliore per ricordarsi del fatto che la parte reale (x) e la parte immaginaria(y) di un numero complesso devono rimanere sempre ben diviseè quello di immaginare un numero complesso come un vettore su un piano{x, y}, la cui coordinata x corrisponde alla sua parte reale e la sua coordinatay ala sua parte immaginaria. Questa ”visualizzazione” funziona anchein modo perfetto per descrivere la somma e la sottrazione fra numericomplessi (che risulta come somma o sottrazione fra le singole componentidei due vettori) ma non deve ingenerare confusione per quanto riguarda ilprodotto: di fatto, il prodotto di due numeri complessi è ancora un numerocomplesso (cioè, nella visualizzazione cartesiana, un vettore nel piano {x, y},mentre il prodotto fra due vettori ha come risultato uno scalare (nel caso diprodotto scalare) o un vettore perpendicolare ai due vettori che lo originano(quindi, nel caso dei numeri complessi, un vettore lungo l’asse z!).1

Utilizzando questa notazione, si deduce anche che, volendo, un numero complessopuò essere rappresentato, anzichè con due coordinate cartesiane, conun modulo (|z| = √ x 2 + y 2 ) ed un angolo (arg(z) = θ = arctan y/x) cheidentifichi la direzione del vettore rispetto all’asse reale. In questo caso, siavrà evidentementeo anchex = |z| cos θy = |z| sin θz = x + iy = |z| cos θ + i|z| sin θ = |z|(cos θ + i sin θ)La quantità fra parentesi può essere riscritta in modo più compatto, e godedi proprietà molto interessanti che rendono assai più semplice la gestionedei numeri complessi in numerose situazioni.2 Derivazione della formula di EuleroPer comprendere meglio il significato e le proprietà dell’espressione suddetta,consideriamo lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni seno e coseno:sin(x) =∞∑n=01n!d n ∣sin(x) ∣∣∣x=0dx n x n= 0 + x − 0 − 1 6 x3 + ...(dove si è tenuto conto del fatto che la d sin(x)dx= cos(x), d cos(x)dxche sin(0) = 0 e cos(0) = 1), mentre in modo analogo= − sin(x) ecos(x) =∞∑n=0da cui risulta immediatamente che1n!d n ∣cos(x) ∣∣∣x=0dx n x n= 1 − 0 − 1 2 x2 + 0 − ...cos(x) + i sin(x) = 1 + ix − 1 2 x2 − i 1 6 x3 + ...2

Ricordando chee αx =∞∑n=01n!d n e αx ∣ ∣∣∣x=0dx n x n= 1 + αx + 1 2 α2 x 2 + 1 6 α3 x 3 + ...e ricordando che i 2 = −1, i 3 = i(i 2 ) = −i e così via si ottiene quindi cheponendo α = i e confrontando le ultime due equazioni si ha immediatamentecos(x) + i sin(x) = e ixe quindi un numero complesso z può anche essere scritto come3 Proprietà della funzione e ixz = |z|e iθ (1)La funzione e ix = cos(x) + i sin(x) è una funzione che lega un numero reale(x) ad un numero complesso che gode delle seguenti proprietà:1. ∀x, |e ix | = cos(x) 2 + sin(x) 2 = 1, per le proprietà di seni e coseni2. e iθ + e −iθ = cos θ + i sin θ + cos θ − i sin θ = 2 cos θ, e quindi cos θ =e iθ +e −iθ2. Analogamente, sin θ = eiθ −e −iθ2i3. Facendo uso delle relazioni trovate in 2, si ottiene facilmente chequalunque combinazione di sin(x), cos(x) può essere scritta come combinazionedi e ix , e −ix4. e iα e iβ = e iα+β , come sempre nel caso della funzione esponenziale(5. e iαβ = e iβ) α, come consueto nella funzione esponenziale, ed in particolaree −iα = ( e iα) −1 = 1/eiα6. e iα + e iβ = e i α+β27. e iα − e iβ = e i α+β2(e i α−β2 + e(e i α−β2 − eα−β−i 2α−β−i 2)= e i α+β2 2 cos( α−β2 ))= e i α+β2 2i sin( α−β2 )3

In generale, le proprietà 2-7 permettono di eseguire operazioni semplici sufunzioni seno e coseno (somma di seni e coseni, coseni e seni di sommedi angoli...) con formule molto più semplici da gestire e più facilmentegeneralizzabili (v. circuiti in corrente alternata e onde).Facendo uso delle proprietà 4-7, si ha che per il calcolo di somme, sottrazioni,prodotti e divisioni di numeri complessi valgono le seguenti regole:1. z 1 + z 2 = |z 1 |e iθ 1+ |z 2 |e iθ 2. Non molto semplice da gestire nel casogenerale, ma se i due moduli sono uguali (|z 1 | = |z 2 | = |z|) si ottiene( )z 1 + z 2 = |z| e iθ 1+ e iθ 2= 2|z|e i θ 1 +θ 22 cos( θ 1 − θ 2)22. z 1 z 2 = |z 1 |e iθ 1|z 2 |e iθ 2= |z 1 ||z 2 |e i(θ 1+θ 2 ) , ovvero il prodotto di due numericomplessi è un numero complesso che ha modulo pari al prodottodei moduli e argomento pari alla somma degli argomenti.3. z 1 /z 2 = (|z 1 |e iθ 1)/(|z 2 |e iθ 2) = (|z 1 |/|z 2 |)e i(θ 1−θ 2 ) , ovvero il rapporto fradue numeri complessi è un numero complesso che ha modulo pari alrapporto fra i moduli e argomento pari alla differenza degli argomenti.4. (corollario di 2) z 2 = z ∗ z = |z| 2 e i2θ , ovvero il quadrato di un numerocomplesso z è un numero complesso il cui modulo è il quadrato delmodulo di z e l’argomento è il doppio di quello di z5. (corollario di 4) √ z = √ |z|e iθ/2 , ovvero la radice di un numero complessoz è un numero complesso il cui modulo è la radice del modulo diz e l’argomento è la metà di quello di z4