Esercitazioni di Calcolo delle Probabilità (04/04/2012) Soluzioni ...

7) Si stabilisca se sono soddisfatte le ipotesi del Teorema Centrale del Limite e si determiniun’approssimazione Normale per S nel caso in cui n = 150.Soluzione1. k = 0.Infatti:0 0kexydxdy0 0kdxdyexdx0 0eydy0 0kdxdyL’ultimo integrale è illimitato qualunque sia il valore di k 0.Per k=0 la funzione integra 1 sul suo supporto ed è su esso positiva.ex0ey00 0kdxdy1.2. Le funzioni di ripartizione delle v.c. marginali risultano:G(x) =x0 0G(x) = 0 (x 0);H(y) =y0 0H(y) = 0 (y 0).xxt yt ytxe dydt e e dydt e dt 1 e (x>0),0 0yyx tt xtye dxdt e e dxdt e dt 1 e (y>0),0 0003. Le funzioni di densità delle v.c. marginali risultano:dG(x)g(x) = =e x (x>0) (esponenziale negativa di parametro unitario);dxdH(y)h(y) = =e y (y>0) (esponenziale negativa di parametro unitario);dy4. X e Y sono indipendenti essendo g(x)h(y)=f(x,y).5. X e Y sono identicamente distribuite (esponenziali negative con parametro unitario).Siano X 1 ,…,X n v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X i .6. S ha distribuzione Gamma(n,1).Il risultato consegue dalla proprietà riproduttiva della gamma essendo l’esponenzialenegativa una gamma di parametri (1, ). In particolare nel presente esercizio =1.7. Le ipotesi del Teorema Centrale del Limite sono soddisfatte.Infatti le n v.c. sono indipendenti e identicamente distribuite (essendo tutte distribuite comeX e quindi v.c. esponenziali negative di parametro unitario) con media e varianza finite(pari a 1).Dunque, al divergere di n, la successione di v.c.dZnconS E(S)Z n è tale cheVar (S)Zn N(0,1) .Essendo n grande (n=150) Znè approssimativamente distribuita come una N (0,1 ) e quindiS è approssimabile con una Normale con media e varianza entrambe pari a 150.Per il calcolo della media e della varianza si osservi che E(X)= Var(X) = 1 da cui:4