Esercitazioni di Calcolo delle Probabilità (04/04/2012) Soluzioni ...

X 1 ,…,X n sono quindi n v.c. gamma di parametro (1,1)Il risultato consegue dalla proprietà riproduttiva della gamma rispetto al parametro diformacon riferimento ad una parametrizzazione del tipocaso particolare in cui =1 (esponenziale negativa).1 t( t, , ) t e nel()5. Le ipotesi del Teorema Centrale del Limite sono soddisfatte.Infatti le n v.c. sono indipendenti e identicamente distribuite (essendo tutte distribuitecome X e quindi v.c. esponenziali negative di parametro unitario) con media e varianzapari a 1.Dunque la successione di v.c.ZnconS E(S)Z nè tale che ZdN(0,1 )Var (S)n.Essendo n grande (n=400) Znè approssimativamente distribuita come una N (0,1 ) equindi S è approssimabile con una Normale con media e varianza entrambe pari a 400.Per il calcolo della media e della varianza si osservi che E(X)= Var(X) = 1 da cui:400400E(S)= E X E X 400i 1i iei 1400400Var(S)= Var Xi Var Xi400 (si ricordi che le X i sono indipendenti).i 1i 1Infine si haP(350 0.5?Soluzione1. La somma di v.a. di Poisson i.i.d. S è ancora una Poisson con parametro la somma deiparametri, cioè, S si distribuisce come una Poisson(100×4).Infatti la f.g.m. di unaqualsiasi X i Poisson (4) è exp(4(exp(t)-1)) di conseguenza S avrà una f.g.m. data da:M S (t)= M X1 (t) M X2 (t)… M X100 (t)=100i 1M (t) X=i100i 14(e t -1)ee 400(exp(t)-1) che corrisponde a una f.g.m. di una Poisson (= exp(100i 1100i 14 (exp(t)-1) =4 ) cioè a una Poisson(400).2. Per il teorema centrale del limite, P(S≤390) vale approssimativamente P(S≤390) =P(S≤390)=Φ((390-400)/(400) 1/2 )=Φ(−0.5)= 1− Φ (0.5)=1−0.6915= 0.30852