Capitolo 6 Media campionaria e teoremi limite

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78 CAPITOLO 6. MEDIA CAMPIONARIA E TEOREMI LIMITEruolo importante nelle applicazioni; la sua interpretazione pratica è che ogni effetto casualetende a distribuirsi normalmente se è dato dalla sovrapposizione di numerosi fattori aleatoriindipendenti che, singolarmente presi, hanno influenza trascurabile sul risultato finale. Adesempio, gli errori di misura si possono rappresentare come somma di un numero elevato disingoli termini (errori elementari), ciascuno dei quali è dovuto ad una causa, non dipendentedalle altre. Quali che siano le funzioni di ripartizione degli errori elementari, le peculiaritàdi queste non si manifestano nella somma di un gran numero di termini e la funzione diripartizione della somma è vicina alla funzione di ripartizione gaussiana.Esempio 6.3.2 L’altezza delle persone tende a distribuirsi normalmente intorno a un “valoremedio” µ perché essa è dovuta alla somma delle lunghezze delle varie parti dello scheletro;la variabilità di ciascuna parte è piccola rispetto allo scostamento totale dell’altezzadalla media µ. Un analogo discorso vale per il peso delle persone.Poiché diverse variabili aleatorie di uso comune si possono rappresentare come somma di numerosevariabili i.i.d., allora il teorema centrale del limite può essere usato per approssimarele vere funzioni di ripartizione di queste variabili.Seguono alcuni esempi di applicazione del teorema centrale del limite.Esempio 6.3.3 Nella Sezione 4.4 abbiamo discusso la possibilità di approssimare la funzionedi ripartizione binomiale con quella gaussiana, sulla base del Teorema 4.4.1 di DeMoivre Laplace. Effettivamente, il Teorema 4.4.1 di De Moivre Laplace è un caso particolaredel teorema centrale del limite. In realtà esso rappresenta una prima versione delteorema centrale del limite. Infatti, una variabile aleatoria binomiale Bi(n, p) ha la stessadensità della somma di n variabili aleatorie i.i.d.di Bernoulli di parametro p ∈ (0, 1).Rimandiamo all’Esempio 4.4.4 per la discussione sulla bontà della approssimazione.Invece, per quanto concerne la correzione di continuità, può essere utile ricordare qui comesi apporta nel caso di una somma di variabili aleatorie indipendenti a valori interi (ma nonnecessariamente bernoulliane).Se X 1 , . . . , X n sono variabili aleatorie i.i.d. discrete e a valori interi con comune mediaµ e comune varianza σ 2 > 0, S n = ∑ nj=1 X j ed n è grande, la correzione di continuità siapporta nel seguente modo:( )r +0.5 − nµP (S n ≤ r) ≃ Φ √ ,nσ2per ogni r intero.Esempio 6.3.4 Sia X una variabile aleatoria di Poisson di parametro λ = 100. Calcolareun valore approssimato di P (X
6.3. TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE 79si può approssimare con la fdr N (100, 100). Inoltre, l’approssimazione è migliore con lacorrezione di continuità. In particolare:P (X
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