Capitolo 6 Media campionaria e teoremi limite

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76 CAPITOLO 6. MEDIA CAMPIONARIA E TEOREMI LIMITEEsempio 6.2.5 (Metodo di integrazione Monte Carlo) Sia h una funzione continuasu [0, 1]. Vogliamo calcolare in modo approssimato ∫ 1h(x) dx. Esistono molte formule di0quadratura, ma la tecnica Monte Carlo è una delle più semplici. Inoltre, anche se può nonrisultare il miglior metodo per funzioni su [0, 1], si estende facilmente e diventa competitivanel caso di integrali multidimensionali. Infatti, nei metodi numerici “tradizionali”, l’erroredi approssimazione dipende dalla dimensione, mentre ciò non accade nel caso del metodoMonte Carlo. I generatori di numeri casuali in ogni libreria di sistema producono valori lecui proprietà si avvicinano alle realizzazioni di variabili aleatorie i.i.d. con densità uniformesu (0,1) e rendono implementabile il metodo Monte Carlo basato sul seguente corollarioalla Legge forte dei grandi numeri:Corollario 6.2.6 Sia h una funzione su [0, 1] con ∫ 1|h(x)| dx < +∞. Siano U 0 1,U 2 ,...variabili aleatorie i.i.d. con densità uniforme su [0, 1]. Allora(P I 1n := 1 n∑∫ )1h(U j ) → h(x) dx, n → +∞ =1nj=10Dimostrazione È sufficiente osservare che le variabili aleatorie h(U 1),h(U 2 ),...sono i.i.d.con media finita ∫ 1h(x) dx ed applicare la Legge forte dei grandi numeri.0Il metodo Monte Carlo consiste nell’approssimare ∫ 1h(x) dx con I 0 1n per n “grande”. Perogni n fissato, la bontà dell’approssimazione può essere valutata tramite( ) ∫1n∑10Var(I 1n ) = Var h(U j ) =h2 (x) dx − ( ∫ 1h(x) dx)20.nnj=1Al fine di ridurre la varianza, il metodo delle “variabili antitetiche” approssima il valoredell’integrale medianteI 2n := 1 n∑(h(U i )+h(1 − U i )).2n6.3 Teorema centrale del limitei=1Consideriamo n variabili aleatorie X 1 , . . . , X n i.i.d. con media µ e varianza σ 2 , entrambefinite. Abbiamo visto nella precedente sezione che per n “grande”, la media campionaria¯X n approssima in un opportuno senso la media µ:¯X n ≃ µ.Se inoltre X 1 , . . . , X n sono gaussiane, allora è immediato verificare che ¯X(n ∼Ne quindi siamo in grado di valutare probabilisticamente la “dispersione” dei valori assuntida ¯X n intorno a µ: ad esempio, osservando che√ n( ¯Xn − µ)σ∼N (0, 1),µ, σ2n),
6.3. TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE 77otteniamoP ( | ¯X n − µ| ≤ δ ) (√ ) ( √ ) (√ )nnn=Φσ δ − Φ −σ δ = 2Φσ δ − 1che si calcola usando le tavole della funzione di ripartizione gaussiana standard.In questa sezione presenteremo una versione semplice del Teorema centrale del limite (oTeorema del limite centrale) il cui significato euristico è il seguente: la media campionariadi un numero n, sufficientemente grande, di variabili aleatorie i.i.d., di media µ e varianzaσ 2 finite ha una funzione di ripartizione che è approssimativamente gaussiana di media µe varianza σ 2 /n.Teorema 6.3.1 Sia X 1 ,X 2 ,... una successione di variabili aleatorie i.i.d. con media µ evarianza σ 2 , con 0
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