Capitolo 6 Media campionaria e teoremi limite

Capitolo 6Media campionaria e teoremi limite6.1 Campione casuale e media campionariaConsideriamo una popolazione di elementi, a ciascuno dei quali è associata una certa grandezzanumerica e sulla quale si vogliono ottenere informazioni a partire da un campione din dati x 1 , . . . , x n estratti da questa popolazione. Per esempio consideriamo la popolazionedei bambini italiani che frequentano i nidi di infanzia e siamo interessati ai redditi annualidei loro genitori, oppure alla composizione della loro famiglia. Allora x 1 rappresenta ilreddito in euro della famiglia del primo bambino estratto, x 2 quello del secondo bambino ecosì via. I dati x 1 , . . . , x n sono pensati come realizzazioni di n variabili aleatorie X 1 , . . . , X nindipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.), cioè tutte aventi la stessa densità f. Questaipotesi traduce un fatto sensato cioè che il campione x 1 , . . . , x n è selezionato in manieracasuale.Definizione 6.1.1 Un campione casuale lungo n estratto da una popolazione di densitàf è un insieme X 1 , . . . , X n di variabili aleatori i.i.d.. La media µ = E(X 1 ), che è uguale pertutte le X i del campione, prende il nome di media della popolazione e la comune varianzaσ 2 è detta varianza della popolazioneSi chiama media campionaria di un campione casuale X 1 , . . . , X n la quantitàX 1 + ···+ X nn(6.1.1)e la si indica con X n . La media campionaria dipende dal campione, quindi è una variabilealeatoria di cui si può facilmente calcolare valore atteso e varianza. Applicando le proprietàdi valore atteso e varianza abbiamo:)(∑ nj=1E(X n ) = EX )( ∑nEjj=1 X j=nn= n × µn= µ73

6.2. LEGGE DEI GRANDI NUMERI 75prove indipendenti), facendo le medie di tali prove si ottiene un risultato che può esserepredetto con un elevato grado di certezza. In realtà vale un risultato “più forte” la cuidimostrazione è più laboriosa.Proposizione 6.2.2 (Legge forte dei grandi numeri) Sia X 1 ,X 2 ,... una successionedi variabili aleatorie i.i.d. con media finita µ. AlloraP ({ω :limn→+∞ X n(ω) =µ}) = 1.In pratica la legge forte applicata all’esempio dei lanci di una moneta dice che per “quasitutte” le successioni di risultati X 1 ,X 2 ,... la frequenza relativa di testa X n converge altrucco p della moneta.Osservazione 6.2.3 La Legge dei grandi numeri fornisce una giustificazione teorica allascelta che si fa in statistica di “stimare”, cioè approssimare, una media incognita µ con lamedia campionaria X n .Esempio 6.2.4 (Istogramma) 2 Un’altra applicazione della legge debole dei grandi numeriè in statistica descrittiva nell’uso degli istogrammi per approssimare una densitàcontinua f. Sia X 1 , . . . , X n un campione casuale numeroso X 1 , . . . , X n estratto da f. Suddividiamol’insieme dei possibili valori che ogni X può assumere in intervalli, detti classi,e, a ogni classe associamo un rettangolo, detto canale, che ha per base l’intervallo stessoe per altezza la percentuale di osservazioni che cadono nella classe divisa per l’ampiezzadella classe. Per ogni classe I, in base alla teoria abbiamo∫P (X ∈ I) = f(x) dxe, se l’ampiezza ∆x dell’intervallo I è abbastanza piccola,:IP (X ∈ I) ≃ f(x 0 )∆x 0 (6.2.1)dove x 0 è il punto centrale di I. D’altro canto, per quanto detto prima sulla stima frequentistadella probabilità, la frequenza relativa (%) di osservazioni in I fornisce una stima diP (X ∈ I):P (X ∈ I) ≃ % di osservazioni in Ida cui, sostituendo in (6.2.1), otteniamof(x) ≃% di osservazioni in I∆xil che appunto significa approssimare la densità su I con il corrispondente canale e l’interadensità con l’unione dei canali, cioè con l’istogramma.In laboratorio avete visto come costruire praticamente gli istogrammi (numero di canali,ampiezza dei canali...).2 Estratto da Verri, M. AA 09/10 (X) - Appunti di lezione, Il Teorema del limite centrale

76 CAPITOLO 6. MEDIA CAMPIONARIA E TEOREMI LIMITEEsempio 6.2.5 (Metodo di integrazione Monte Carlo) Sia h una funzione continuasu [0, 1]. Vogliamo calcolare in modo approssimato ∫ 1h(x) dx. Esistono molte formule di0quadratura, ma la tecnica Monte Carlo è una delle più semplici. Inoltre, anche se può nonrisultare il miglior metodo per funzioni su [0, 1], si estende facilmente e diventa competitivanel caso di integrali multidimensionali. Infatti, nei metodi numerici “tradizionali”, l’erroredi approssimazione dipende dalla dimensione, mentre ciò non accade nel caso del metodoMonte Carlo. I generatori di numeri casuali in ogni libreria di sistema producono valori lecui proprietà si avvicinano alle realizzazioni di variabili aleatorie i.i.d. con densità uniformesu (0,1) e rendono implementabile il metodo Monte Carlo basato sul seguente corollarioalla Legge forte dei grandi numeri:Corollario 6.2.6 Sia h una funzione su [0, 1] con ∫ 1|h(x)| dx < +∞. Siano U 0 1,U 2 ,...variabili aleatorie i.i.d. con densità uniforme su [0, 1]. Allora(P I 1n := 1 n∑∫ )1h(U j ) → h(x) dx, n → +∞ =1nj=10Dimostrazione È sufficiente osservare che le variabili aleatorie h(U 1),h(U 2 ),...sono i.i.d.con media finita ∫ 1h(x) dx ed applicare la Legge forte dei grandi numeri.0Il metodo Monte Carlo consiste nell’approssimare ∫ 1h(x) dx con I 0 1n per n “grande”. Perogni n fissato, la bontà dell’approssimazione può essere valutata tramite( ) ∫1n∑10Var(I 1n ) = Var h(U j ) =h2 (x) dx − ( ∫ 1h(x) dx)20.nnj=1Al fine di ridurre la varianza, il metodo delle “variabili antitetiche” approssima il valoredell’integrale medianteI 2n := 1 n∑(h(U i )+h(1 − U i )).2n6.3 Teorema centrale del limitei=1Consideriamo n variabili aleatorie X 1 , . . . , X n i.i.d. con media µ e varianza σ 2 , entrambefinite. Abbiamo visto nella precedente sezione che per n “grande”, la media campionaria¯X n approssima in un opportuno senso la media µ:¯X n ≃ µ.Se inoltre X 1 , . . . , X n sono gaussiane, allora è immediato verificare che ¯X(n ∼Ne quindi siamo in grado di valutare probabilisticamente la “dispersione” dei valori assuntida ¯X n intorno a µ: ad esempio, osservando che√ n( ¯Xn − µ)σ∼N (0, 1),µ, σ2n),

6.3. TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE 77otteniamoP ( | ¯X n − µ| ≤ δ ) (√ ) ( √ ) (√ )nnn=Φσ δ − Φ −σ δ = 2Φσ δ − 1che si calcola usando le tavole della funzione di ripartizione gaussiana standard.In questa sezione presenteremo una versione semplice del Teorema centrale del limite (oTeorema del limite centrale) il cui significato euristico è il seguente: la media campionariadi un numero n, sufficientemente grande, di variabili aleatorie i.i.d., di media µ e varianzaσ 2 finite ha una funzione di ripartizione che è approssimativamente gaussiana di media µe varianza σ 2 /n.Teorema 6.3.1 Sia X 1 ,X 2 ,... una successione di variabili aleatorie i.i.d. con media µ evarianza σ 2 , con 0

78 CAPITOLO 6. MEDIA CAMPIONARIA E TEOREMI LIMITEruolo importante nelle applicazioni; la sua interpretazione pratica è che ogni effetto casualetende a distribuirsi normalmente se è dato dalla sovrapposizione di numerosi fattori aleatoriindipendenti che, singolarmente presi, hanno influenza trascurabile sul risultato finale. Adesempio, gli errori di misura si possono rappresentare come somma di un numero elevato disingoli termini (errori elementari), ciascuno dei quali è dovuto ad una causa, non dipendentedalle altre. Quali che siano le funzioni di ripartizione degli errori elementari, le peculiaritàdi queste non si manifestano nella somma di un gran numero di termini e la funzione diripartizione della somma è vicina alla funzione di ripartizione gaussiana.Esempio 6.3.2 L’altezza delle persone tende a distribuirsi normalmente intorno a un “valoremedio” µ perché essa è dovuta alla somma delle lunghezze delle varie parti dello scheletro;la variabilità di ciascuna parte è piccola rispetto allo scostamento totale dell’altezzadalla media µ. Un analogo discorso vale per il peso delle persone.Poiché diverse variabili aleatorie di uso comune si possono rappresentare come somma di numerosevariabili i.i.d., allora il teorema centrale del limite può essere usato per approssimarele vere funzioni di ripartizione di queste variabili.Seguono alcuni esempi di applicazione del teorema centrale del limite.Esempio 6.3.3 Nella Sezione 4.4 abbiamo discusso la possibilità di approssimare la funzionedi ripartizione binomiale con quella gaussiana, sulla base del Teorema 4.4.1 di DeMoivre Laplace. Effettivamente, il Teorema 4.4.1 di De Moivre Laplace è un caso particolaredel teorema centrale del limite. In realtà esso rappresenta una prima versione delteorema centrale del limite. Infatti, una variabile aleatoria binomiale Bi(n, p) ha la stessadensità della somma di n variabili aleatorie i.i.d.di Bernoulli di parametro p ∈ (0, 1).Rimandiamo all’Esempio 4.4.4 per la discussione sulla bontà della approssimazione.Invece, per quanto concerne la correzione di continuità, può essere utile ricordare qui comesi apporta nel caso di una somma di variabili aleatorie indipendenti a valori interi (ma nonnecessariamente bernoulliane).Se X 1 , . . . , X n sono variabili aleatorie i.i.d. discrete e a valori interi con comune mediaµ e comune varianza σ 2 > 0, S n = ∑ nj=1 X j ed n è grande, la correzione di continuità siapporta nel seguente modo:( )r +0.5 − nµP (S n ≤ r) ≃ Φ √ ,nσ2per ogni r intero.Esempio 6.3.4 Sia X una variabile aleatoria di Poisson di parametro λ = 100. Calcolareun valore approssimato di P (X

6.3. TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE 79si può approssimare con la fdr N (100, 100). Inoltre, l’approssimazione è migliore con lacorrezione di continuità. In particolare:P (X