202 - Dipartimento di Economia e Statistica

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215Se non si hanno ragioni per scegliere uno specifico valore di “p” si può analizzare A psull’intervallo unitario.Esempi:a) Tempi medi in minuti di attesa ad uno sportello del PRA. Analizziamo l’asimmetria con la A p valutata per decili.X n i0 5 75 10 1310 20 1420 30 2830 45 2645 60 1160 75 975 90 690 120 2116La funzione si mantiene costantemente positiva confermando il segno della asimmetria e lo sbilanciamento verso la coda a sinistra (valoripiccoli). La funzione A p sembra pertanto uno strumento interessante, ma forse tedioso di analisi della morfologia delle distribuzioni.b) Età in anni compiuti di pazienti affetti da leucemia distinti tra rispondenti alla terapia ed non rispondenti (Lee, 1980, p. 340).Rispondenti 20 25 26 26 27 28 28 31 33 33 36 40 40 45 45 50 50 53 5662 71 74 75 77 18 19 22 26 27 28 28 28 34 37 47 56 19Non Rispon. 27 33 34 37 43 45 45 47 48 51 52 53 57 59 59 60 60 61 6161 63 65 71 73 73 74 80 21 28 36 55 59 62 83La funzione di asimmetria può essere calcolata per ogni coppia equidistante dalla mediana (asimmetria puntuale)Ai−05.nX( n+ 1−i)+ Xi −2Me=; i 12 , , , nX( n+ 1−i)− X2i= … [ ]Il comportamento delle due rilevazioni è profondamente diverso: nei rispondenti prevalgono i valori piccoli e quindi l’asimmetria èpositiva. Avviene il contrario nei non rispondenti la cui asimmetria, sistematicamente negativa, denota un addensamento verso i valorialti. L’età, almeno come prima evidenza, sembra un fattore rilevante per la risposta alla terapia.Esercizio_SD94: età al primo matrimonio di un campione di 220donne. Studiare l’asimmetria rappresentando graficamente la funzioneA pin cui le “p” siano date dai decili.Indice di asimmetria di FisherLe distribuzioni simmetriche unimodali hanno il centro di simmetria (la mediana) uguale alla media aritmeticaper cui possono essere di un certo interesse anche gli scarti dalla media aritmetica (X i-µ). Poiché non si puòconsiderare la somma degli scarti semplici visto che è sempre nulla né i quadrati poiché è importante anche ilsegno, l’attenzione si ferma sugli scarti al cubo standardizzati:kγ 1 =⎛∑⎝i=1X i −µσ⎞⎠Età n f F14 18 9 0.041 0.04118 22 18 0.082 0.12322 24 21 0.095 0.21824 26 37 0.168 0.386326 28 48 0.218 0.60530 32 57 0.259 0.86432 36 20 0.091 0.95536 40 7 0.032 0.98640 48 3 0.014 1.000220 1.000
216Nelle distribuzioni simmetriche gli scarti negativi dalla media aritmetica sono bilanciati da scarti positivi cosicchéil momento terzo dalla media aritmetica si annulla (in effetti si annullano tutti i momenti dalla mediaaritmetica di ordine dispari). Nelle distribuzioni con asimmetria positiva ovvero con coda distesa verso i valorigrandi, gli scarti positivi dalla media saranno, in modulo, più grandi di quelli negativi per la prevalenza dei valorisuperiori alla media per cui si ha γ 1>0. Nelle distribuzioni con asimmetria negativa gli scarti negativi (modalitàinferiori alla media) prevarranno su quelli positivi e si ha γ 1
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