202 - Dipartimento di Economia e Statistica
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213Esercizio_SD90: famiglie italiane per elettrodomestici posseduti.Elletrodom. Famiglie1 9692 7853 6624 4855 4296 3887 1678 1209 10110 3011 912 613 24153a) Calcolare l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> asimmetria <strong>di</strong> K. Pearson (moda come valore centrale della classe modale);b) Verificare la corrispondenza tra segno e forma della <strong>di</strong>stribuzione.Esercizio_SD91: comuni per costo <strong>di</strong> 200m 3 <strong>di</strong> acqua potabile.Costo Comuni150 180 9180 210 <strong>202</strong>10 240 65240 270 98270 300 150300 330 296330 360 159360 390 32390 430 21850a) Calcolare l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> K. Pearson;b) Che effetto può avere la <strong>di</strong>versa tecnica <strong>di</strong> calcolo della moda?In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Yule-BowleyGli in<strong>di</strong>ci basati su <strong>di</strong>fferenze tra misure <strong>di</strong> centralità hanno il <strong>di</strong>fetto <strong>di</strong> guardare molto al centro della <strong>di</strong>stribuzionee solo in<strong>di</strong>rettamente a ciò che succede nelle code. Un in<strong>di</strong>ce che misura l’asimmetria con attenzione a zonepiù lontane dal centro è lo Yule-Bowley:(YB = Q 3 − M e)− M e − Q 1( Q 3 − M e )+ M e − Q 1( )( ) = Q 3 + Q 1 − 2M eQ 3 − Q 1YB è nullo per <strong>di</strong>stribuzioni simmetriche. Infatti, queste presentano le stesse frequenze su entrambi i lati dellame<strong>di</strong>ana e quin<strong>di</strong> lo scarto positivo (Q 3-M e) è esattamente compensato dallo scarto negativo (Q 1- M e). Sedominano i valori me<strong>di</strong>o-bassi (asimmetria positiva) YB sarà positivo ad in<strong>di</strong>care che a sinistra della me<strong>di</strong>anasi concentrano più modalità che non a destra; l’in<strong>di</strong>ce è negativo per <strong>di</strong>stribuzioni con asimmetria negativa incoerenza con il prevalere <strong>di</strong> valori me<strong>di</strong>o-alti.Esempio:Simmetria:MeMinQ1Q3MaxSe conveniamo che l’altezza del rettangolo sia uno allora l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Yule-Bowley è dato dalla <strong>di</strong>fferenza tra i rettangoli interni al boxrapportata all’area complessiva del box. In caso <strong>di</strong> simmetria (ma non solo) l’area dei due rettangoli interni è uguale.Asimmetria positiva:MeMinQ1Q3Maxil rettangolo che rappresenta le modalità me<strong>di</strong>o-piccole ha area inferiore rispetto a quello che rappresenta le modalità me<strong>di</strong>o gran<strong>di</strong>,perché queste -più sparse- si presentano su <strong>di</strong> un più ampio arco <strong>di</strong> valori.Asimmetria negativa:MeMinQ1Q3Maxadesso sono i valori me<strong>di</strong>o-gran<strong>di</strong> a dar luogo al rettangolo <strong>di</strong> area più piccola in quanto la base che ne racchiude il 25% è più corta<strong>di</strong> quanto non succeda per i valori me<strong>di</strong>o-piccoli.L’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> YB è normalizzato perché al suo denominatore c’è il massimo raggiungibile dal numeratore. Questo,infatti, è espresso come scarto tra le <strong>di</strong>stanze <strong>di</strong> un punto interme<strong>di</strong>o (la me<strong>di</strong>ana) da altri due (1° e 3° quartile)