202 - Dipartimento di Economia e Statistica

212Esercizio_SD88: pazienti affetti da schizofrenia (A) o da disordini affettivi (B) per episodi di stress.a) Calcolare α 1per entrambe le distribuzioni;Episodi Schizof. Dis.Aff.0 23 71 39 102 46 283 21 424 21 755 13 346 9 157 2 3174 214b) Analizzare le differenze di asimmetria che risultano dal grafico e quelle mostrate da α 1.Esercizio_SD89: classificazione di due allevamenti: A e B, di mucche da latte per i giorni-mucca.Latte All. A7 9 12310 12 87513 17 157218 22 239923 27 177728 32 43933 35 27187Latte All.B7 10 17810 12 165913 15 262415 20 106120 25 78425 30 28030 35 126598a) Calcolare gli indici semplici di asimmetria;b) E’ rilevante la diversa struttura delle classi?Indice di asimmetria di K. PearsonLe distribuzioni unimodali e simmetriche sono caratterizzate dalla relazione media aritmetica = mediana = moda.In particolare, lo sbilanciamento verso uno dei lati della distribuzione è segnalato da un addensamento dellefrequenze in un punto distante dal baricentro fisico della distribuzione. Pearson nel 1920 propose di utilizzarecome misura della asimmetria l’indice:α2 = µ−M oσAsimmetrianegativaAsimmetriapositivaµM e M 0M 0 M eµSe c’è asimmetria positiva la media aritmetica è maggiore della moda a causa della “coda” allungata verso i valoripiù grandi. Per ragioni analoghe µ risulterà inferiore alla moda in caso di asimmetria negativa. Anche per α 2sussistono le stesse remore di α 1: l’identità M o=µ non è un segnale univoco di distribuzione simmetrica e puòben verificarsi anche per distribuzioni asimmetriche.Esempio:X i 1 2 3 4 5n i 5 3 8 5 4 25La distribuzione ha media aritmetica e moda pari a tre, ma non può considerarsi simmetrica.L’indice non cambia per una trasformazione lineare crescente e può quindi servire per il confronto di distribuzioniche abbiano diversa unità di misura o diversa origine. Contrariamente però all’altro, l’a 2non è normalizzato.E’ stato però osservato che per distribuzioni poco asimmetriche (ferma restando l’unimodalità) ricorre la relazione:M o-µ=3(M e-µ) il che implicherebbe che le tre misure di centralità si possano presentare solo in ordinealfabetico o in ordine alfabetico inverso: M a< M e M e>M o. Se ciò fosse vero allora poiché loscarto assoluto mediano è minore della deviazione media e la deviazione media minore di s si avrebbe: -3≤α 2≤3.