202 - Dipartimento di Economia e Statistica

210Esempi:a) Miller (1955) ritiene che la fonte della asimmetria positiva nella curva dei redditi sia dovuta alla contemporanea presenza di redditieri diversiper fascia d’età e/o sesso le cui distribuzioni -prese separatamente- sarebbero simmetriche, ma generano asimmetria con l’aggregazione.L’asimmetria -positiva o negativa- può in effetti derivare dal fatto che la rilevazione analizzata è in realtà un misto di almeno due distribuzionicon diversa centralità e/o variabilità.b) Cleveland (1993, p. 46) sostiene che ogni insieme di numeri positivi che variano su diverse potenze del dieci è un candidato naturalea presentarsi secondo una distribuzione con asimmetria positiva.c) Hoel (1971, p. 101) presenta una distribuzione con forte asimmetria positiva relativa ai casi di morte per scarlattina secondo l’età.d) Rosner (1990, p.10) propone come caso di asimmetria positiva la distribuzione di alcune donne comprese nella fascia d’età 20-29 per il numero di anni d’uso della pillola anticoncezionale.e) Sull’interpretazione della asimmetria Clifford (1982, pp. 81-82) fornisce uno splendido esempio di non identificabilità (la presenzadi più di una spiegazione ragionevole dei fatti) discutendo la distribuzione degli incidenti secondo il numero degli autisti per un fissatoperiodo di tempo e che presenta asimmetria positiva. 1ª spiegazione: la tendenza a provocare incidenti è costante per ogni autista,ma varia da autista ad autista ed alcuni ne hanno una più elevata degli altri. Per ridurre il numero di incidenti si deve ridurre l’impiegodi coloro che hanno provocato più sinistri. 2ª spiegazione: tutti gli autisti hanno la stessa tendenza a provocare incidenti, ma dopo cheli hanno provocati diventano più prudenti e più ne provocano e più li evitano. Per ridurre il numero di incidenti si deve aumentarel’impiego di coloro che hanno provocato più sinistri. La non identificabilità non è una situazione molto piacevole per chi deve prenderedecisioni e può essere superata aumentando le variabili del confronto.Caso estremo di asimmetria positiva è la curva a “L” che è tipica di eventi soggetti a rarefarsi man mano che sene considerano il numero di manifestazioni: interruzioni di energia elettrica, esplosioni in una conduttura di gas,esondazioni di un fiume.Esempio:Nel prospetto sono stati classificati, per numero di incidenti sul lavoro, i dipendenti di alcuni stabilimenti in cui si seguono correttamentele norme antinfortunistiche.Incidenti Lavoratori fi0 763 0.92711 26 0.03162 14 0.01703 8 0.00974 5 0.00615 4 0.00496 2 0.00247 1 0.0012823 1.0000La grande maggioranza dei dipendenti non subisce infortuni e la loro frequenza relativa decade molto rapidamente all’aumentare delnumero di infortuni.Esercizio_SD87: numero di fratelli e sorelle sopravviventi dopo una certa età:F. & S. 8 7 6 5 4 3 2 1 0Persone 19 28 41 50 85 106 306 672 413 1720a) Rappresentare la funzione di graduazione; b) Che tipo di asimmetria presenta?3.3.1 Misura della asimmetriaLa misura della asimmetria mira a quantificare lo scostamento da una situazione di simmetria nonché, per ledistribuzioni unimodali, a specificare, attraverso il segno, le zone di maggiore scompenso rispetto al polo disimmetria. Zanardi (1965) distingue due piani: quello concettuale in cui si definisce la asimmetria e quellooperativo in cui la si traduce in quantità misurabili. Il concetto di simmetria può avere diverse definizionioperative e questo ha portato due conseguenze: la proposta di una moltitudine di indici di asimmetria e lacontraddittorietà tra le indicazioni che forniscono sia tra di loro che rispetto alla morfologia della distribuzione.Osserva G. Leti (1983, p. 446): “La misura dell’asimmetria, nonostante l’affinamento che col tempo hannosubito gli strumenti statistici, sono rimaste rudimentali ed equivoche”. I requisiti per un indice di asimmetriaα(X) della variabile X sono:1) α(X)=0 se la distribuzione è simmetrica;2) α(X) aumenta all’aumentare dello scostamento dalla situazione di simmetria;3) Nel caso di distribuzioni unimodali si deve avere α(X)0 se l’allungamento è verso i valori grandi.4) α[g(x)]=α(X) se la derivata prima g’(x) è positiva e α[g(x)]=−α(X) se g’(X)