202 - Dipartimento di Economia e Statistica

207( X p − M e )− ( X 1−p − M e )= 0 per 0< p < 0.5Analogamente, la simmetria può essere presentata con la curva di graduazione intendendo simmetrica ladistribuzione per la quale la funzione:C = M − X per 0 < p < 1p e pè simmetrica intorno a 0.5 (Cleveland, 1993, pp. 44-45). La definizione di simmetria, in qualunque forma la siconsideri, permette solo di stabilire la presenza o l’assenza della simmetria, ma non di quantificare né didiversificare i gradi di scostamento dalla situazione di simmetria. Per arrivare alla definizione operativa dellaasimmetria dobbiamo coinvolgere i valori empirici e, soprattutto, la loro mediana.Si supponga che le modalità siano in ordine crescente di grandezza. Perché la distribuzione osservata possaconsiderarsi simmetrica è necessario che i valori centrali tra modalità equidistanti dalla mediana coincidano conquest’ultima:X ( i)+ X ( n−i+1)2[ ] = [ M e − X ( i)] per i = 1, 2,…, [ n 2]= M e ovvero X ( n−i+1)− M eRisulta quindi simmetrica la distribuzione in cui gli scarti negativi dalla mediana sono uguali in numero ed ingrandezza a quelli positivi.Grafico di TukeySe si rappresentano graficamente i punti di coordinate:( X (n−i+1) − M e ) 2 + ( M − X (i) ) 2;4M eX (n−i+1) + X (i); i = 1, 2,…, [ n 2]2per una distribuzione simmetrica correranno paralleli all’asse delle ascisse lungo il livello della mediana, sarannocrescenti se c’è uno sbilanciamento sia verso i valori alti che verso i valori bassi (l’eliminazione del segnodall’ordinata del grafico preclude la possibilità di individuare la direzione degli squilibri).Esempio:Siano A: {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55}, B={0, 1, 2, 4, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}3026221814"A"Me"B"104 9 14 19 24 29 34 39 44Per la A i punti sono allineati lungo la retta y=M e =27.5; per la B seguono una curva che evidenzia lo sbilanciamento verso i valorigrandi. Il grafico è proposto da Emerson e Stoto (1983) non solo per verificare la simmetria, ma anche per proporre una trasformazioneche renda simmetrica la distribuzione.