202 - Dipartimento di Economia e Statistica

2023.2.4 La mutabilità e le sue misureL’idea di differenziazione richiama in genere il concetto di variabilità che però è applicabile alle sole variabilimetriche. Quando la scala di misurazione non è metrica la variabilità, o meglio, la mutabilità, si può interpretarein termini di eterogeneità (per variabili qualitative) e di bipolarità (variabili quantitative ordinali).La eterogeneitàUna variabile è eterogenea se tutte le categorie sono presenti con uguale frequenza: il fenomeno non mostrapreferenza evidente per nessuna modalità; la variabile è omogenea se tutte le unità presentano la stessa modalità.Esempio:Stanziamenti per opere pubbliche.Settori Nord Centro Sud TotaleTrasporti 27.39% 20.78% 51.83% 100.00Edilizia 43.60% 19.70% 36.70% 100.00%Ambiente 25.09% 7.12% 67.80% 100.00%Reti 23.13% 18.02% 58.84% 100.00%Varie 1.46% 1.51% 97.04% 100.00%Se i settori ricevessero finanziamenti eterogenei per comparto territoriale ognuno riceverebbe un terzo (33.33%) dell’importo complessivamentestanziato. L’omogeneità si avrebbe nel caso in cui un settore venisse finanziato in un solo comparto.Requisiti degli indici di eterogeneitàPer misurare l’eterogeneità debbono essere approntati indici I(k;f 1, f 2,…,f k) che rispecchino la distribuzionedegli attributi ricalcando ciò che è stato richiesto agli indici di variabilità (tranne, è ovvio, questioni legateall’unità di misura). Quindi, dovrebbero:1) Essere basati esclusivamente sulle frequenze.2) Essere nulli per la distribuzione degenere.3) Assumere valori crescenti all’aumentare della eterogeneità.4) Avere un valore massimo che aumenta con “k”, numero delle modalità.Esempi:a) Un indice di eterogeneità grezzo, ma molto espressivo è la frequenza non modale (noto come variance ratio nei testi USA):f = 1 − Max{ f 1 , f 2 ,…, f k }= 1 − f Moche è nullo se la distribuzione è omogenea: f Mo =1 cioè tutte le unità presentano la stessa modalità ed è pari a (k-1)/k (quindi tendentead uno per k crescente) se la distribuzione è eterogenea. Indirettamente l’indice ci dice quanto rappresentativa è la moda: valori viciniallo zero indicheranno che c’è una moda spiccata ovvero poco rilevante se sono vicini all’unità (cfr. Naddeo, 1986, p.140).b) La proprietà “4” è suggerita da Frosini (1987, p. 134) ed è opportuna per gestire il confronto dell’eterogeneità di distribuzioni aventiun diverso numero di categorie. Sembra cioè ragionevole ritenere che il passaggio da I(2;1/2,1/2) a I(4;1/4,1/4,1/4,1/4) si debbariflettere in un aumento dell’indice dato il logico aumento di eterogeneità che è possibile riscontrare. Patil e Taillie (1982) ritengonoche l’eterogeneità (vista come diversità di specie presenti in un’area) aumenti con la comparsa di una nuova categoria o con ladivisione di una già esistente in due categorie distinte. La misura della eterogeneità della composizione di una polvere deve tenereconto della distribuzione tra i vari tipi di rocce, ma anche del numero di rocce presenti.Dei vari indici di eterogeneità esistenti (cfr. Leti, 1965, Patil e Taillie, 1982) ne consideriamo solo alcuni:kk⎡ ⎤2Indice di eterogeneità di Gini : E1= ∑ fi( 1−fi)1 fi;⎣⎢i1 ⎦⎥ = ⎛− ∑ ⎞= ⎝ i=1 ⎠L’indice è nullo per la distribuzione degenere e vale (k-1)/k (crescente con “k”) in caso di perfetta eterogeneità:( )Entropia della distribuzione: E 2 =−∑f i Ln f iTale indice misura il grado di indeterminatezza riscontrato nella rilevazione: se la variabile può mostrare una solacategoria allora, prima di analizzare una qualsiasi unità, è già nota la categoria in cui ricadrà: se si rilevasse il numerodi facce in un cubo sapremmo che l’esito è X=6, l’entropia è nulla ed infatti si ha E 2=0 (poiché xLn(x)→0 se x→0).La quantità di informazione che si può ricavare dalla conoscenza di una sola manifestazione decresce all’aumentareki=1