202 - Dipartimento di Economia e Statistica

201Sia il coefficiente di variazione che la deviazione media relativa sono misure standardizzate, ma la seconda èanche normalizzata, pone cioè un limite alla variabilità riscontrabile in una rilevazione. Il coefficiente di dispersionedovrebbe risultare meno sensibile a modalità vicine agli estremi vista la loro ridotta influenza, almeno sulsuo denominatore.Esempio:Un’impresa multinazionale ha due stabilimenti di cuscinetti a sfere: uno in Irlanda eduno in Italia. Un ispettore ha rilevato i diametri di un lotto di produzione in entrambigli stabilimenti ottenendo:Irlanda (in.)Italia (cm)0.000 0.006 35 0.000 0.012 160.006 0.008 28 0.012 0.022 420.008 0.010 15 0.022 0.028 160.010 0.012 10 0.028 0.034 130.012 0.014 8 0.034 0.040 90.014 0.016 3 0.040 0.046 4100 100CV, CD, DMR Irlanda:{0.04276, 0.48682, 0.41054}CV, CD, DMR Italia: {0.06893, 0.39512, 0.70514}Dai tre indici non emerge in modo univoco quale sia lo stabilimento in cui èmaggiore la variabilità. Per il coefficiente di variazione e la deviazione media èquello italiano, per il coefficiente di dispersione è quello irlandese. Maggiorevariabilità implica minore qualità, ma non è chiaro dove intervenire.Esercizio_SD80: alla chiusura della contrattazione decentrata in due impresesimili si erano configurate le seguenti distribuzioni degli addetti perclassi di salario.a) Confrontate la variabilità calcolando La D.M.R. il CV ed il CD;b) Verificate le indicazioni disegnando i due poligoni di frequenza.Salari giornalieriImpresaA B10 000 - 15 000 7.2% 3.8%15 000 - 20 000 9.6% 8.1%20 000 - 25 000 14.3% 15.2%25 000 - 30 000 16.9% 14.7%30 000 - 35 000 32.4% 26.2%35 000 - 40 000 13.5% 25.4%40 000 - 45 000 6.1% 6.6%Totale 100.0% 100.0%Addetti 1874 961Se le unità di misura sono in rapporto costante (pollici/ centimetri) si potrà usare uno degli indici proposti senon ci sono altre ragioni contrarie (cfr. De Cristofaro, 1988). Questo problema tocca le variabili su scala proporzionaleperché sono loro a non modificare la loro relazione con il concetto se la misura è dilatata o contrattalinearmente. Se la trasformazione è additiva (tipo Celsius/Fahrenheit) gli indici risulteranno alterati.Esempio:Ad esempio, se Y i =a+bX i , il coefficiente di variazione sarà:CV2k ⎛ Yi−µ( Y)=∑ ⎜i 1⎝µ yy2⎞ k ⎛ a+ bXi−a− bµ⎟ fi= ∑ ⎜⎠ i 1⎝a+ bµxx2⎞⎟ fi= b⎠= = =2k ⎛ Xi−µ∑ ⎜i 1⎝a+ bµ2x⎞⎟x ⎠Applichiamolo ai dati sui partecipanti ai test per maestri sul grado di conoscenzadelle lingue straniere.Francese Inglese TedescoCV= 0.7989 0.7125 1.0078CD= 0.7338 0.5374 1.0421DMR= 0.6263 0.5304 0.8292DI*= 1.4802 0.9700 3.0000Il confronto evidenzia un ordinamento di variabilità che vede il tedesco sempre superiore al francese e questo superiore all’inglese.E’ peraltro intuitiva la non usabilità della D.M.R. o del CV quando la media aritmetica è prossima allo zero (odel coefficiente di dispersione quando la mediana è quasi nulla) dato che si potrebbero trovare valori enormi senzache se ne possa dare una interpretazione in termini di variabilità. In questi casi converrebbe, ad esempio,standardizzare le modalità dividendole per (|X (1)|+|X (n)|)/2 che ha la stessa efficacia delle altre misure di centralitàper l’eliminazione delle costanti moltiplicative ed aggira il problema di un denominatore troppo piccolo.Esercizio_SD81: un modo alternativo (cfr. Weisberg, 1992, p.64) di rendere la DI comparabile è di dividerla perla somma dei quartili: DI + =(Q 3-Q 1)/|Q 3+Q 1| .a) E’ normalizzato? b) E’ standardizzato?fiRegioni Fr. Ing. Td. Regioni Fr. Ing. Td.Liguria 235 393 5 Marche 87 178 6Lombardia 674 1434 79 Molise 22 82 5Piemonte 695 600 20 Umbria 84 182 6Emilia-Rom. 254 706 29 Basilicata 187 140 4Friuli V.G. 45 272 45 Calabria 814 504 8Trentino A.A. 6 53 98 Campania 500 715 12Toscana 226 434 20 Puglia 313 462 13Veneto 218 642 79 Sardegna 227 267 10Abruzzo 146 179 4 Sicilia 423 524 52Lazio 279 591 23