202 - Dipartimento di Economia e Statistica

200Questi hanno il compito di eliminare dal confronto ciò che è inutile e nel contempo preservare il legame tra lavariabilità e la sua misura.Esempio:F. Vinci (1920) riflette: Occorre distinguere due scopi diversi ai quali una misura della variabilità di rapporti può essere rivolta. Quando,infatti, dalla variabilità della serie dei rapporti in esame interessi di risalire alla variabilità della serie dei numeratori, sarebbe erratofondarsi su medie di scostamenti o differenze desunte direttamente dai rapporti medesimi e su coefficienti di variabilità ottenutiragguagliando tali medie al valor medio dei rapporti o dei valori singoli, ma converrebbe, invece, determinare la relazione in cui codestemisure di variabilità stanno a quelle relative ai singoli elementi dei rapporti, al fine di poter correttamente calcolare i coefficienti divariabilità dei numeratori attraverso quelli dei rapporti. Ma quando, invece, una serie di rapporti abbia un significato a sé stante, diversoda quello degli elementi che la compongono ed interessi misurare appunto la variabilità delle nuove misure risultanti da quei rapporti,è legittima l’applicazione di indici che ignorino la natura di rapporto della variabile.Tra le trasformazioni più frequenti vi è:Y i =X i −X ( 1)X ( n)+ X 1; i = 1,2,…,n; con campo di variazione: R = X ( n) − X ( 1)( ) X ( n)+ X ( 1)Ora R è “normalizzato” cioè ha valori nell’intervallo unitario con R=0 che denota l’assenza di variabilità e conR=1 che descrive una situazione di variabilità massima (“una” e non “la”, perché la massima dispersione puòessere definita in modi alternativi secondo il tipo di fenomeno analizzato). La normalizzazione rende comparabilidistribuzioni con differenti campi di variazione. Non solo, ma il campo di variazione ora esprime la variabilitàriscontrata come percentuale del massimo raggiungibile in quella rilevazione aggiungendo così un utile elementointerpretativo. Inoltre, R è invariante rispetto a modifiche proporzionali ed è quindi anche “standardizzato”:bX ( i)− bX ( 1)bX ( n)+ bX 1= b b * X ( i) − X ( 1)= X ( i) − X ( 1)per ogni b ≠ 0( ) X ( n)+ X ( 1)X ( n)+ X ( 1)Un’altra trasformazione interessante è: Y i=X i/|M e| che standardizza le modalità. Ad esempio, la differenzainterquartilica e lo scarto assoluto mediano diventano:DI = Q 3 − Q 1M e;k∑i=1X i − M eM ef i = S MeM e= CDSe le {X i} subiscono una trasformazione moltiplicativa la DI ed il coefficiente di dispersione CD (scarto assolutomediano rapportato alla mediana) adesso non cambiano.Esempio:Gastwirth (1982) illustra un interessante uso del coefficiente di dispersione nella tassazione dei cespiti immobiliari. Se X i =V i /P i è ilrapporto tra il valore presunto V i di un bene e P i è il suo prezzo di mercato allora il CD di “n” cespiti è:CD =V i⎛ 1 ⎞ X i − M e⎝ n ⎠∑ ki=1 M = ⎛ 1 − Pk i⎞ M ee⎝ n ∑⎠ i=1 P ie CD misura l’accuratezza delle stime del valore di valore di mercato di terreni e fabbricati.Altre trasformazioni utili sono: 1) Y i=X i/|µ|; 2) Y i=0.5(X i/|µ|); della prima interessa lo scarto quadratico medionoto come coefficiente di variazione; della seconda si considera la deviazione media.Coeff . di var.:2k ⎛ X i −µ ⎞∑ ⎜⎝ µ⎟ f i = σ⎠ µ ; Dev. media rel.: 1 k X i −µ∑ f i = S µ2 µ 2µi=1i=1