202 - Dipartimento di Economia e Statistica

199il cui effetto è di portare tutte le modalità nell’intervallo [0,100] oppure [0,1] se la costante è uno e non cento.Di solito questa trasformazione è richiamata nelle rappresentazioni grafiche perché delimita e unifica gli estremida rappresentare.Esempio:Un comune ha ricevuto 2.5 miliardi per lavori di pubblica utilità; un ‘altro comune, con un numero di abitanti uguale, ma di una diversaprovincia ha ricevuto 4.8 miliardi (cioè quasi il doppio). Se, però, si tiene conto del campo di variazione rilevato nelle due province:0-3 per quella del primo e 0-7 per quella dell’altro si ottiene: (2.5-0)/(3-0)=0.83 e (4.8-0)/(7-0)=0.69 che è molto più piccolo.StandardizzazioneLa trasformazione di gran lunga più conosciuta èZi( Xi−µ )=σi = 12 , ,…,ndetta variabile standardizzata (punteggi zeta o zeta score) che rende pari a zero la media della trasformata edunitario lo scarto quadratico medio, indipendentemente dai valori di questi nelle variabili originarie.k k ⎛ x −µ ⎞µ = ∑ = ∑ ⎜ ⎟ =− µ + ∑ =− µ + µ i xx1 kx xyyfi ifixifi= 0i= 1 i= 1⎝σ ⎠ σ σ i=1 σ σxx2k2 kk2⎛ x −µ ⎞ ⎛i x1 ⎞ k2 σxσy= ∑ ( yi −µy) fi= ∑ yifi= ∑ ⎜ ⎟ fi= ⎜ ⎟ ∑ ( xi −µx)fi= = 12i= 1i= 1 i=1⎝σ ⎠ ⎝ σ ⎠ i=1σxIl punteggio standard indica di quanti σ una data modalità dista dalla media aritmetica. Ad esempio, Z i=0.7significa che il valore rilevato è più grande della media aritmetica e la supera per il 70% di σ.x2xx2xxEsempio:Produzione olearia 91-92.Regione Resa Z_resa Regione Resa Z_resa Regione Resa Z_resaPuglia 19.40 0.49 Abruzzo 16.60 -1.03 Molise 16.20 -1.25Calabria 19.90 0.76 Sardegna 19.20 0.38 Veneto 16.20 -1.25Sicilia 20.00 0.81 Basilicata 20.70 1.19 Lombardia 15.90 -1.41Campania 18.40 -0.05 Liguria 22.30 2.06 Emilia Rom. 15.50 -1.63Lazio 18.50 0.00 Marche 18.20 -0.16 Trentino A.A. 19.30 0.43Toscana 18.20 -0.16 Umbria 20.00 0.81La resa in Emilia Romagna è 15.5 quintali di olio per 100 quintali di olive. Questo, a livello di confronto regionale, non è moltoinformativo. Il punteggio standard relativamente alle altre regioni con produzione olearia è Z=(15.5-18.5)/1.84=-1.63 è quindi inferiorealla media. Inoltre, dalla disuguaglianza di Tchebycheff, sappiamo che in µ±1.63σ è compreso almeno [1-1/(1.63) 2 ]=62.36% ed èperciò un valore basso.Esercizio_SD79: costi (in lire) delle tariffe postali.Paesi Lettere Raccom. EspressiBelgio 497 3205 3551Danimarca 677 5206 6169Francia 497 3160 4589Germania 737 1851 3687G. Bretagna 406 3145 3551Grecia 316 1625 1941Irlanda 587 1958Italia 700 2800Lussemburgo 421 1775Paesi Bassi 497 2618Portogallo 271 1008Spagna 226 391a) Calcolare punteggi unitari e standard per ogni Paese;b) Quale delle trasformazioni lineari può meglio servire ad individuare i valori anomali?La variabilità relativaPer confrontare la variabilità tra fenomeni aventi ordini di grandezza ineguali (voto d’esame nella facoltà dilettere e nella facoltà di economia) o campi di variazione diversi (circonferenza del polso e lunghezza del braccioin centimetri) o con unità di misura eterogenee (produzione in quintali e produttività in ore lavorate) oppure condiverse unità di conto (esportazioni in euri ed importazioni in dollari) dobbiamo far intervenire altre trasformazioni,nella fattispecie i rapporti statistici (approfonditi nel capitolo 5).