202 - Dipartimento di Economia e Statistica
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194c) La deviazione me<strong>di</strong>a interviene nel taglio delle offerte estreme nelle gare pubbliche <strong>di</strong> appalto. In altre parole, per stabilire la <strong>di</strong>ttaaggiu<strong>di</strong>catrice <strong>di</strong> una gara con offerte al ribasso si elimina il 20% delle offerte. Supponiamo che siano state effettuale le offerte: {13, 14, 15,16, 17, 19, 20, 21, 22, 28}. Per ottenere la soglia <strong>di</strong> esclusione occorre scartare il 10% più alto ed il 10% più basso (con arrotondamentoall’intero superiore). Nell’esempio si esclude il 13 ed il 28 ottenendo una me<strong>di</strong>a potata pari ad un ribasso del 18%. A questo punto occorrecalcolare un fattore correttivo dato dalla deviazione me<strong>di</strong>a sulle offerte rimaste dopo la potatura (e non su quelle originali visto che alcunesono già state escluse) che superano la me<strong>di</strong>a aritmetica: |19-18|+|20-18|+|21-18|+|22-18|)/4=2.5 che porta ad una soglia <strong>di</strong> esclusione del20.5% per cui sono anomale le offerte “21” e “22”; la gara è aggiu<strong>di</strong>cata alla <strong>di</strong>tta che ha offerto un ribasso del 20%. Se lo scarto fosse statocalcolato su tutte le offerte superiori alla me<strong>di</strong>a la correzione sarebbe stata <strong>di</strong> (10+|28-18|)/5=4 con soglia pari al 22% e l’appalto sarebbestato vinto dalla <strong>di</strong>tta che ha offerto proprio un ribasso del 22%. Il problema è controverso e, allo stato attuale della legislazione, prevalel’esclusione dei valori anomali sia dalla me<strong>di</strong>a potata che dalla deviazione me<strong>di</strong>a. Provate infine a pensare ad una gara in cui tutte le <strong>di</strong>tteancora in gara presentino ribassi dell’x%. Quale che sia il ribasso questo sarà giu<strong>di</strong>cato valido se si considerano anomale solo leofferte strettamente superiori alla me<strong>di</strong>a.Esercizio_SD71: un gruppo <strong>di</strong> bambini è sottoposto ad un test <strong>di</strong> appren<strong>di</strong>mento.Per ciascuno è stato rilevato il tempo (in minuti) resosi necessario per imparare adeffettuare un semplice compito. Giu<strong>di</strong>cate -in base alle formule <strong>di</strong> Beesack- se iltempo <strong>di</strong> 25 minuti è un valore remoto.10 12 10 14 11 11 9 14 1115 14 13 11 9 10 12 11 1313 15 11 9 11 14 10 10 1510 15 14 13 14 13 14 12 2515 20 15 13 10 12 13 9 8Le <strong>di</strong>fferenze me<strong>di</strong>eLa variabilità può essere misurata considerando il confronto <strong>di</strong> una modalità con tutte le altre in<strong>di</strong>pendentementedalla sequenza con cui sono state rilevate ovvero valutando l’entità della variazione che in me<strong>di</strong>a si dovrebbeapplicare se ogni modalità dovesse essere resa uguale a tutte le altre. Un in<strong>di</strong>ce sintetico <strong>di</strong> variabilità basato suquest’idea è la <strong>di</strong>fferenza me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne α:nn1α⎡α ⎤⎢ ∑ ∑ X i − X j ⎥∆ α i=1j=1R = ⎢⎢ n 2 ⎥⎥⎣⎢⎦⎥n−1⎡α ⎤⎢2 ∑ ∑ X i − X j ⎥; ∆ α i=1 j=i+1= ⎢⎥⎢ nn− ( 1)⎥⎣⎢⎦⎥che misura il valor me<strong>di</strong>o dello scarto tra due modalità qualsiasi. Il pe<strong>di</strong>ce R in<strong>di</strong>ca che il calcolo avviene “conripetizione” cioè si considerano i confronti <strong>di</strong> una modalità con sé stessa anche se il contributo alla variabilitàè nullo. Se è opportuno escluderli, la <strong>di</strong>fferenza me<strong>di</strong>a è “senza ripetizione” e si considerano meno confronti.Le <strong>di</strong>fferenze me<strong>di</strong>e rispecchiano l’unità <strong>di</strong> misura delle variabili su cui si calcolano e si annullano se solose le modalità sono tutte uguali.n1αEsempio:Produzione <strong>di</strong> acciaio grezzo in migliaia <strong>di</strong> tonnellate. Calcolo della <strong>di</strong>fferenza me<strong>di</strong>a per α=1.∆R = 737068= ∆ = 73706815' 042;4942= 17549Paese ProduzioneSpagna 12444Regno Unito 18733Francia 19061Italia 25179Germania 51078Giappone 58743USA 97943In me<strong>di</strong>a, la produzione <strong>di</strong> acciaio tra due Paesi qualsiasi (anche uguali) <strong>di</strong>fferisce <strong>di</strong> 15’042 tonnellate. Se i paesi a confronto debbonoessere <strong>di</strong>versi, allora in me<strong>di</strong>a le produzioni <strong>di</strong>fferiscono <strong>di</strong> 17’549 tonnellate.Le <strong>di</strong>fferenze me<strong>di</strong>e si basano sul confronto <strong>di</strong>retto <strong>di</strong> tutte le modalità senza riferimento ad un fittizio termine <strong>di</strong>paragone perciò sviluppano un’idea <strong>di</strong> variabilità <strong>di</strong>versa rispetto agli scostamenti da un valor me<strong>di</strong>o: in questi siquantifica l’ammontare delle mo<strong>di</strong>fiche da apportare alle modalità per renderle uguali alla me<strong>di</strong>a; nelle <strong>di</strong>fferenzeme<strong>di</strong>e, il ruolo dello standard è interpretato, a turno, da tutte le modalità. Tale questione appassionò gli statistici tra il1912 ed il 1935, e si concluse con l’osservazione <strong>di</strong> V. Castellano (1935) che sottolineò come ogni in<strong>di</strong>ce misurasseun aspetto <strong>di</strong>verso della variabilità ed era inutile <strong>di</strong>battere su quale fosse il migliore da usare in tutte le occasioni.La <strong>di</strong>fferenza me<strong>di</strong>a che ha trovato più applicazioni è la <strong>di</strong>fferenza semplice me<strong>di</strong>a con α=1 il cui calcolopuò essere molto semplificato. Infatti, tenuto conto cheX() iX( j) X() iX( j) 2 Min X() i, X( j)− = + − { }